閉鏈式四足機器人對角小跑步態規劃與仿真分析*

汪永明，馬騰飛，韋 強

（安徽工業大學 機械工程學院，安徽 馬鞍山 243032）

0 引 言

相對于輪式機器人，步行機器人[1-3]的地面適應性強，越來越引起國內外學者的廣泛關注。為了實現步行腿機器人在復雜地形下的穩定快速行走，首先需要解決其步態的合理規劃問題。

山東大學的孟健等[4]為實現四足機器人在平面和斜坡上的全方位移動，提出了基于對角小跑步態的運動控制方法；國防科學技術大學的謝惠祥等[5]為了解決四足機器人對角小跑運動中機體繞對角線翻轉的問題，提出了一種利用支撐腿的髖部側擺關節力矩來平衡機體翻轉的姿態控制方法，并分析討論了姿態控制可能引起的機體側向運動現象；北京理工大學的郝仁劍等[6]為保證大負重四足機器人的全方位穩定行走，提出了基于速度矢量的間歇步態規劃方法，采用間歇步態作為主步態，將平動與轉動速度矢量映射為繞旋轉中心轉動；上海交通大學的何冬青等[7]對四足機器人對角小跑步態下繞支撐對角線的翻轉力矩建立了力學模型，提出了三分法來分析該力矩對機器人運動姿態及穩定步行的不利影響；上海理工大學的勾文浩等[8]針對一種電驅動四足仿真機器人，提出了一種對角小跑步態規劃方法實現機器人的連續平穩行走；太原理工大學的原剛等[9]針對實際行走軌跡與規劃軌跡存在較大偏差的問題，提出了一種混合算法使其直線軌跡偏差減小；FRANCO G等[10]為了防止仿人機器人NAO在滑面上行走時摔倒，提出了一種基于步長、步行速度等參數變化的仿人步態控制策略，利用機器學習技術來調整步態參數和關節修正，以達到期望的零力矩點ZMP（Zero Moment Point）軌跡，使機器人更能抵抗打滑和外部干擾；TEDRAKE R等[11]提出了一種關于零力矩點（ZMP）跟蹤的連續時變線性二次型調節器問題的閉式解決方案，通過允許對期望的ZMP進行“軟”跟蹤（以二次型代價），通過在線重新計算最佳控制器實現了Atlas仿人機器人的動態步行；BALAKRISHNAN S等[12]為規劃和控制兩足機器人在不平坦地形上的穩定行走，把機器人建模為非線性3D倒立擺，并推導出了ZMP與機器人質心之間的關系，并通過模擬和實驗驗證了機器人在連續不平坦的地形上平穩行走。

本研究針對步行機器人的快速穩定行走需求，以一種雙閉鏈式四足機器人為研究對象，對其進行對角小跑步態規劃。

1 閉鏈式四足機器人機構原理

閉鏈式四足機器人的機構原理如圖1所示。

圖1 閉鏈式四足機器人機構原理

由圖1可知，該四足機器人主要包括機體懸架、腿轉向架和4條閉鏈式步行腿。其中，閉鏈式步行腿具有兩個閉鏈，其主閉鏈采用曲柄搖塊機構，用于實現步行腿的跨步擺腿動作，其副閉鏈采用曲柄滑塊機構，用于調節足端運動軌跡。當主閉鏈的曲柄轉動時，會帶動連桿上下移動和產生一定程度的擺動。如果將連桿反向延長，其末端的軌跡接近于機器人腿機構的足端軌跡。另外，其副閉鏈的曲柄一端固定在曲柄搖塊機構的連桿之上，當曲柄轉動時，帶動滑塊結構的腿部沿著連桿移動，從而調節腿部的長度，在機器人移動過程中可通過對腿部長度的調節達到不同的步行運動效果。

2 四足機器人對角小跑步態規劃

機器人運動主要是靠腿部機構按照設定好的運動方式完成周期運動來實現的。四足動物的典型步行步態有：行走步態、對角小跑步態、溜蹄步態、跳躍步態和奔跑步態。其中，對角小跑步態是四足動物最常見的中高速行走步態。本文針對閉鏈式四足機器人，開展對角小跑步態規劃研究，以期為機器人的穩定性控制提供理論基礎。

在對角小跑步態下，四足機器人只有兩條腿支撐，另兩條腿處于騰空擺動狀態。若不考慮機器人足端結構，其著地端僅僅為兩著地足構成的支撐線，不能構成穩定多邊形區域。

四足機器人的動態穩定支撐面示意圖如圖2所示。

圖2 四足機器人的動態穩定支撐面示意圖

圖2中顯示四足機器人的腿2和腿3落地支撐（支撐線為P2P3），腿1和腿4騰空擺動時的狀態。隨著機器人的運動，其機體重心（center of gravity，COG）無法始終保持在支撐線上。當機器人以動平衡狀態進行步行運動時，機體重心COG的位置和加速度發生實時變化，由此產生的前向和側向的慣性如果不能被控制，會使機器人的運動發生失穩，機體可能會發生傾覆。

