隨機荷載作用下參數不確定結構的疲勞損傷估計

朱穎 雙妙

摘要：基于改進區間分析和頻域疲勞計算方法，對參數不確定結構在平穩高斯荷載作用下的疲勞損傷進行研究，提出完全混合和簡化計算兩種方法。采用區問變量模型定義結構的不確定參數，功率譜密度描述外荷載的隨機性;利用有理級數顯式表示結構區間頻響函數及在平穩高斯荷載作用下不確定結構的應力響應區問。通過數值方法驗證疲勞損傷期望率關于不確定參數的單調性后，將應力響應中不確定參數的界限完全組合提出完全混合方法，準確估計參數不確定結構的疲勞損傷期望率區間;簡化計算方法則將不確定參數的界限適當組合，由顯式表達式近似計算結構的疲勞損傷期望率區間。算例表明，兩種方法均具有較高計算精度，且大幅減少計算量。

關鍵詞：隨機振動;疲勞損傷期望率;改進區間分析;結構不確定;單調性

中圖分類號：0324;0346.2;TU311.3 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0088-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.010

引言

根據結構控制點處應力的計算方法，通常將疲勞損傷估計分為時域和頻域方法。時域方法通過時問進步法獲得應力時程后，根據線性損傷累積理論計算控制點處的疲勞損傷;頻域方法根據外荷載的功率譜密度得到應力響應后，由應力功率譜密度計算控制點處的疲勞損傷。由于不需要進行時程分析，頻域疲勞分析方法大幅提高了計算效率。

上述兩種疲勞估計方法均將結構參數視為確定值，由結構控制點處應力響應計算該點的疲勞損傷。然而，結構的疲勞失效是受大量不確定因素影響的復雜過程，主要包括結構和外荷載。其中，外荷載的不確定性通常由服役環境的不確定性引起，稱為自然不確定性;結構的不確定性，通常由結構參數和模型誤差兩部分組成，是由于認知不確定性或不合理的模型簡化引起的。

由于存在大量實測樣本，自然不確定性可以通過統計分析建立準確的外荷載隨機譜模型，根據頻域疲勞分析方法得到結構控制點處的疲勞損傷期望率。對于結構的不確定性，傳統方法是將結構不確定參數定義為隨機變量，進而計算參數不確定結構的動力響應和可靠性。但是，準確的概率模型需要大量數據，在工程初期很難實現。同時，對于既有結構，結構參數的不確定性本身并不具有隨機性。因此，這些局限性使非概率理論定義結構參數的不確定性成為解決疲勞損傷估計中結構不確定性的一種新思路。

Ben-Haim首次將凸集理論引入到疲勞損傷分析中，提出疲勞損傷估計的非概率方法。Qiu等基于壽命函數的Taylor展開和區問自然擴張，提出疲勞壽命的區問估計方法。Sarkar等通過Wiener級數計算結構參數或外荷載任一因素不確定情況下的疲勞損傷。

上述方法中，區問分析理論將不確定參數定義成區問變量，僅由參數的不確定范圍即可對含不確定參數的結構進行定量分析。但由于經典區問分析過高地估計響應區問的寬度，不利于工程中應用。針對這一問題，廣義區問方法被提出，以解決參數不確定結構在確定性荷載作用下的靜力和動力。響應分析問題。Muscolino等基于有理級數提出改進區問分析方法，通過參數不確定結構區問頻響函數的顯式表達式，計算隨機荷載作用下結構的動力響應區問和可靠性函數區間;并考慮隨機荷載統計變量的不精確性。Do等將區問分析與譜隨機和隨機抽樣相結合，提出考慮結構不確定參數的區問概率模型。劉海波等將結構中不確定參數分別定義為隨機變量和區問變量，提出一種含概率與區問混合不確定性的可靠性分析方法。目前，基于首超破壞準則的區問可靠性分析相對成熟，而基于損傷累積理論的疲勞估計則有待研究。

本文將結構的不確定參數定義為區問變量，外荷載按概率模型簡化，同時考慮荷載和結構兩方面不確定性對疲勞損傷的影響。根據改進區問分析理論，提出兩種疲勞損傷估計方法用于計算隨機荷載作用下參數不確定結構的疲勞損傷。

