基于“三個理解”的初中數學概念教學再思考

費云標

[摘 ?要] 文章以“定義與命題”為載體，以“理解數學、理解學生、理解教學”為主線來進行教學設計，并結合筆者自身教學活動經驗歸納，提煉出了對概念教學的若干再思考.

[關鍵詞] 三個理解;概念教學

案例背景

有幸參加區教學設計的比賽，筆者選擇的是蘇科版教材平面圖形的認識（二）與證明的整合教材的一節概念課，并付諸教學，效果不錯. 數學概念教學可以發展學生的概念思維、遷移能力. 概念教學不僅僅是傳授知識與技能，更需要學生參與其中，感悟概念歸納的不易，進行思維的碰撞與思考，進而發展智力與培養能力，達到“數學育人”的目的. 下面，筆者以“理解數學、理解學生、理解教學”為主線，對概念教學進行再思考.

課前思考

1.理解數學是當好數學教師的前提

“定義與命題”是整合版教材七下7. 3. 1的內容，其內容貫穿初中數學教材體系. 通過本節課的學習，學生能感受到初中數學知識體系的完備性與嚴謹性. 這節課還是學習推理的起始章節，能為學生后續學習證明做必要的準備. 學完本節課之后，學生能掌握與命題相關的基礎知識，能提高數學語言表達能力，并能進一步發展邏輯思維能力.

基于以上分析，筆者得出了這節課的教學重點：了解定義、命題、真命題、假命題的意義，會區分命題的條件和結論.

2.理解學生是開展高效教學的基礎

本節課的授課對象是初一學生，他們具備初步感受數學概念的能力，故設計情境與問題串時，要設計在學生的最近發展區內. 本節課從情境入手處，就要考慮學情，貼生而行，讓學生在交流與碰撞中不斷生成數學知識，感受數學概念的生長;通過問題串的形式，不斷追問，滿足不同的學生對數學的需求，同時促進學生對數學的理解.

基于以上分析，筆者得出了這節課的教學難點：會判斷一個命題的真假，在交流中發展有條理的思考和表達的能力.

3.理解教學是實施教學的關鍵

課堂教學就是要充分挖掘數學知識蘊含的價值資源，并在教學中將知識教學與教學價值融為一體，這樣才能真正體現“數學育人”.

教學目標：（1）了解定義、命題、真命題、假命題的意義，會區分命題的條件和結論;（2）會判斷一個命題的真假，在交流中發展有條理的思考和表達的能力.

達成目標（1）的標志是：通過具體實例，能夠判斷出定義、命題、真命題、假命題的意義，感受定義的規則，了解什么是命題;能夠改寫命題，并指出命題中的條件和結論.

達成目標（2）的標志是：會判斷一個命題的真假——要說明假命題，只要舉出一個反例即可;要說明真命題，需要說明題設成立時，結論總成立，需要證明. 至于在交流中發展有條理的思考和表達的能力，只要是學生合乎邏輯的思考與有條理的表達，教師都要積極地肯定與表揚.

教學過程

1.創設情境，初識概念

問題1：豐富的數學世界里有許多神奇的數. 我們把每個數位上的數字的立方和等于其本身的三位數稱為“美麗的數”. 比如：因為43+03+73=64+0+343=407，所以407是“美麗的數”. 你們能從131，153，121這三個數中找出“美麗的數”嗎？

設計意圖 情境選取學生感興趣的數學問題，能引發學生思考，感悟定義的必要性.

生1：只要分解一個三位數的每一位數字，并按照定義求出各個數位上數字的立方和，判斷結果是否為原來的三位數即可.

2.活動探究，建構概念

問題2：（熟悉問題，感悟定義）

（1）怎樣的兩條直線叫“平行線”？

（2）怎樣的兩個數叫“互為相反數”？

設計意圖 設計熟悉的小問題，讓學生搶答，歸納定義的概念. （定義：對名稱或術語的含義進行描述或做出規定）通過回憶這些概念，引導學生感受概念的定義生成過程以及知識的前后聯系.

生2：“在同一平面內，不相交的兩條直線”是“平行線”的定義;“符號不同，絕對值相同的兩個數”是“互為相反數”的定義.

