基于n階GBT熱-機載荷作用下FGM梁的振動特性和穩(wěn)定性分析

蒲育 周鳳璽

摘要：研究了熱一機載荷耦合作用下彈性地基FGM梁的振動特性與穩(wěn)定性。考慮到材料的物性依賴于溫度變化且組分沿梁厚按冪律分布。首先，基于一種擴展的n階廣義剪切變形梁理論（n-th GBT），應(yīng)用Hamilton原理，統(tǒng)一建立了系統(tǒng)自由振動及屈曲問題力學模型的控制方程，采用一種改進型廣義微分求積法（MGDQ）獲得FGM梁靜動態(tài)響應(yīng)的數(shù)值解。其次，通過算例驗證GBT的有效性并給出階次n的理想取值，在豐富梁理論的同時，也可驗證或改進其他各種剪切變形梁理論。最后，討論并分析了升溫、邊界條件、初始軸向機械載荷、梯度指標、地基剛度、跨厚比等諸多參數(shù)對FGM梁振動特性和穩(wěn)定性的影響。

關(guān)鍵詞：熱一機載荷;FGM梁;振動特性;穩(wěn)定性;n階GBT

中圖分類號：0343.6;0326 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0064-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.007

引言

功能梯度材料（FGM）作為一種新型的非均勻復合材料，其設(shè)計的初衷是作為航天飛機表面涂層的一種熱應(yīng)力緩和材料，F(xiàn)GM能實現(xiàn)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件不同部位對材料功能的不同要求，因其可設(shè)計性、耐高溫、耐磨損、抗腐蝕等方面的優(yōu)良特性，在航空航天、機械、生物醫(yī)療、核能等工程領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。FGM梁作為諸多工程領(lǐng)域中廣泛使用的結(jié)構(gòu)形式之一，其靜動態(tài)響應(yīng)一直備受人們關(guān)注和重視。因此，F(xiàn)GM梁的振動特性與穩(wěn)定性一直是近些年學者們研究的熱點和前沿課題。

針對FGM梁在常溫環(huán)境中工作，許多學者在這方面圍繞其振動特性和穩(wěn)定性開展了一系列研究工作。例如，Chen等基于二維線彈性理論，將微分求積法（DQM）與狀態(tài)空問法（ssM）相結(jié)合，數(shù)值研究了彈性地基FGM梁的自由振動。Huang等分析了FGM圓形截面簡支梁的臨界失穩(wěn)，得出了臨界載荷和臨界應(yīng)力的精確解。魏東等采用矩陣傳遞法數(shù)值研究了含有裂紋功能梯度材料Euler（CBT）梁與Timoshenko（FSBT）梁的屈曲問題。Simsek建立了6種高階剪切梁理論下FGM梁自振的Lagrange頻率方程，討論了不同梁理論對頻率的影響。Thai等首次以軸向位移、彎曲撓度及剪切變形撓度為基本位移函數(shù)，采用Navier法分析了4種高階剪切理論下FGM簡支梁的頻率特性，所采用的位移場描述方法可直接量化并揭示剪切變形的影響。本文也采用該方法描述梁變形的位移場。Li等根據(jù)控制微分方程解的相似性導出了功能梯度CBT與FSBT梁的頻率及Levinson梁臨界載荷的精確解。Pradhan等采用Ritz法討論了不同梁理論對FGM梁頻率的影響。Kahya等建立了功能梯度FSBT梁臨界失穩(wěn)及自由振動問題的有限元模型。但在文獻[1-11]的研究中均未考慮溫度的影響。

