一道導數雙變量不等式證明題的多角度探究

安徽省合肥市第一中學 (230601) 孔祥士

一、試題呈現

(合肥一中2019-2020學年度高三數學周測二第19題)已知函數f(x)=ex-ax，a∈R.

二、多維探究

探究1 由x1,x2為方程g′(x)=0的兩根，原不等式可以消去參數a，轉化為關于x1,x2的不等式，整體換元令t=x1-x2，轉化為關于t的單變量不等式證明.

解法1:由g(x)=ex-ax-ax2，故g′(x)=ex-2ax-a，x∈R.

探究2同探究1消去參數a，轉化為關于x1,x2的不等式，通過換元，把指數不等式轉化為對數均值不等式，進而解決問題.

探究3通過求導g′(x)=ex-2ax-a，二次求導，討論參數a，易得x1

解法3：因為函數g(x)恰有兩個極值點x1，x2，所以g′(x)=ex-2ax-a在R上有兩個變號零點x1，x2.又g″(x)=ex-2a，當a≤0時g″(x)>0，所以g′(x)在(-∞,+∞)上單調遞增，所以g′(x)在R上至多一個零點，不合題意.當a>0時，當x∈

(-∞,ln2a)時g″(x)<0，g′(x)單調遞減；當x∈(ln2a，+∞)時g″(x)>0，g′(x)單調遞增，又因為當x→+∞時，g′(x)→+∞；當x→-∞時，

探究4 同探究1消去參數a，轉化為關于x1,x2的不等式，不妨設x1

三、教學啟示

導數是高中教學的一個重點，也是一個難點，雙變量不等式的證明是導數考察的一個熱點，導數與不等式綜合解答題對學生數學思維能力要求很高，深刻考察學生的綜合能力和核心素養，通常以試卷壓軸題出現，很多同學素手無策，它成為很多同學難以逾越的障礙，由于試題綜合性強，難度大，更不易搞題海戰術，這就更加要求老師在教學中精選例習題，通過對典型問題的多角度探究和適當變式，讓學生深刻領悟問題的本質，掌握解決問題的一般方法，體會其中蘊含的數學思想，從而最大限度地提高課堂教學效率.

提升學生的數學素養，落實立德樹人的教育教學任務，所有問題都要落實到課堂教學這個主陣地上，尤其是鼓勵學生提出問題，用不同的途徑解決問題，解題后的深度總結和反思等方面做一些扎實的工作[1].同時也從數學本身的美，激發學生對數學學習的樂趣與熱情.