模型思想視角下“角的比較與運(yùn)算”設(shè)計(jì)研究

陳海烽

[摘 ?要] 文章以“角的比較與運(yùn)算”為例，闡釋模型思想這一視角在設(shè)計(jì)中的運(yùn)用. 對(duì)于角度的和與差，抽象出有公共端點(diǎn)的三條射線組成的模型這個(gè)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而繼續(xù)模型化，可得到更一般的結(jié)構(gòu)，那就是整體等于部分之和的模型.？搖此設(shè)計(jì)經(jīng)過實(shí)踐后取得了良好的教學(xué)效果.

[關(guān)鍵詞] 模型思想;設(shè)計(jì);實(shí)驗(yàn)

“角的比較與運(yùn)算”是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第四章第三節(jié)“角”的第二小節(jié)的第一課時(shí)，學(xué)生在此之前學(xué)習(xí)了線段的比較與運(yùn)算、線段的中點(diǎn)，且已經(jīng)知道了角的定義、角的表示方法和角的度量. 此內(nèi)容是學(xué)生今后學(xué)習(xí)角平分線、角的代數(shù)運(yùn)算等內(nèi)容的奠基課，所以非常重要. 研究者在廈門市第六屆課堂教學(xué)創(chuàng)新大賽中展示本節(jié)課，用模型思想的視角來演繹，取得了良好的教學(xué)效果，現(xiàn)整理成文，供大家討論、交流.

對(duì)模型思想的再認(rèn)識(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）中十大關(guān)鍵詞對(duì)模型思想的定義是：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑. 建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義. ”模型思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想，是《課標(biāo)》里明確提出的十個(gè)核心概念中唯一以“思想”冠名的概念.

沈文選指出，“數(shù)學(xué)模型可以描述為……運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”“數(shù)學(xué)模型……也包括……數(shù)學(xué)概念、各種數(shù)學(xué)公式、方程式、定理、理論體系等”.

研究者主要是為了得到一個(gè)良好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)的符號(hào)建立一個(gè)基本角度的和與差的運(yùn)算模型.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

（1）通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、討論、展示，知道角的比較大小的兩種方法——度量法和疊合法，從中感悟角的和與差的運(yùn)算模型.

（2）利用一副三角板拼湊角度，通過實(shí)驗(yàn)的觀察和討論，知道拼三角板的本質(zhì)就是兩個(gè)角度的和與差.

（3）通過幾何畫板的演示，抽象出具體角的和與差的基本模型，能從基本圖形位置關(guān)系中提煉角度之間的和與差的數(shù)量關(guān)系模型.

（4）通過對(duì)基本模型進(jìn)行不斷變化的過程，讓學(xué)生從特殊到一般，知道角度之間和與差的運(yùn)算，能初步運(yùn)用模型解決問題.

（5）通過基本模型的變式，提高學(xué)生關(guān)于角度和與差的運(yùn)算能力.

2. 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（1）溫故知新，引出課題

教師：三角板是我們的朋友，今天我們一起來“玩轉(zhuǎn)三角板”.

問題1：你能說出老師手上這個(gè)三角形中這兩個(gè)角的大小嗎？

追問：你是如何知道的？

問題2：度量法要注意些什么呢？

追問：要知道這兩個(gè)角的大小，除了度量法，還有別的方法嗎？

問題3：你是如何想到疊合法的？是受什么得到的啟發(fā)？角度的疊合要注意些什么？

問題4：你知道角的大小比較中的道理嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生回憶三角板的相關(guān)知識(shí)，通過操作、實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了度量法和疊合法，教師讓學(xué)生展示和交流.

教師關(guān)注：對(duì)于學(xué)生的認(rèn)知，教師給予相應(yīng)的回應(yīng)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方法獲知學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生從物理模型到數(shù)學(xué)圖形的過渡.

設(shè)計(jì)意圖？搖 從與學(xué)生相處多年的三角板入手，能讓學(xué)生獲得親近感;從特殊角度之間的大小比較，過渡到一般角度的大小比較，能讓學(xué)生第一次感知從特殊到一般，從而為抽象出角度的和與差的基本模型做準(zhǔn)備.

（2）動(dòng)手操作，探究新知

問題5：我們剛才比較了兩個(gè)角度（60°和45°）之間的大小，你知道這兩個(gè)角度之間差了多少度嗎？你能否把差的角度拼出來？

追問1：你能否再用這副三角板拼疊出那些度數(shù)的角？這些角有什么規(guī)律？

追問2：為什么這些角都是15°的倍數(shù)？你能說出理由嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手操作，小組合作探究，師生歸納.

師生歸納：可以拼出很多的角. 還可以拼出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°，180°.

