論分布式陀螺柔性體結構的動力學建模問題

陳金 金棟平 劉福壽

摘要：針對含分布式控制力矩陀螺的柔性體結構動力學建模問題，研究了結構和陀螺之間相互耦合對結構固有振動的影響。通過基于有限元離散的建模思路，獲得了含分布式控制力矩陀螺的結構動力學模型。對比模態疊加方法，提出原柔性體模態的概念。結果表明，分布控制力矩陀螺對結構固有振動產生了本質的影響。基于原柔性體結構前幾階模態的模態疊加法，由于沒有計入結構和陀螺之間的耦合效應，所得到結構動力學降階模型具有較大誤差。

關鍵詞：結構動力學;陀螺柔性體;模態疊加法;模型降階;原柔性體模態

中圖分類號：0326 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0074-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.008

引言

自DEleuterio和Hughes提出連續陀螺柔性體概念以來，陀螺在結構中的耦合效應引起了廣大學者的注意。Brocato和Capriz詳細研究了陀螺影響結構振動的機理;Hassanpour和Heppler提出了微極陀螺連續體的概念，將模型適用性拓展至大轉角。然而，由于連續分布陀螺在工程中無法實現，很多學者研究了鏈式連接陀螺體、離散分布陀螺柔性體的耦合動力學問題，并將其用于陀螺阻尼器、姿態和振動抑制等。Hu等將離散的分布式陀螺柔性體擴展到空問結構，研究了奇異性和操縱律。Wu等針對傳統控制方案易出現奇異性的問題，基于斜交構型變速控制力矩陀螺群，以控制力矩陀螺狀態變量作為系統控制輸人，將控制力矩陀螺的奇異問題轉化為系統狀態變量與控制輸人受限的控制問題，采用非線性模型預測控制方法實現了航天器的姿態控制。

在現階段陀螺柔性體的動力學建模中，部分采用的建模思路是模態疊加法，選取的模態是未考慮結構和陀螺之問耦合效應的原柔性體結構的固有振動模態，這種采用原柔性體結構前幾階模態對陀螺柔性體進行模型降階的方法造成很大誤差。本文將結構和陀螺之問的耦合效應納入有限元離散過程，建立了分布式陀螺柔性體的動力學模型，對比研究了有限元方法和模態疊加法的計算結果，指出了模態疊加法的適用性。

1陀螺柔性體動力學精確建模

研究含分布式控制力矩陀螺（Control MomentGyro，cMG）的柔性體結構動力學建模問題。建立固定于地球的慣性坐標系Oe-Xeyeze和第i個CMG框架和轉子的質心坐標系Oi-xiyizi，其中xi和yi分別沿框架轉軸和轉子轉軸方向，如圖1所示。假設結構為線彈性、小變形，框架轉角及角速度均為小最。

由上述說明可以發現，方程（12）可以由方程（9）降階變換得到。即：使用模態疊加法建模，當選取模態階數趨于系統離散自由度時，模態疊加結果收斂于方程（9）。

需要注意的是，對于陀螺柔性體而言，陀螺耦合效應改變了系統固有屬性，因此在模態疊加建模過程中采用的模態信息來源于原柔性體結構，并不是陀螺柔性體結構的真實模態，將這種不能體現系統真實固有特性的模態稱為原柔性體模態。

在采用結構真實模態進行模態降階時，真實模態可以使系統解耦，使用前幾階模態即可較為準確地描述結構振動;而采用原柔性體模態進行模態疊加建模時，所得到的系統動力學的固有特性誤差不僅來源于模態截斷，更來源于原柔性體模態，并不能真實描述耦合系統的固有振動。

綜上所述，對于陀螺柔性體結構，通過本文提出的基于有限元離散思想的建模方法，可以得到較為準確的動力學方程并進行模態分析;而采用模態疊加法建模時，由于原柔性體模態未考慮陀螺耦合效應對結構的影響，選取的模態疊加階數較低時無法得到較為準確的動力學模型及耦合結構的真實模態信息。

3算例

3.1CMGs對固有振型影響

研究陀螺轉子角動量對耦合柔性體結構固有特性的影響，將框架與柔性結構固定，即將方程（9）和（12）右端輸人項置零。文獻[1，10]給出了陀螺柔性體的陀螺柔性模態概念，均表明陀螺柔性體運動可由陀螺柔性模態（uo，va）描述。參照上述文獻推導過程，對式（9）作同樣處理，即寫成狀態空問形式

