基于體驗培養初中生數學抽象能力的研究

鄧厚來

[摘 ?要] 初中學生在數學學習的過程中，總表現出抽象能力不足以支撐數學知識學習的一面，原因之一就是經驗的缺乏. 在數學課堂上引入體驗的環節，可以彌補生活經驗缺乏的不足，從而使得學生的數學抽象有本可依，因而“體驗”客觀上也就可以為數學概念、規律的學習提供基礎. 體驗是學生在數學學習中經歷的動手過程，在教師的問題驅動之下，體驗往往有著更為明確的數學知識建構的目標指向. 將體驗與數學抽象能力培養結合起來，可以對當前初中數學教學方式形成有益的補充.

[關鍵詞] 初中數學;體驗;數學抽象;能力培養

數學抽象是數學學科核心素養的重要組成部分，同時也可以認為是數學學習能力的重要組成部分. 多年的教學經驗表明，初中學生在數學學習的過程中，總表現出抽象能力不足以支撐數學知識學習的一面，原因之一就是初中學生更習慣形象思維，大腦習慣于加工形象的表象，而抽象思維能力較為薄弱（當然也正處于從形象思維轉向抽象思維的重要階段）. 因此，在初中階段進行數學抽象能力的培養，既符合初中學生的認知發展特點，同時也是數學知識學習的需要.

對于數學抽象能力的培養，早有同行進行過研究，提出的培養策略也呈現出豐富多彩的情形. 通過不完全歸納發現，在這些措施中，更多的是從教師教學的角度進行的努力，而面向學生學習過程本身的努力則相對較少. 顯然，這是以生為本理念的缺席，同時也意味著面向學生進行數學抽象能力的培養，有著迫切的研究需要. 基于這樣的認識，筆者以學生在數學學習中的體驗為切入口，并以此培養學生的數學抽象能力，研究結果表明，這樣的思路是正確的，研究的過程與結果是具有一定的參考意義的. 現對研究過程進行一個總結，以期對同行有拋磚引玉的作用.

數學抽象能力與體驗之間的關系

數學抽象能力的形成與學生的數學學習體驗之間的關系是密切的，這可以從兩者的基本內涵角度來建立認識. 所謂數學抽象，通常是指抽取出同類數學對象共同的、本質的屬性或特征，舍棄其他非本質的屬性或特征的思維過程. 數學抽象是數學的第一個基本特征（史寧中語），體現著數學的一般性. 筆者注意到，在數學學科核心素養中，數學抽象是六個要素之一，而且是首要因素，而數學抽象在數學知識建構過程中的作用則可以理解為：數學抽象既是學生建構數學概念的基礎，同時也是數學學習品質的重要組成部分.

而所謂的體驗，通常指通過親身實踐獲得經驗的過程. 國家督學、原江蘇省教科所所長成尚榮用一句簡練的話概括體驗，即體驗就是“以身體之，以心悟之”. 一般認為，體驗可以豐富學生的經驗，而根據建構主義學習理論，學生的經驗是建構知識的三大基礎之一（另兩個基礎是學習共同體和學習情境）. 所以體驗之于初中學生的數學學習，肯定是有引入價值的. 上面提到，初中學生的數學抽象能力是比較弱的，其中的一個原因，就是學生大腦中能夠支撐數學學習的素材不夠豐富. 因為素材缺乏，所以支撐數學概念形成的經驗就不足，同樣也就使得數學抽象如同無源之水一般. 而學生經驗的缺乏，與當前初中學生的生活方式有關，由于學習壓力大，又由于信息技術的發展，學生直接接觸的自然世界較少，接觸的虛擬世界較多，這造成了學生的生活體驗缺失.

因此在數學課堂上引入體驗的環節，可以彌補學生生活經驗缺乏的不足，從而使得學生的數學抽象有本可依，因而體驗客觀上也就可以為數學概念、規律的學習提供基礎.

基于體驗培養學生數學抽象能力

既然已經認識到數學抽象是第一核心素養，且數學本質上研究的就是抽象問題，數學發展的基本思想也是抽象的，那就應當認識到培養數學抽象能力的重要性. 考慮到初中階段學生的思維特點是形象思維與抽象思維并重，且學生的思維方式正由形象思維向抽象思維轉化，所以在教學過程中會伴隨著抽象概念的學習. 通過抽象的方式得出概念，前提依然是學生大腦中要有可以抽象的對象，因此在實際教學中對初中生數學抽象能力的培養，可以提出的教學建議是：創設氛圍，引導學生體會“具體”與“抽象”的辯證關系;搭建平臺，助力學生數學抽象能力的形成. 下面通過一則案例來說明.