設(shè)計(jì)意圖？搖 三角板的拼角游戲，能讓學(xué)生對(duì)特殊的角度之間有一個(gè)良好的認(rèn)識(shí)，能鍛煉學(xué)生對(duì)角度大小的估計(jì)能力和動(dòng)手操作能力，能加深學(xué)生對(duì)角的識(shí)別能力，且能讓學(xué)生初步奠定“拼與和的運(yùn)算對(duì)應(yīng)，疊與差的運(yùn)算對(duì)應(yīng)”的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).

（3）提煉模型，應(yīng)用新知

問題6：通過對(duì)三角板進(jìn)行拼接，我們獲得了不少角度. 下面我們繼續(xù)觀察拼出75°和15°這兩個(gè)角度的圖形. 如圖1，老師的三角板和你們的“大小”不同，為什么拼疊出的角度是一樣的？

追問1：圖1的兩個(gè)圖形和圖2有什么地方是一致的？

追問2：老師將上述兩種拼法圖形化，然后將題一般化，獲得如圖2所示的模型. 你能告訴我它們之間的和差關(guān)系嗎？

追問3：這個(gè)和差關(guān)系的模型能否用文字語(yǔ)言來描述？

追問4：這個(gè)模型能否用整體、部分的關(guān)系來描述？

設(shè)計(jì)意圖？搖 從上一環(huán)節(jié)拼三角形的特殊角度出發(fā)，獲知角度和與差的基本模型，使得教學(xué)銜接更加自然，促使學(xué)生從實(shí)物到圖形到文字進(jìn)而到語(yǔ)言之間的良好轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象，加深對(duì)角度和與差的理解. 第二次從特殊到一般，直接抽象出現(xiàn)有的模型，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型進(jìn)行表達(dá)——有公共端點(diǎn)的三條射線就是對(duì)角度和與差的模型的最簡(jiǎn)圖形表達(dá). 接著，教師引導(dǎo)學(xué)生從整體到部分，提煉出更一般的加法模型，使得學(xué)生的認(rèn)知能力有質(zhì)的提升.

（4）變式訓(xùn)練，固化模型

問題7：如圖3，∠AOC=45°，∠AOB=30°，求∠BOC的大小.

變式1：如圖3，∠AOC=45°，∠AOB=26°34′，求∠BOC的大小（此題系廈門中考題改編）.

變式2：課本例1.

變式3：如圖3，（幾何畫板演示拖動(dòng)）∠AOC=180°，銳角∠AOB=x°，求∠BOC的大小（用含x的代數(shù)式表示）.

變式4：已知∠AOC=45°，∠AOB=30°，求∠BOC的大小.

變式5：如圖4，∠AOB=∠_____-∠_____=∠_____-∠_____，∠AOC=∠_____-∠_____=∠_____+∠_____.

變式6：你能根據(jù)圖4寫出結(jié)果等于∠BOD的和差算式嗎？

變式7：如果老師再增加一條射線，如圖5，你還能寫出幾個(gè)結(jié)果等于∠BOD的和差算式？

師生活動(dòng)：教師示范，學(xué)生答題并展示.

教師關(guān)注：學(xué)生答題是否嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范.

設(shè)計(jì)意圖 ？搖從特殊角度的計(jì)算，過渡到一般角度的計(jì)算，再到式子的表達(dá)，再次體現(xiàn)了從特殊到一般，從具體到抽象. 為了對(duì)思維進(jìn)行不斷的提升，研究者從有配圖到無配圖，這一過程體現(xiàn)了分類討論思想. 且計(jì)算時(shí)，不僅鞏固了度、分、秒的運(yùn)算，還將其與十進(jìn)制的加減法進(jìn)行類比，體現(xiàn)了類比思想.

（5）方法總結(jié)，優(yōu)化結(jié)構(gòu)

教師：我們一起來回顧一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)方法.

問題8：對(duì)于角的大小比較，我們是如何學(xué)習(xí)的？

問題9：對(duì)于角的和差運(yùn)算，我們是如何學(xué)習(xí)的？

追問：從學(xué)習(xí)過程中，我們可以獲得什么樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？

師生活動(dòng)：教師和學(xué)生共同回憶并整理本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)流程.

教師關(guān)注：學(xué)生的表現(xiàn)以及邏輯表達(dá).

設(shè)計(jì)意圖？搖 通過對(duì)整堂課的梳理，學(xué)生再次回憶學(xué)習(xí)過程，明晰研究流程，從中獲得了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提高了對(duì)整節(jié)課的結(jié)構(gòu)把握，同時(shí)內(nèi)化為了自己的知識(shí)，能站在模型思想的角度看待數(shù)學(xué)問題，這有利于培養(yǎng)學(xué)生更加深邃的數(shù)學(xué)眼光.

