基于體驗(yàn)培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)抽象能力的研究

鄧厚來

[摘 ?要] 初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，總表現(xiàn)出抽象能力不足以支撐數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的一面，原因之一就是經(jīng)驗(yàn)的缺乏. 在數(shù)學(xué)課堂上引入體驗(yàn)的環(huán)節(jié)，可以彌補(bǔ)生活經(jīng)驗(yàn)缺乏的不足，從而使得學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象有本可依，因而“體驗(yàn)”客觀上也就可以為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ). 體驗(yàn)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)歷的動(dòng)手過程，在教師的問題驅(qū)動(dòng)之下，體驗(yàn)往往有著更為明確的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的目標(biāo)指向. 將體驗(yàn)與數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)結(jié)合起來，可以對(duì)當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)方式形成有益的補(bǔ)充.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);體驗(yàn);數(shù)學(xué)抽象;能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，同時(shí)也可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要組成部分. 多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，總表現(xiàn)出抽象能力不足以支撐數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的一面，原因之一就是初中學(xué)生更習(xí)慣形象思維，大腦習(xí)慣于加工形象的表象，而抽象思維能力較為薄弱（當(dāng)然也正處于從形象思維轉(zhuǎn)向抽象思維的重要階段）. 因此，在初中階段進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，既符合初中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的需要.

對(duì)于數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，早有同行進(jìn)行過研究，提出的培養(yǎng)策略也呈現(xiàn)出豐富多彩的情形. 通過不完全歸納發(fā)現(xiàn)，在這些措施中，更多的是從教師教學(xué)的角度進(jìn)行的努力，而面向?qū)W生學(xué)習(xí)過程本身的努力則相對(duì)較少. 顯然，這是以生為本理念的缺席，同時(shí)也意味著面向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，有著迫切的研究需要. 基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者以學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體驗(yàn)為切入口，并以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，研究結(jié)果表明，這樣的思路是正確的，研究的過程與結(jié)果是具有一定的參考意義的. 現(xiàn)對(duì)研究過程進(jìn)行一個(gè)總結(jié)，以期對(duì)同行有拋磚引玉的作用.

數(shù)學(xué)抽象能力與體驗(yàn)之間的關(guān)系

數(shù)學(xué)抽象能力的形成與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)之間的關(guān)系是密切的，這可以從兩者的基本內(nèi)涵角度來建立認(rèn)識(shí). 所謂數(shù)學(xué)抽象，通常是指抽取出同類數(shù)學(xué)對(duì)象共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程. 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的第一個(gè)基本特征（史寧中語），體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的一般性. 筆者注意到，在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中，數(shù)學(xué)抽象是六個(gè)要素之一，而且是首要因素，而數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)過程中的作用則可以理解為：數(shù)學(xué)抽象既是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)的重要組成部分.

而所謂的體驗(yàn)，通常指通過親身實(shí)踐獲得經(jīng)驗(yàn)的過程. 國(guó)家督學(xué)、原江蘇省教科所所長(zhǎng)成尚榮用一句簡(jiǎn)練的話概括體驗(yàn)，即體驗(yàn)就是“以身體之，以心悟之”. 一般認(rèn)為，體驗(yàn)可以豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，而根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)是建構(gòu)知識(shí)的三大基礎(chǔ)之一（另兩個(gè)基礎(chǔ)是學(xué)習(xí)共同體和學(xué)習(xí)情境）. 所以體驗(yàn)之于初中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，肯定是有引入價(jià)值的. 上面提到，初中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力是比較弱的，其中的一個(gè)原因，就是學(xué)生大腦中能夠支撐數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的素材不夠豐富. 因?yàn)樗夭娜狈Γ灾螖?shù)學(xué)概念形成的經(jīng)驗(yàn)就不足，同樣也就使得數(shù)學(xué)抽象如同無源之水一般. 而學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的缺乏，與當(dāng)前初中學(xué)生的生活方式有關(guān)，由于學(xué)習(xí)壓力大，又由于信息技術(shù)的發(fā)展，學(xué)生直接接觸的自然世界較少，接觸的虛擬世界較多，這造成了學(xué)生的生活體驗(yàn)缺失.

因此在數(shù)學(xué)課堂上引入體驗(yàn)的環(huán)節(jié)，可以彌補(bǔ)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)缺乏的不足，從而使得學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象有本可依，因而體驗(yàn)客觀上也就可以為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ).

基于體驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力

既然已經(jīng)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)抽象是第一核心素養(yǎng)，且數(shù)學(xué)本質(zhì)上研究的就是抽象問題，數(shù)學(xué)發(fā)展的基本思想也是抽象的，那就應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的重要性. 考慮到初中階段學(xué)生的思維特點(diǎn)是形象思維與抽象思維并重，且學(xué)生的思維方式正由形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)化，所以在教學(xué)過程中會(huì)伴隨著抽象概念的學(xué)習(xí). 通過抽象的方式得出概念，前提依然是學(xué)生大腦中要有可以抽象的對(duì)象，因此在實(shí)際教學(xué)中對(duì)初中生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，可以提出的教學(xué)建議是：創(chuàng)設(shè)氛圍，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“具體”與“抽象”的辯證關(guān)系;搭建平臺(tái)，助力學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的形成. 下面通過一則案例來說明.