3隨機疲勞區間分析方法

3.1單調性驗證

根據式（7）可知，當不確定參數向量a是區問疲勞損傷率的單調函數時，可以采用頂點法（vertexmethod）得到疲勞損傷期望率區問的準確值。但由于不確定參數的多樣性和疲勞損傷的復雜性，很難通過數學證明驗證疲勞損傷期望率區問關于不確定參數的單調性。

為驗證某一不確定參數的單調性，文獻[17]假設其他不確定參數取各自中值，并通過數值微分根據一階導數在整個參數區問內符號變化情況判斷區問解是否關于該不確定參數單調。疲勞損傷期望率區問關于某一不確定參數的導數可按差分形式表示為

當不確定參數向量是疲勞損傷期望率的單調函數時，采用頂點法對不確定參數完全組合可得到疲勞損傷界限的準確值。如圖1所示，若待求解問題的不確定參數變量數為r時，頂點法計算疲勞損傷期望率區問的界限需要通過2^r次動力響應分析和疲勞損傷估計。對于含有大量不確定參數的結構而言，計算量是巨大的。

本文在改進區問分析方法的基礎上，提出完全混合方法和簡化計算方法，解決傳統區問分析方法計算量隨不確定參數的數量指數增加的問題。

如圖3所示，簡化計算方法僅需對不確定參數變量進行適當組合即可顯式表示出隨機荷載作用下參數不確定結構的疲勞損傷率期望區問。需要說明的是，簡化計算方法忽略了不確定參數y1¹和y2¹的依賴性;此外，一階區問泰勒級數計算區問譜參數界限過程中略去了二階高次項，因此精度低于完全混合方法。

4數值算例

本節將完全混合方法和簡化計算方法應用于3個數值算例，第1個算例為二自由度汽車在不平整路面行駛時板簧疲勞問題，第2和3個算例分別是靜定煙囪結構和超靜定桁架結構在脈動風荷載作用下控制點的疲勞問題。需要說明的是，由于采用區問變量定義結構參數的不確定性，因此控制點處的疲勞損傷也是區問形式。

圖4是本文方法的流程圖。首先需計算疲勞損傷期望率關于不確定參數的導數，判斷是否滿足單調性條件;再將本文方法結果與頂點法得到的疲勞損傷期望率區問界限的準確值比較，詳細討論本文方法的準確性和適用性。

應用頂點法和完全混合方法、簡化計算方法估計板簧疲勞損傷期望率區問時，需要對疲勞損傷關于不確定變量的單調性進行驗證。圖6所示是算例1的單調性，計算式（20）時車輛行駛速度為20m/s。

如圖9表示汽車速度變化時，在10%和20%兩種參數不確定范圍情況下，本文方法計算得到的板簧疲勞損傷期望率區問的界限與準確值的比較。需要說明的是，圖中疲勞損傷均與汽車速度為20m/s時，不確定參數取名義值條件下計算得到的疲勞損傷期望率正交。

圖11是按第一類s-N曲線參數取值分別計算5個不確定參數的偏導數。如圖11所示，偏導數在整個不確定參數區問范圍內符號均保持不變，即滿足單調性條件。

當不確定變量的單調性滿足時，可由頂點法計算疲勞損傷期望率區問的準確值。圖12是根據本文方法計算得到的彎曲應力引起控制點處的疲勞損傷區問期望率界限與準確值的比較。與算例1相同，圖中疲勞損傷期望率界限均與結構名義值計算得到的疲勞損傷期望率正交。圖13是本文方法計算得到的控制點處的疲勞損傷期望率界限與準確值問的誤差。如圖13所示，本文方法具有較高精度，當不確定半徑為10%時，完全混合方法的誤差在1%以內，簡化計算方法的誤差在5%范圍內。

圖14是當平均風速變化時，參數不確定在5%和10%兩種不同條件下，本文方法計算得到的控制點處疲勞損傷期望率區問的界限與準確值的比較;圖中給出了結構名義值的疲勞損傷期望率。需要指出的是，圖14中疲勞損傷期望率均與按平均風速為10m/s時，不確定參數取名義值條件下計算得到的疲勞損傷期望率正交。

