一道平面向量題解法探究

浙江省麗水中學 (323000) 羅賢旭

平面向量是高中數學的重點與難點，也是高考重要考點之一.縱觀浙江省近幾年的平面向量題，難度都比較大，是小題當中考察學生數學思維能力的重要題型.筆者將從平面向量的內容分析和解題策略兩方面談一點自己的想法.

向量是近代數學中重要和基本的數學知識之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具，他可以將幾何中的全等和平行，相似，垂直，勾股定理轉化為向量的加減運算，數乘運算，數量積運算，所以他是溝通代數、幾何、三角函數的重要橋梁.向量有三種主要形式：符號形式，坐標形式，幾何形式；符號形式與坐標形式反映了向量的數字抽象化，幾何形式反映了向量的圖形直觀.所以解決向量問題可以有代數與幾何兩個視角.

1.解題策略探究

點評:坐標法是將平面向量數量化的具體形式，簡化了向量題分析過程與運算過程，只要建立合理的坐標系，通過坐標運算得到解題結果的過程.所以坐標法是解決向量問題最基本的方法.問題是學生認為只有出現矩形或者垂直這樣的圖形才可以建系，或者是建系后點的坐標是固定不變的，這種想法是不正確的，其實有很多問題建系后點的坐標參數比較多，但是通過處理完全可以解題.

(ⅰ)|(cosα+2)cosβ+sinαsinβ|≤

4|sinαsinβ|+4|cosαcosβ|≤m2+6，即

圖1

點評：平面向量基本定理是將平面向量量化的一種重要手段，他與向量在正交分解下的坐標表示是一脈相承的，而且平面向量基本定理適用的范圍更廣，是平面向量的精髓.等高線是在平面向量基本定理的理論基礎上衍生出的二級結論，是確定這一類動點軌跡的捷徑.

圖2

解法四：我們對條件的系數進行恰當的處理，

點評：構造系數和為1得到動點軌跡，解法簡便，學生容易理解.

點評:很多數學題都是在一些結論的背景下命制的，高中階段掌握一些二級結論，就會減少推導的過程，簡化計算，讓解題站在性質或者是結論的肩膀上，解題之路必然能越走越遠，越走越深.

2.一點反思

平面向量對學生而言之所以難，是難在向量的本質，向量是自由的，是可以任意移動的，所以動態性很強.在解決動態向量問題的時候，比如轉化基底、坐標、投影、等高線、極化恒等式等一些常用的方法要有所儲備，而且不同的題型適用什么樣的方法是我們需要教給學生的.通過變式教學的形式讓學生到達題解的多條航道.向量具備幾何與代數的雙重身份，做到數中有形，行中有數，才能真正學好向量.課堂教學中對向量問題的解題策略研究有利于培養學生數學思維能力，也是落實數學核心素養的重要途徑.