初始軸向機械載荷、溫度或其他因素的變化使得FGM梁產(chǎn)生初始軸力而改變其振動特性和穩(wěn)定性。而FGM梁在高溫環(huán)境中具有顯著優(yōu)勢，隨著近些年FGM梁廣泛應(yīng)用于高溫工況，研究其在熱載荷作用下工作時的振動特性、穩(wěn)定性及熱沖擊等靜動態(tài)響應(yīng)顯得尤為必要，但這方面的研究相對較少。例如，趙鳳群等采用WDQ法分析了切向隨從力和熱載荷共同作用下功能梯度CBT梁的穩(wěn)定性及振動特性。針對材料關(guān)于梁的幾何中面對稱分布，Mahi等導出了非線性升溫FGM梁自由振動響應(yīng)的精確解。Pradhan等考慮了材料物性隨溫度的變化，應(yīng)用DOM數(shù)值研究了變彈性地基FGM歐拉夾層梁的振動特性。文獻[15-16]均采用Reddy型三階剪切梁理論（TBT），先后應(yīng)用Ritz法和SSM分析了熱環(huán)境中FGM梁的振動特性和穩(wěn)定性。此外，李世榮等采用DQM得到了功能梯度FSBT梁在瞬態(tài)熱沖擊下的動態(tài)響應(yīng)。最近，張靖華等采用辛方法探討了FGM歐拉梁在熱沖擊下的動力穩(wěn)定特性。

綜上所述，目前針對FGM梁靜動態(tài)響應(yīng)的研究主要基于不同的梁理論或采用不同的分析方法。頻率和臨界載荷兩者都作為反映梁整體力學行為的量，都需要求解特征值問題，而臨界溫度同時關(guān)乎這兩種力學行為，它對FGM梁的安全設(shè)計和功能設(shè)計具有重要指導意義。但已有文獻對這兩種力學行為關(guān)聯(lián)的探索不夠充分，且這方面的研究報道目前極為少見。

本文將2013年Xiang等提出的n階剪切變形板理論擴展為一種廣義剪切梁理論（GBT），基于n階GBT，統(tǒng)一建立了熱一機載荷耦合作用下彈性地基FGM梁的自由振動和屈曲方程。通過算例驗證，討論并給出了GBT階數(shù)n的理想取值。采用一種改進型廣義微分求積法（MGDQ）獲得數(shù)值解，著重討論并分析了諸多因素對FGM梁振動特性及穩(wěn)定性的影響，尤其刻畫了臨界升溫值與頻率和臨界載荷的關(guān)聯(lián)，由此得出一些有益的結(jié)論。

1模型的控制方程

1.1問題的描述

考慮一長寬高分別為L×b×h的FGM彈性地基梁，z軸沿軸線方向，y軸和z軸分別沿梁的寬度和厚度方向，xoy面為梁的幾何中面。假設(shè)Wink-ler-Pasternak彈性地基剛度分別為kw和kp梁受初始軸向機械載荷為P（假設(shè)壓力為正），溫度T沿梁厚度方向穩(wěn)態(tài)分布，上表面為純陶瓷，下表面為純金屬，材料的物性隨溫度變化且按冪律連續(xù)分布。材料的物性參數(shù)（彈性模量E，泊松比u，熱膨脹系數(shù)a，熱傳導率K，密度p）與坐標Z和溫度T滿足

4結(jié)論

本文基于n階GBT，探討了熱一機載荷作用下彈性地基FGM梁的振動特性和穩(wěn)定性。數(shù)值結(jié)果表明：

（1）擴展的n階GBT可退化為3種常見的梁理論，GBT退化而來的CBT即使對短梁而言，也能獲得較為滿意的預(yù)測結(jié)果。若采用高階剪切梁理論模型，宜取n≥3的奇數(shù)。因此，GBT適用范圍廣、具有重要的理論和工程應(yīng)用價值。

（2）采用的MGDQ法行之有效，通過引入邊界控制參數(shù)，可統(tǒng)一編寫3種邊界梁的計算程序，具有簡便、易操作、工作量小等優(yōu)點。

（3）通過量化并分析諸多因素或參數(shù)對FGM梁振動特性及穩(wěn)定性的影響，可供FGM梁在較為復雜工況下的安全設(shè)計和功能設(shè)計提供必要的理論依據(jù)和應(yīng)用參考。