反比例函數(shù)與一次函數(shù)關系及簡單應用

黃朝宗

摘要：如果反比例函數(shù)（k≠0）與直線（）相切時，并且直線與x軸、y軸圍成面積等于2;反之亦然。

關鍵詞： 函數(shù) ???切線 ????面積 ???定值

在初中數(shù)學教材中，我們已經研究了反比例函數(shù)的圖象、性質和解析式，尤其對反比例函數(shù)中的k的符號直接決定了圖象的位置和相應的函數(shù)變化規(guī)律，過反比例函數(shù)圖象上的任意一點作橫軸或縱軸的垂線，這點、垂足和原點構成的三角形面積為的一半的討論，給我們留下了深刻的印象，在此基礎上，我在教學中逐步發(fā)現(xiàn)了一個關于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的有趣關系問題，現(xiàn)提供給讀者參考。

命題1 ?如果反比例函數(shù)（k≠0）與直線（）相切，并且，直線與x軸、y軸相交于A、B兩點，那么⊿AOB的面積等于2。

證明：∵反比例函數(shù)（k≠0）與直線（）相切，∴方程組有唯一解，由方程組得，∴，且這個一元二次方程有相等實數(shù)根⊿=0，即，，又∵ 直線與 X軸、Y軸分別交于A（，0）、B（0，b），∴S_⊿AOB=命題1說明，反比例函數(shù)（k≠0）與直線（）相切時，⊿AOB的面積為定值2，并且它與反比例函數(shù)與直線的切點位置無關。

根據(jù)命題1我們可以得到命題1的逆命題：命題2如果P（a，b）是反比例函數(shù)（k≠0）圖象上的一點，A、B兩點分別在x軸、y上，且A（2a，0），B（0，2b），那么直線與反比例函數(shù)相切。

證明：∵A（2a，0），B（0，2a），∴OA=2，OB=2，S_⊿AOB=，設直線是經過P（a，b）且與反比例函數(shù)的直線交x軸于、Y軸于，則（）（0，），S_⊿AOB=，∵直線是經過P（a，b），∴S_⊿AOB=2，∴S_⊿AOB=S_{⊿A‘OB‘ ????即} ，∴，。

解得：，（不符合題意舍去），∴故直線AB與反比例函數(shù)相切于點P，從反比例函數(shù)（k≠0）與直線（）相切的關系中啟示我們直線與X軸、Y軸的交點和原點組成的三角形面積等于2中，我們可以利用這一幾何關系判定直線AB與反比例函數(shù)的位置關系。

例1已知：如圖示，直線AB與X軸相交于A（3，0）B（0，4），反比例函數(shù)與 AB相切，CD‖AB交X軸、Y軸于C、D且也與反比例函數(shù)相切。 求：（1）反比例函數(shù)的解析式;（2）直線CD的解析式和切點P的坐標;（3）猜想四邊形ABCD是怎樣的四邊形？試證明你的猜想！

解：（1）因為直線AB與反比例函數(shù)相切，∴2= S_⊿AOB，∵A（3，0）;B（0，4），∴2==3，K=3（-3舍去），∴。

（2）直線AB的解析式為

∵CD‖AB ??設CD直線的解析式為

又∵CD直線與相切，∴，∴b=-4 或b=4（舍去）故b=-4，∴直線的解析式為。

解方程組得，∴P（）

（3）猜想;四邊形ABCD是菱形。證明：在中令x=0，則y=-4，令y=0 ?則x=-3，故D（0，-4），C（-3，0）∴OA=OC，OB=OD，又AC⊥BD，故四邊形ABCD是菱形。

命題3 已知反比例函數(shù)（k≠0）且直線（）與X軸、Y軸交點與原點所圍成的三角形面積為S。

當時：①當時，直線與反比例函數(shù)沒有交點;②當時，直線與反比例函數(shù)有且只一個交點;③當時，直線與反比例函數(shù)有兩個交點;當時，無論S為何值時，直線與反比例函數(shù)有兩個交點。證明：如圖所示，直線AB與（k≠0）相切。則S_⊿AOB=2，即S=2，當B點不動時，S<2，則有S_⊿AOB>S_{⊿A‘OB ?}，即∵AB與有唯一交點P，直線AB，相交于點B，∴直線AB與無交點類似地，可以證明當時，直線與反比例函數(shù)有兩個交點。

例2：選擇題，下列一次函數(shù)中與反比例函數(shù)只有一個交點是（ ???????）

AB

CD

答案：D