師：如何給概念下定義？定義的規則是：（1）應相稱，即定義概念和定義概念的外延相等;（2）不應循環;（3）一般不是否定判斷;（4）應清楚確切. 大家通過之前具體的例子進行感受即可.

問題3：下面每組的兩句話一樣嗎？如果不一樣，它們有什么不同？

（1）“等角的補角相等”與“等角的補角相等嗎”;

（2）“相等的角是對頂角”與“相等的角一定是對頂角嗎”;

（3）“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”與“過一點畫已知直線的垂線”.

設計意圖 分組討論，歸納總結（每組的兩句話，一類是對某件事做出判斷，另一類沒有對某件事做出判斷），引出命題的概念（命題：判斷一件事情的句子）. 引導學生通過對兩類（命題與非命題）具體例子的辨析，了解什么是命題，什么不是命題. 即使是錯誤的判斷，也是命題. 命題的特征：是句子、有判斷、有對錯.

生3：其中（1）（2）（3）前面的句子對某件事情做出了判斷，而后面的句子沒有對某件事情做出判斷.

問題4：命題指判斷一件事情的句子，請你舉出一些命題.

設計意圖 利用學生互相提問與矯正、教師引導的方式，讓學生進一步理解命題的概念，初步驗證命題的正確性.

生4：同位角相等嗎？

生5：我認為生4給的例子并沒有對事物的情況進行判斷. 疑問句沒有肯定與否定，所以我認為此句子不是命題.

生6：三角形的內角和是360°.

生7：從命題的定義來判斷，生6的例子確實判斷出了三角形的內角和的值，屬于肯定判斷. 我認為此句子是命題，但是此命題做出了錯誤的判斷.

問題5：觀察下列命題，你能發現它們有什么共同的結構特征嗎？

（1）如果a=b，那么a=b;

（2）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等;

（3）如果兩條直線平行，那么同位角相等;

（4）對頂角相等.

設計意圖 讓知識的生長存在梯度，讓學生處于最近發展區，希望學生在相互交流學習中自我成長，讓學生體會所有的命題都由兩部分組成，即條件和結論，感受“如果……那么……”形式的簡潔與優勢.

生8：它們都由條件與結論兩部分組成;我認為“對頂角相等”的條件是“對頂角”，結論是“相等”.

師（追問）：你能把“對頂角相等”的條件與結論表述得更清楚嗎？

生9：生8表述的條件與結論不是完整的句子，不如這樣來表述——條件是“兩個角是對頂角”，結論是“這兩個角相等”. 我參考了前面（1）（2）（3）三個命題的表述形式（如果……，那么……），先把命題改寫為前面的形式，再寫出條件與結論.

問題6：說一說下面各命題的條件與結論，并判斷命題是否正確.

（1）如果a，b之和為0，那么a，b之積為0;

（2）兩個角是同旁內角，這兩個角的和為180°;

（3）兩直線平行，內錯角相等;

（4）兩直線平行，它們沒有交點.

設計意圖 引導學生學會改寫命題，了解真命題、假命題的意義，并且學會用舉反例的方法來說明“命題”是錯誤的，即假命題.

生10：只要條件成立，結論也成立的命題就是真命題;如果條件成立，但是不能保證結論也成立的命題就是假命題.

生11：判斷假命題的方法就是能舉出一個反例，判斷真命題的方法需要推理說明.

3.匹配目標，鞏固提升

（1）寫一個句子，并讓同桌來判斷該句子是否是命題.

設計意圖 考查學生對命題的概念的掌握情況.

（2）寫一個命題，請其他同學指出該命題的條件和結論，并判斷命題的真假，說一說理由.

設計意圖 考查學生命題的組成理解情況以及判斷命題真假的掌握情況，讓學生利用舉反例的方法來判斷假命題，感受真命題需要用推理來證明.

4.歸納小結，展望后續

大家一起回顧本節課所學的主要內容，并請學生回答以下問題：

（1）談談你對命題的認識. 你認為命題還需要學習哪些內容？

（2）請你寫1～2個命題，說出它們的條件與結論，并判斷命題的真假.