以圖3所示固支約束邊界陀螺柔性梁結構為例，采用有限元法離散為20個梁單元，共有21個節點，結構總自由度為120。選取節點3，5，7，9，11，13，15，17，19，21作為控制力矩陀螺的安裝位置。陀螺初始框架坐標系與結構慣性參考系重合，結構參數如表1所示。梁橫截面積為0.01m×0.02m，材料為鋁合金。

給定陀螺轉子角動量hi=15N·m·s，分別使用有限元離散和6階原柔性體模態疊加計算陀螺柔性模態，如圖4所示。

從圖4可以發現，使用6階原柔性體模態疊加可以較為準確地模擬1階陀螺柔性模態，而其余階陀螺柔性模態誤差會越來越大。模態疊加思想之所以可以用于降階動力學模型，是因為真實系統模態可以使質量矩陣和剛度矩陣解耦，低階模態振動能量相對于結構真實振動能量占比較高，高階模態對結構真實振動影響較小。然而，如果耦合效應影響了系統真實固有特性，改變了結構真實模態，此時使用原柔性體模態疊加進行動力學建模，將產生比較大的誤差。

3.2CMGs對固有頻率影響

本節計算轉子轉速對結構固有頻率的影響，同樣選取圖2所示的約束邊界梁結構。改變各個陀螺的轉子角動量，使其在0-24N·m·s范圍內變化，分別使用有限元離散及5，10，20階原柔性體模態疊加計算結構固有頻率隨角動量的變化，結果如圖5所示。

從圖5（b）可見，當采用5階原柔性體模態疊加計算時，固有頻率變化趨勢出現明顯錯誤;從圖5（c）可見，模態疊加階數提高為10階時，結果趨于圖5（a）有限元離散的結果，但對比A點與B點可以發現，數值上仍存在較大誤差;從圖5（d）可見，當模態階數為20階時，結果與有限元離散計算趨于一致。

給定轉子角動量15N·m·s，采用本文提出的方程（9）計算陀螺柔性體前4階固有頻率，并與不同階數原柔性體模態疊加計算結果對比，結果如表2所示。從表2可見，對于圖2所示構型，針對陀螺柔性體前4階固有頻率，所選取的原柔性體模態階數需達到10階時，才可以使誤差降到5%以下。

對于不同構型或不同轉子角動量，由于耦合效應對結構固有特性影響程度不同，原柔性體模態疊加計算誤差也不同，因此對于不同構型的陀螺柔性體建模，難以事先確定可以實現足夠精度的原柔性體模態階數。為此，建立如圖6所示不同陀螺柔性梁構型，這里初始轉子角動量方向分別指向y軸和z軸。改變各個轉子角動量，使其在0-24N·m·s內變化，采用本文提出的方程（9）計算結構固有頻率隨角動量變化趨勢，結果如圖7所示。

對比圖5和7可以發現，不同構型的陀螺耦合效應對結構固有特性影響不同。例如，y向構型的陀螺耦合效應對結構原始1階、3階和5階固有振動沒有影響;z向構型的陀螺耦合效應對結構原始2階和4階固有振動沒有影響。通常，陀螺耦合效應使結構固有頻率降低，特殊情況下局部頻率上升，因此可以通過合理的配置使結構達到期望的動力學特性。

同樣地，給定轉子角動量15N·m·s，使用原柔性體模態疊加法，計算前4階y和z向構型陀螺柔性梁固有頻率，結果如表3和4所示。可見，計算誤差在5%以下所需原柔性體模態階數分別為37階和48階。實際應用中，模態疊加使用的模態階數一般不會超過10階，若所選模態序列為結構真實模態序列，選取前幾階即可準確描述相應的模態振動;若選取的模態序列為原柔性體模態，為得到足夠的精度，所需模態階數取決于耦合效應對結構固有特性的影響。若耦合效應對結構固有特性改變較小，較少階原柔性體模態疊加可以達到較高的精度，若耦合效應對結構真實模態改變較大，原柔性體模態疊加會造成很大的誤差。

4結論

對于陀螺柔性體結構，結構變形引起的陀螺耦合效應可以改變結構的固有特性。一般情況下，陀螺耦合效應使結構固有頻率下降，但不同的陀螺配置和轉子角動量對固有特性影響不同，特殊構型可以使結構部分固有頻率上升。由于結構真實模態受陀螺影響而發生改變，用原柔性體模態作模態疊加建模無法得到真實的降階模型，產生的誤差取決于耦合效應對結構真實模態的影響程度。因此在對任一特定的陀螺柔性體結構建模前，如果采用模態疊加方法，需要對其進行陀螺耦合效應及收斂性分析。