探究橢圓中斜率和為定值的兩條直線的性質

李火星

摘要：本文以直線和橢圓相交問題為引例，深入探究過橢圓上的點做兩條斜率和為定值的兩條直線所具有的性質。

關鍵詞：橢圓;斜率;定值;定點

圓錐曲線是解析幾何的重點，也是高中數學的重點，高考每年必考。考察形式多樣化，如定點、定值、相切等等問題。本文以直線和橢圓相交問題為引例，深入探究過橢圓上的點做兩條斜率乘積為定值的兩條直線所具有的性質。

引例 已知橢圓E：x2 a2+y2 a2=1（a>b>0）的左右焦點F1，F2與短軸的一個端點構成直角三角形，且直線l：y=- 2? 2x+ 2 與橢圓有且只有一個公共點。

（1）求橢圓E的方程;

（2）設A是橢圓的下頂點，過點A分別做直線AM，AN交橢圓E于M，N兩點，記這兩條直線的斜率分別為k1，k2，并且兩斜率之和為定值2，證明直線MN過定點，并求出該定點坐標。

分析：易求得第一步橢圓方程為x2 2+y2=1，第二小步是直線與橢圓相交的類型，故假設M（x1，y1），N（x2，y2），聯立直線與橢圓方程利用韋達定理可得到兩根之和及兩根之積。而兩斜率之和為定值2，則y1+1 x1+y2+1 x2=2，變形化簡可轉化為跟兩根之和兩根之積有關的，把相關值代入即可算得定點為（1，1）。

我們把第二小步的這個結論記為結論1，即：

結論1 已知橢圓x2 2+y2=1的下頂點為A，過點A分別做直線AM，AN交橢圓E于M，N兩點，記這兩條直線的斜率分別為k1，k2，并且兩斜率之和為定值2，則直線MN過定點（1，1）。

此結論為兩直線斜率之和為定值2，若定值為1或者為其他值，對應的直線是否也會過定點呢？其實結論1可以做推廣（以橢圓焦點在x軸為例）：

推廣1 已知橢圓E：x2 a2+y2 a2=1（a>b>0）的下頂點為A，過點A分別做直線AM，AN交橢圓E于M，N兩點，記這兩條直線的斜率分別為k1，k2，若k1+k2=n（n≠0），則直線MN過定點2b n，b。

結論1和推廣1是過橢圓的下頂點而得到的結論，用同樣的方法計算可以得到過橢圓的其他三個頂點也有此結論。既然四個點頂點都由此結論，那下一個問題就是如果過橢圓上的任意一點做兩條直線，是否也具有此結論呢？推廣1還可以在推廣：

把推廣1證明過程中得到的兩根之和與兩根之積代入，整理得：

此等式較復雜，仔細觀察可以用十字相乘法因式分解：

當點A橢圓下頂點時，即x0=0y0=-b，代入推廣2中得到的結論，得到定點為2b n，b，與推廣1的結論剛好相符。推廣2中要求n≠0，若n=0，那么直線MN會有什么其他特殊的特征呢？把n=0代入推廣2中得到的t=（nm+2y0-nx0）a2 2b2x0+na2y0=a2y0 b2x0，這樣直線MN的斜率kMN=b2x0 a2y0，即當n=0時，直線MN不是過定點，而是斜率為定值b2x0 a2y0。

此文章為橢圓焦點在x軸，如果焦點在y軸同樣也有類似的結論。因此橢圓具有這樣的性質：過橢圓上任意一點A做兩條直線，分別交橢圓于M，N兩點，當兩條直線斜率和為定值，若定值不為0，則直線MN過定點;若定值為0，則直線MN斜率為定值。

由此可見，對簡單的問題可以進行深化與推廣，在不斷地深化推廣中，我們能更深入地了解隱藏在簡單事物背后的復雜性與多樣性。