應用反解系數表示法解題示例

浙江省金華市第六中學 (321000) 虞 懿

二次函數的絕對值問題一直倍受高考(競賽)命題者的青睞，緣由是它既是我們比較熟悉的知識內容，又能考查學生綜合分析問題的能力．如何有效破解此類問題呢？在各種教輔資料和試題解答中也沒有一種固有的解題模式，很多時候往往采用分類討論思想解決，但經常討論不清楚．本文借助“反解系數表示法”去解決此類二次函數含絕對值的最值問題，旨在探索題型規律，明晰求解策略．

例1 已知函數f(x)=x2+2bx+c，設函數g(x)=|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值為M，若M≥k對任意的b,c恒成立，試求出k的最大值．

解析：依題意可得f(0)=c,f(1)=1+2b+c,f(-1)=1-2b+c，又2=f(1)+f(-1)-2f(0)，所以2=|f(1)+f(-1)-2f(0)|≤|f(1)|+

例2 設a,b,c∈R，對任意滿足|x|≤1的實數x，都有|ax2+bx+c|≤1，則|a|+|b|+|c|的最大值為．

解析：設f(x)=ax2+bx+c，由題意知|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1．由f(-1)=a-b+c，f(1)=a+b+c，f(0)=c，可解得a=

|a|+|b|+|c|=3．所以|a|+|b|+|c|的最大值為3．

例4 設F(x)=|f(x)·g(x)|,x∈[-1,1]，其中f(x)=ax2+bx+c,g(x)=cx2+bx+a，且對任意x∈[-1,1]，均有|g(x)|≤1，則F(x)的最大值為．

評注：將目標參系數式g(a,b,c)看作是一個函數值f(x0)，把題干中具體的參系數a,b,c看作是幾個函數值f(x1),f(x2)的運算結果，再將求目標參系數式的取值范圍問題視為函數在固定區域上求值域的問題，這就是我們的反解系數表示法．

鞏固練習題

2.設函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足