例談均值不等式的破解方法

江蘇省石莊高級中學 (226531) 沈世金

應用均值不等式求函數最值時，需要滿足“正”“定”“等”三個條件，其中“正”“定”兩個條件可通過構造來實現，若等號成立的條件不能取到，則需要另辟解題途徑.基于此本文給出破解此類問題的方法.

對于不滿足前兩個條件的函數最值問題，我們可通過拆項、補項等變形方式，構造出“正”或“定值”的條件，但如果等號成立的條件取不到，就需要重新選擇求最值的方法了.

一、例題分析

例1 在下列函數中，y的最小值為4的是( ).

二、解法探究

那么對于選項B、D中的函數，最值該如何求解呢？下面我們就以選項B中的函數為例，給出幾種處理辦法，供同學們參考.

(1)利用“對號”函數的性質求解.

圖1

從形式上來看，“對號”函數與均值不等式之間關系密切，因此當利用均值不等式求最值時，若等號的條件取不到，則可借助“對號”函數性質.

(2)利用幾何法求解.

對于分式型函數的值域問題，可利用其與斜率的相似關系，構造直線斜率的形式，進而從形上來尋找思路.

圖2

(3)構造二次函數，利用配方法求解

配方法是求函數值域問題的重要方法，若根據所給的函數類型，能夠構造出二次函數，則可利用配方法求解.

(4)利用導數法求解

導數法是判斷函數單調性，求函數最值的重要方法，特別是較復雜函數的值域問題.

(5)利用方程有解來判斷