4.3超靜定桁架結構風致疲勞圖16所示為按數值方法計算得到的不確定變量范圍內疲勞損傷期望關于不確定變量的偏導數。如圖16所示，各偏導數的符號在整個區問范圍內保持不變，即疲勞損傷期望率單調。

圖17所示為完全混合法和簡化計算方法計算平均風速為10m/s時不同不確定半徑條件下疲勞損傷期望率區問的界限與準確值的比較。圖18是本文方法與準確值之問的誤差。如圖18所示，本文方法具有較高精度，當不確定半徑為10%時，完全混合方法的誤差在1%以內，簡化計算方法的誤差在5%范圍內。

圖19所示是隨平均風速增大，考慮兩種不確定變量半徑條件下，本文方法計算疲勞損傷期望率區問界限與準確值的比較。

4.4討論

通過證明單調性條件，將本文方法與由頂點法計算疲勞損傷期望率區問界限的準確值進行比較，結果表明本文方法具有較高的計算精度。需要強調的是，頂點法需要對所有不確定變量的極值進行組合，再從中選取極大值和極小值。當不確定變量數為r時，采用頂點法計算疲勞損傷期望率區問的界限需要2次動力響應分析和疲勞損傷估計，本文方法僅通過一次動力響應分析即可計算疲勞損傷期望率的界限，大幅減少了計算量。對于第2和第3個算例，由于不確定參數分別為5和9，因此頂點法分別需要2⁵和2⁹次動力響應分析，計算時問分別是70s和1109s;而本文方法僅需要通過1次動力響應分析，且計算時問分別是1.5s和29s。顯然，本文方法的計算效率遠高于頂點法。同時，頂點法的計算量隨不確定變量數指數增加，對于復雜結構或含有較多不確定變量的結構計算量是巨大的。因此，本文方法特別適合計算這類結構的疲勞損傷問題。

由于將結構不確定參數定義為區問變量，因此疲勞損傷期望率也是區問形式。如圖7、圖12和圖17所示，疲勞損傷期望率區問的寬度隨結構不確定參數的不確定性增大而增大。當結構不確定參數的不確定半徑很大時，本文方法仍具有較高精度。完全混合方法在疲勞估計中對不確定參數進行組合可準確計算疲勞損傷期望率區問的界限，各點誤差均小于1%;簡化計算方法可直接通過顯式公式對疲勞損傷區問的界限進行初步估計。

如圖8、圖13和圖18所示，計算誤差隨結構不確定參數的不確定半徑增大而增大。這主要是由于改進區問方法在計算結構應力響應時隨不確定參數的不確定性增大計算精度降低，同時簡化計算方法估計疲勞損傷期望率區問界限時忽略了區問譜矩和區間帶寬參數問的依賴性所致。

顯然，由于疲勞損傷的下界過高的估計結構運行狀況，工程中僅可采用疲勞損傷的區問上界。數值算例表明，如果考慮結構參數的不確定性，結構的疲勞損傷期望率的上界將大幅提高。因此對于重要結構，需要在疲勞分析中考慮結構的不確定性。

5結論

在頻域疲勞分析方法的基礎上，采用區問參數模型定義結構的不確定參數;通過數值方法，驗證了疲勞損傷期望率關于不確定參數的單調性。在改進區問分析和頻域疲勞計算方法的基礎上，提出用完全混合方法和簡化計算方法解決含參數不確定結構在隨機荷載作用下的疲勞損傷估計問題，本文方法具有以下特點：

1.完全混合方法通過對疲勞損傷期望率區問中不確定參數進行完全組合，準確計算參數不確定結構的疲勞損傷期望率區問。

2.簡化計算方法通過適當的組合不確定參數，由顯式表達式計算參數不確定結構的疲勞損傷期望率區問。

3.在保證計算精度的前提下，基于改進區問分析的隨機疲勞區問分析方法避免了傳統頂點法需要進行多次動力響應分析的不足，大幅提高了計算效率。