在“直線和圓的位置關(guān)系”的教學(xué)中，筆者注意到有教材是這樣引入的：日出的時(shí)候，將太陽看作一個(gè)圓，將地平線看作一條直線，那在太陽升起的過程中，太陽和地平線會(huì)有幾種位置關(guān)系？利用日出這個(gè)素材，來創(chuàng)設(shè)直線和圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)情境，可以說是別出心裁. 但是筆者在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)一部分學(xué)生實(shí)際上沒有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)，而如果靠想象又不足以將地平線抽象成直線，而這正是情境能夠發(fā)揮作用的關(guān)鍵地方. 于是筆者在教學(xué)中進(jìn)行了一些改進(jìn)，實(shí)際上也就是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)體驗(yàn)的過程，這個(gè)過程包括以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

一是選材環(huán)節(jié). 在上這節(jié)課之前，讓學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)“圓”的物體和一個(gè)“直”的物體，具體不限. 實(shí)踐表明，學(xué)生準(zhǔn)備的圓的物體包括小到硬幣、大到一些金屬環(huán)等，甚至有一個(gè)學(xué)生帶來了一個(gè)自行車輪圈;而準(zhǔn)備的直的東西則相對(duì)統(tǒng)一得多，多是一根木棒或者是竹棒、金屬棒等.

二是體驗(yàn)環(huán)節(jié). 這個(gè)環(huán)節(jié)的主要任務(wù)，是讓學(xué)生將準(zhǔn)備好的“圓”與“直”進(jìn)行擺放，考慮到空間關(guān)系，在擺放的時(shí)候可以強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，那就是要讓圓的東西和直的東西在同一個(gè)平面內(nèi)——比如說都放在桌面上. 由于過程開放，因此學(xué)生放置的情況也是五花八門：有的學(xué)生將棒擱在圓上，有的學(xué)生將棒放在圓的很遠(yuǎn)處;當(dāng)然也有學(xué)生將棒與圓的關(guān)系變成了垂直關(guān)系，教師要提醒此時(shí)兩者不在同一個(gè)平面之內(nèi)……總之在這樣的過程中，直線和圓的相離、相切、相交的情形都會(huì)出現(xiàn).

三是抽象環(huán)節(jié). 教師可以通過拍攝照片的方式，將學(xué)生所擺放的情形用照片借助投影儀呈現(xiàn)，然后讓學(xué)生去分類. 學(xué)生分類的時(shí)候，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)抽象開始的時(shí)候，因?yàn)榉诸惐囟ㄒx擇分類標(biāo)準(zhǔn)，而分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇則意味著學(xué)生要在大腦中加工那些圓形物體與直的物體的關(guān)系，這樣他們自然就會(huì)對(duì)不同的圓的物體和直的物體進(jìn)行抽象，而抽象所得到的就是數(shù)學(xué)意義上的圓和直線. 這個(gè)時(shí)候，數(shù)學(xué)抽象還會(huì)發(fā)揮一個(gè)作用，那就是學(xué)生體驗(yàn)中出現(xiàn)的直的物體擱在圓的物體之上所出現(xiàn)的“高低”關(guān)系，在抽象之后就變成了平面上的兩個(gè)圖形，就沒有這種立體關(guān)系了. 有學(xué)生在下面竊竊私語：還是簡(jiǎn)潔的圓和直線更容易認(rèn)識(shí)它們之間的關(guān)系. 在學(xué)生有了這個(gè)認(rèn)識(shí)之后，再建立直線和圓的位置關(guān)系就變得方便多了.

在上面的三個(gè)環(huán)節(jié)中，體驗(yàn)的過程是豐富的，數(shù)學(xué)抽象的過程是有效的，更關(guān)鍵的是，學(xué)生是在自發(fā)的需要驅(qū)動(dòng)之下進(jìn)行的數(shù)學(xué)抽象，這就使得他們能夠更為高效地形成數(shù)學(xué)抽象的能力. 實(shí)際上正是在這三個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，學(xué)生理解同一平面內(nèi)直線和圓的位置關(guān)系時(shí)，幾乎沒有讓筆者進(jìn)行太多的講授，他們就順利建立起了相關(guān)的認(rèn)識(shí).

重視體驗(yàn)與數(shù)學(xué)抽象的學(xué)生指向

體驗(yàn)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)歷的動(dòng)手過程，在動(dòng)手的過程中又有充分的思維，尤其是在教師的問題驅(qū)動(dòng)之下，這樣的體驗(yàn)往往有著更為明確的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的目標(biāo)指向. 從實(shí)際體驗(yàn)的物體，到數(shù)學(xué)意義上的數(shù)或形，這是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程，且這兩者能夠自然地銜接起來. 因此可以認(rèn)為將體驗(yàn)與數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)結(jié)合起來，可以對(duì)當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)方式形成有益的補(bǔ)充.

將這樣的教學(xué)思路與傳統(tǒng)的教學(xué)思路進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)過于重視知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生的思維主要集中在數(shù)學(xué)概念及其之間的邏輯關(guān)系上，這固然體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征，但同時(shí)也加大了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度. 對(duì)于初中學(xué)生而言，難度過大的危害是明顯的，而通過體驗(yàn)，可以降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，可以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，從而彌補(bǔ)講授式教學(xué)方式的不足，同時(shí)也能夠?yàn)閿?shù)學(xué)抽象提供豐富的素材.

再從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的角度來看，需要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的基礎(chǔ). 因此基于體驗(yàn)去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，無論是從理論的角度來看，還是從實(shí)踐的角度來看，都有顯著的價(jià)值. 當(dāng)然，這一切都是建立在學(xué)生指向的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)之上的. 所謂學(xué)生指向，實(shí)際上就是體驗(yàn)過程的設(shè)計(jì)和數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，都要建立在自己所教學(xué)生的基礎(chǔ)之上，只有弄清了自己所教學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的特點(diǎn)，尤其是在哪些方面存在經(jīng)驗(yàn)的缺失，才能設(shè)計(jì)出有針對(duì)性的體驗(yàn)過程，也才能讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)抽象過程，從而培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象的能力，并為核心素養(yǎng)的落地奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).