在“直線和圓的位置關系”的教學中，筆者注意到有教材是這樣引入的：日出的時候，將太陽看作一個圓，將地平線看作一條直線，那在太陽升起的過程中，太陽和地平線會有幾種位置關系？利用日出這個素材，來創設直線和圓的位置關系的學習情境，可以說是別出心裁. 但是筆者在實際教學中發現，相當一部分學生實際上沒有這樣的生活經驗，而如果靠想象又不足以將地平線抽象成直線，而這正是情境能夠發揮作用的關鍵地方. 于是筆者在教學中進行了一些改進，實際上也就是為學生創設了一個體驗的過程，這個過程包括以下幾個環節：

一是選材環節. 在上這節課之前，讓學生準備一個“圓”的物體和一個“直”的物體，具體不限. 實踐表明，學生準備的圓的物體包括小到硬幣、大到一些金屬環等，甚至有一個學生帶來了一個自行車輪圈;而準備的直的東西則相對統一得多，多是一根木棒或者是竹棒、金屬棒等.

二是體驗環節. 這個環節的主要任務，是讓學生將準備好的“圓”與“直”進行擺放，考慮到空間關系，在擺放的時候可以強調一點，那就是要讓圓的東西和直的東西在同一個平面內——比如說都放在桌面上. 由于過程開放，因此學生放置的情況也是五花八門：有的學生將棒擱在圓上，有的學生將棒放在圓的很遠處;當然也有學生將棒與圓的關系變成了垂直關系，教師要提醒此時兩者不在同一個平面之內……總之在這樣的過程中，直線和圓的相離、相切、相交的情形都會出現.

三是抽象環節. 教師可以通過拍攝照片的方式，將學生所擺放的情形用照片借助投影儀呈現，然后讓學生去分類. 學生分類的時候，實際上就是數學抽象開始的時候，因為分類必定要選擇分類標準，而分類標準的選擇則意味著學生要在大腦中加工那些圓形物體與直的物體的關系，這樣他們自然就會對不同的圓的物體和直的物體進行抽象，而抽象所得到的就是數學意義上的圓和直線. 這個時候，數學抽象還會發揮一個作用，那就是學生體驗中出現的直的物體擱在圓的物體之上所出現的“高低”關系，在抽象之后就變成了平面上的兩個圖形，就沒有這種立體關系了. 有學生在下面竊竊私語：還是簡潔的圓和直線更容易認識它們之間的關系. 在學生有了這個認識之后，再建立直線和圓的位置關系就變得方便多了.

在上面的三個環節中，體驗的過程是豐富的，數學抽象的過程是有效的，更關鍵的是，學生是在自發的需要驅動之下進行的數學抽象，這就使得他們能夠更為高效地形成數學抽象的能力. 實際上正是在這三個環節的基礎上，學生理解同一平面內直線和圓的位置關系時，幾乎沒有讓筆者進行太多的講授，他們就順利建立起了相關的認識.

重視體驗與數學抽象的學生指向

體驗是學生在數學學習中經歷的動手過程，在動手的過程中又有充分的思維，尤其是在教師的問題驅動之下，這樣的體驗往往有著更為明確的數學知識建構的目標指向. 從實際體驗的物體，到數學意義上的數或形，這是一個數學抽象的過程，且這兩者能夠自然地銜接起來. 因此可以認為將體驗與數學抽象能力培養結合起來，可以對當前初中數學教學方式形成有益的補充.

將這樣的教學思路與傳統的教學思路進行對比，可以發現傳統的初中數學教學過于重視知識的學習，學生的思維主要集中在數學概念及其之間的邏輯關系上，這固然體現了數學學科的基本特征，但同時也加大了數學學習的難度. 對于初中學生而言，難度過大的危害是明顯的，而通過體驗，可以降低數學學習的難度，可以增強學生數學學習的興趣，從而彌補講授式教學方式的不足，同時也能夠為數學抽象提供豐富的素材.

再從數學學習能力培養的角度來看，需要認識到數學是研究數與形的學科，學生數學抽象能力的培養，應當成為學生數學學習能力培養的基礎. 因此基于體驗去培養學生的數學抽象能力，無論是從理論的角度來看，還是從實踐的角度來看，都有顯著的價值. 當然，這一切都是建立在學生指向的認識基礎之上的. 所謂學生指向，實際上就是體驗過程的設計和數學抽象能力的培養，都要建立在自己所教學生的基礎之上，只有弄清了自己所教學生在數學學習中表現出來的特點，尤其是在哪些方面存在經驗的缺失，才能設計出有針對性的體驗過程，也才能讓學生經歷一個數學抽象過程，從而培養其數學抽象的能力，并為核心素養的落地奠定堅實的基礎.