設計意圖 學生回顧與思考，并歸納總結，培養學生善于歸納和思考的能力，有利于他們對新知識加深理解.

5.分層作業，思維提高

必做作業：蘇科版教材習題7. 3. 1第1、2、3題.

選做作業：小莉遇到了一道題——比較nn+1與（n+1）n的大小. 她通過計算發現：當n=2，3時，有nn+1<（n+1）n，于是得出結論nn+1<（n+1）n. 請你判斷小莉的做法是否正確.

設計意圖 及時了解學生的學習情況，調整教學安排;通過學生課后獨立思考第1、2、3題，自我評價學習效果，加強學生對新知識的鞏固，檢查學生掌握知識的情況. 選做作業是課內知識的延伸，學生可以通過閱讀教材、查找資料或與同學交流解決此題，培養學生的合作探究意識，并鍛煉解決問題的能力.

概念教學的再思考

1.概念教學需要把“數學育人”作為核心目標

本節課是幾何推理的章節起始課，對后續數學知識的學習有鋪墊、啟發、生長的作用. 從本質上講，數學概念課的本質是數學育人. 我們從幾何數學概念課開始滲透推理意識，對初中幾何的學習大有裨益，同時能促進學生的有機生長. 本節課單看內容，只有幾個概念，如果要滲透數學核心素養，內容可選擇的角度就多了;如果是為學生的終身發展奠基，那可選擇的素材就更豐富了. 本節課是幾何基礎概念課，可采用“交代情境，引入概念，探究概念”的概念教學一般模式，讓學生感悟數學概念出來、生長的一般過程，體會到研究數學概念的套路，激發思維，提高素養. 這樣做，才能真正挖掘概念教學的育人資源，彰顯概念教學的價值.

2.概念教學需要學生積極概括概念的本質特征

大多數概念課的弊病是課堂沉悶，教師講得枯燥乏味，學生學得無趣. 筆者認為，學生積極概括概念的本質特征會讓概念課更加有效、活潑. 其一，可以在概念教學中充分把握認知沖突，激發學生思考;其二，可以在概念教學中積極利用問題串把不同思維含量的問題串聯在一起，幫助學生更好地理解概念. 概念的建構需要概念思維，這也是促進學生不斷成長的重要因素. 比如，尋找命題的條件與結論時，改寫命題具有便捷性，這樣對命題概念的理解就更加深刻. 概念抽象需要典型實例，那誰來找例子？本節課多處出現讓學生自己舉例，且要求舉盡量不同的例子，逼學生思維動起來，這樣的例子百花齊放，貼近生活，貼近學生，貼近創新. 這樣的數學學習活動，自然形成，既有學生之間的互動交流，又有思維的生長，不僅促進了深度思考，更促進了思維深度的提高. 當一個學生舉例后，其他同學也積極參與思辨，互動，互相促進思考，盡可能自主歸納概念，讓概念的形成過程貼生而行. 當然，教師應貼生而行，提出高思維的問題串，引導學生積極概括概念的本質特征，真正參與到概念的建構活動中.

3.概念教學要讓學生自然地實現“概念形成”

數學概念、數學方法、數學思想的起源與發展都是自然的. 概念教學就應該使概念出得自然，水到渠成. 本節課的教學，我們力求使學生感受定義的存在性，了解定義的必要性，從如何下定義，如何用定義，上升到繼續研究命題.

從課堂的角度來看，概念教學主要有兩點：其一，概念生成需要邏輯自然;其二，概念生成需要符合學生的心理特征. 在本節課中，教師先帶領學生從數學問題中感受定義的存在，進而感受下定義的必要性，接著從典型例子中歸納定義的概念. 利用上述基本活動經驗與探究概念的套路，通過具體例子歸納出命題的概念，探究命題的結構，判斷命題的真假;歸納判斷的經驗;在引導學生概念形成的過程中，貼生而行，讓學生主動參與概念歸納過程，用多層次、高思維的問題串來引導課堂節奏，逐步深度思考并理解數學概念，讓學生自然地實現“概念形成”.