教學(xué)反思

1. 動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，感知模型？搖

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出，數(shù)學(xué)具有兩個(gè)面，以歐幾里得方向表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)看上去是一種系統(tǒng)演繹的科學(xué)，但在形成過程中的數(shù)學(xué)看上去卻是一種實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué). 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生在運(yùn)用有關(guān)工具（如學(xué)具、計(jì)算機(jī)、數(shù)學(xué)軟件等）時(shí)，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下，通過手腦并用，借助觀察、模仿、實(shí)驗(yàn)、猜想等手段獲得體驗(yàn)，構(gòu)建發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的素養(yǎng)型活動(dòng). 從引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形入手，感知拼疊角度，進(jìn)而感知角度的和與差的基本圖形，這一認(rèn)識(shí)不是書本或教師告知的，而是學(xué)生透過現(xiàn)象，發(fā)揮自己的洞察力分析得到的. 此處以發(fā)展學(xué)生的洞察力，尋求解決問題的方法為主要目標(biāo). 角度的拼疊再次讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、推理、交流等活動(dòng)，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的洞察力，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 學(xué)生的上課表現(xiàn)，說明學(xué)生對(duì)模型的感知是到位的.

2. 活用畫板，抽象模型

《課標(biāo)》指出：要加強(qiáng)信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整合. 本節(jié)課，學(xué)生通過三角板拼出各種角度，感知各個(gè)角度的變化情況，然后通過觀察，得出本質(zhì)——由公共端點(diǎn)的三條射線組成的模型. 研究者通過幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生觀察，讓學(xué)生去除非本質(zhì)的東西，抽象出有用的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了從具體到抽象的數(shù)學(xué)思想. 同時(shí)在變式3、變式4的教學(xué)過程中，研究者再用幾何畫板的功能，給予學(xué)生強(qiáng)烈的震撼，這能加深學(xué)生對(duì)模型的進(jìn)一步理解.

3. 類比推理，同化模型

在本課的設(shè)計(jì)中，研究者用到了如下類比：一是角度的比較和線段的比較相類比，二是線段的和差運(yùn)算和角度的和差運(yùn)算相類比，三是角度的加減運(yùn)算和十進(jìn)制的加減運(yùn)算相類比. 這些類比的本質(zhì)就是同化，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升. 《課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng). 其中的素養(yǎng)至少包含三個(gè)方面的含義，一是用數(shù)學(xué)的眼光審視生活;二是在生活中養(yǎng)成積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的習(xí)慣;三是在不斷聯(lián)系數(shù)學(xué)與生活的過程中自覺鍛煉思維能力和應(yīng)用能力. 本節(jié)課從學(xué)生最常見的三角板入手，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)就在我們身邊，而且可能就在我們經(jīng)常忽視的地方存在著，需要我們重新去審視，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去審視三角板的各種用途. 同時(shí)就拼疊過程積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，抽象出有公共端點(diǎn)的三條射線這一基本角度和差數(shù)學(xué)模型，并將此模型加以應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生從比較抽象的問題中聯(lián)想、轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)解決過的數(shù)學(xué)問題，以達(dá)到思維暢通.

4. 變式訓(xùn)練，活用模型

抽象出有公共端點(diǎn)的三條射線這一模型之后，研究者設(shè)置了幾道題加以運(yùn)用. 問題7是從特殊的角度入手，讓學(xué)生體會(huì)到運(yùn)算其實(shí)很簡(jiǎn)單，以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心. 教學(xué)過程中，變式1加入了不同單位的角度直接運(yùn)算，此時(shí)的難點(diǎn)是60進(jìn)制的體會(huì). 等學(xué)生完成后，研究者分析講解，接著通過幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，進(jìn)入書本習(xí)題，即變式2，體現(xiàn)了一個(gè)動(dòng)態(tài)的研究過程，以讓學(xué)生掌握角的運(yùn)算. 變式3是研究者給定了一個(gè)參數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)其與一元一次方程的關(guān)聯(lián);接著研究者將圖撤掉，得到變式4，讓學(xué)生在腦中畫圖，使得原有的經(jīng)驗(yàn)得以升華. 而變式5和變式6則主要是訓(xùn)練學(xué)生將復(fù)雜圖形化歸為基本模型的能力.

結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于“角的比較與運(yùn)算”這一課，多數(shù)設(shè)計(jì)者沒有從模型的角度去思考. 不少教師認(rèn)為，這個(gè)問題比較簡(jiǎn)單，不值得花時(shí)間，于是往往通過大量的訓(xùn)練去強(qiáng)化角度的和差運(yùn)算，甚至把這節(jié)課當(dāng)成一堂習(xí)題課. 這種做法的背后其實(shí)存在著對(duì)一節(jié)課價(jià)值判斷的問題，值得我們深思.