淺談如何用底層邏輯命題

查雙劍

【摘要】原創，不是在已建成的房子上重新裝潢，而是要重新打地基、造新房。教育工作者需要深入理解知識的底層邏輯，從底層邏輯出發，根據所要考查的目標，去構建原形題，再以原型題作為基礎，去搭建新問題。

【關鍵詞】底層邏輯;原型;增加變量法;逆命題

2019年4月底，筆者承擔了《2018—2019學年度貴池區三級教研網絡中片第三次聯考》數學科目的制卷工作。這里筆者以試卷的第23題為例，談談自己的命題心得。

一、關于底層邏輯

1.什么是底層邏輯

我們的認知符合“從特殊到一般”“從具體到抽象”的規律。其中的“一般”“抽象”就是通常所講的原理、本質。比如，在宏觀世界中，所有物體運動狀態的改變都是由自身所受外力引起的，力就是原理、本質，力改變運動。邏輯推理中也存在這樣的“力”，筆者稱之為“底層邏輯”，它推動了邏輯的展開。舉個例子，任意畫一個三角形，通過拼接或測量，我們發現“三個內角和都等于180°”，所以我們可以大膽猜想：“所有的三角形內角和都等于180°（三角形內角和定理）?！边@就是“從特殊到一般”的過程。在證明這個猜想時，它是通過構造平行線，將三個內角集中成共頂點的一個平角完成證明的。根據該定理，我們又可以進一步演繹推理出“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角和”，我們稱之為“推論”。其中，通過構造平行線轉移角用到了“平行線性質定理”，而“平行線性質定理”又是根據公理——“同位角相等，兩直線平行”得到的，邏輯逆向推理到這里就不能再繼續了。整個過程的邏輯鏈條是，公理—定理1—定理2—推論。以上例子中，以公理為起點，引出的一系列邏輯推理就是筆者說的“底層邏輯”。

2.使用底層邏輯構建問題

原創，不是在已建成的房子上重新裝潢，而是要重新打地基、造新房。教育工作者需要深入理解知識的底層邏輯，從底層邏輯出發，根據所要考查的目標，去構建原形題，再以原型題作為基礎，去搭建新問題。

二、構建原型

1.底層邏輯

如圖1，∠ABC=∠BDE=∠BFC，則△ABC ∽ △BDE。

2.特殊化

如圖2，∠ABC = ∠BDE = ∠BFC，若AB = BD，

則△ABC ≌ △BDE。

3.再特殊化

把圖2結構放置到正三角形中，并引入動點，形成動圖。如圖3，在正三角形ABC中，點D、E分別是邊BC、AC上的動點，AD、BE相交于點F，若∠AFE=60°（這里隱含了∠AFE = ∠ABD = ∠BCA，AB = BC），則△ABD ≌ △BCE。并且，根據圓的相關知識可得，點F在以AB為弦的圓弧上。

4.類比衍生

也可以把圖2結構放置在正方形中。如圖4，在正方形ABCD中，點E、F分別是邊CD、AD上的動點，連接AE、BF，交于點G。若∠AGB=90°，則△ABF ≌ △ADE，并且點G在以AB為直徑的半圓上。

我們還可以類比出正五邊形、正六邊形等例子。

三、命題過程

1. 原型題

這里筆者選擇正方形作為“地基”。

如圖4，在正方形ABCD中，點E是CD邊上一動點，連接AE，作BF⊥AE，垂足為G， 交AD于F。 （1）求證：AF=DE。

2.增加變量法

筆者采用“增加變量法”，提高問題難度。這里，有一個簡單邏輯：當變量（連線）增加時，圖形變復雜了，顯然可供思考的點更多了，也就更難了。當點E移動時，點F、G也隨之移動，點G的移動軌跡是以AB為直徑的半圓，這是一個動態的過程。當連接GD時，增加了一條線段（GD）、兩個角（∠FGD，∠DGE）。圍繞這幾個量，可以展開思考，提出問題。在提出問題時，考慮到考生的計算水平，選擇該動態過程中某些“恰好”的時刻，更便于考生計算。比如，討論GD的最值、∠FGD的大小等。這里，筆者通過角提出問題。

如圖5，在正方形ABCD中，點E是CD邊上一動點，連接AE，作BF⊥AE，垂足為G， 交AD于F。 （2）連接DG，若DG平分∠EGF，求證：點E是CD中點。

在提出問題時，首先研究了這樣一個動態的過程：隨著點E移動時，點F的移動情況，發現當點E是CD中點（CE = DE）時，點F也是中點（AF = DF），當連接DG后，發現GD恰好平分了∠FGE，滿足以上條件的點G顯然只有一個。換言之，如果GD平分∠FGE，則點E也是CD中點。簡單地說，分析時，是從邊找角;提問時，是從角找邊。

這里有一個命題心得，將原型題中發現的真命題的條件和結論互換，判斷其逆命題是否依然成立，提出問題，往往會收到意想不到的效果。這里從角切入提問，是因為筆者在平時教學中發現，很多學生不善于找角并利用角的關系去解決問題。所以當從角切入提問時，就提高了問題的難度，使問題變得更具有開放性。

3.繼續增加變量

在上述的條件下，連接CG，如圖6，求證：CG=CD。

四、定稿

如圖4，在正方形ABCD中，點E是CD邊上一動點，連接AE，作BF⊥AE，垂足為G， 交AD于F。

（1）求證：AF=DE;

（2）連接DG，若DG平分∠EGF，如圖5，求證：點E是CD中點;

（3）在（2）的條件下，連接CG，如圖6，求證：CG=CD。

【參考文獻】

[1]羅國興.初中數學教學中邏輯思維能力的培養分析[J].名師在線，2019（05）：57-58.