理論上，四足機器人在步行過程中需要保持零力矩點ZMP始終在著地足形成的支撐線上，這樣機體才能在運動過程中保持穩定。在實際過程中，由于四足機器人的運動會造成機體繞支撐對角線產生傾翻力矩，這個力矩會造成四足機器人在運動過程中機體姿態的變化。如果機體的傾翻角θ過大，對角線上的前后兩擺動腿無法同時著地，會造成四足機器人無法完全按照規劃的步態運動。在運動過程中，傾翻角θ的增大會影響四足機器人的穩定性，累積到一定程度會使四足機器人發生傾倒。

為了分析傾翻角θ對四足機器人運動影響，要對傾翻力矩建立力學模型。在理想狀態下，四足機器人以對角小跑步態勻速前進，四足機器人的質量對稱均勻分布，假設質量集中在四足機器人機體的幾何中心COG（如圖2所示），根據剛體繞定軸轉動的微分方程，可得：

（1）

圖2中，x是四足機器人機體重心COG點沿著前進方向到支撐線的距離，是隨四足機器人運動實時變化的。在四足機器人完成一個運動周期過程中，x可表示為：

x=kλ-vt

（2）

式中：λ—步距,m;k—起步參數,0

由圖2中的x和d的三角函數關系可得：

d=xsinγ

（3）

式中：γ—四足機器人前進方向與支撐線的夾角。

將式（2，3）代入式（1）中，并對式（1）自變量時間t積分，可得到傾翻角速度，再次積分可得到傾翻角，即：

（4）

（5）

式中：A=Mgsinγ/J。

當四足機器人的機體產生傾翻運動時，其時間t可以通過占空比β和運動周期T來計算，即：t=（1-β）T，代入式（5）可計算出傾翻角θ：

（6）

由式（6）可以看出，四足機器人運動過程中的傾翻角θ與k、T、β和λ有關；只有當傾翻角θ為0時，四足機器人的兩條對角擺動腿才能同時落地。同時，為了保證機器人動態行走過程的穩定性，其傾翻角速度越小越好。

取對角小跑步態的占空比β=0.5。在這種情況下，四足機器人以對角的兩條腿為一組，分別處于支撐相和擺動相，如當腿1和腿4開始抬起進行擺動時，腿2和腿3著地起支撐作用。

將β=0.5代入式（6），可以得到四足機器人運動過程中的傾翻角θ，即：

（7）

當6k-1=0（即k=1/6）時，四足機器人在支撐相中的傾翻角θ為0，理論上，此時四足機器人兩條擺動腿能夠同時著地。

根據占空比β=0.5將對角小跑步態的運動周期T分為2個子周期，分別對應一組對角腿的支撐相和擺動相。

對角小跑步態是對稱步態，所以各腿的擺動順序并沒有受到實際影響，四足機器人對角小跑步態的邁腿時序圖如圖3所示。

圖3 四足機器人對角小跑步態的邁腿時序圖

3 四足機器人運動仿真與分析

為了減小ADAMS建模和仿真的工作量，并且盡量體現閉鏈式四足機器人的運動性能，根據其機構原理，筆者對關節零件作簡化處理，建立閉鏈式四足機器人虛擬樣機模型。

其中，閉鏈式四足機器人虛擬樣機參數如表1所示。

表1 閉鏈式四足機器人虛擬樣機參數

3.1 對角小跑步態仿真

根據足端軌跡設計，該四足機器人的腿部為擺動相時，其主閉鏈曲柄旋轉角度為：-36°≤α≤216°；該四足機器人的腿部為支撐相時，其主閉鏈曲柄旋轉角度為：216°≤α≤324°，所以其擺動相的轉動角度為252°，支撐相的轉動角度為108°。

筆者取主副閉鏈曲柄的轉角速比為1∶2，根據上述對角小跑步態規劃的運動規律，在ADAMS中進行驅動函數設計，四足機器人對角小跑步態下的腿部主副閉鏈驅動函數如表2所示。

表2 四足機器人對角小跑步態下的腿部主副閉鏈驅動函數

表2中，t1,t2,t3為3個不同的階段：t1為姿態調整階段（0～0.1 s）；t2是前半周期（0.1 s～0.3 s），即2、3腿為擺動相，1、4腿為支撐相；t3是后半周期（0.3 s～0.5 s），即2、3腿為支撐相，1、4腿為擺動相。t2和t3組成一個完整的邁步周期。

在驅動函數中，“a”表示主閉鏈轉動角度，“b”表示副閉鏈轉動角度，下標中的第一位數字表示階段，第二位數字表示機器腿的組別（“1”表示腿2和腿3，“2”表示腿1和腿4），驅動函數中的“kv”為速度調節系數，用來調節運動速度。

首先筆者根據表2中的驅動函數，在Matlab軟件中規劃出各個驅動的角度變化值，然后導入ADAMS中形成spline曲線，再利用其來驅動四足機器人按照對角小跑步態進行運動。

設仿真時間為0.5 s，包括0.1 s的姿態調整和周期為0.4 s的對角小跑步態運動，閉鏈式四足機器人對角步態仿真過程截圖如圖4所示。

圖4 閉鏈式四足機器人對角步態仿真過程截圖

圖4中的截圖分別為四足機器人在0 s、0.1 s、0.2 s、0.3 s、0.4 s和0.5 s這6個時間點的運動狀態。在仿真過程中，0～0.1 s為機器人的姿態調整階段，主要是保持機體質心有越過支撐點連線的趨勢，為后面的對角小跑步態提供基礎速度。

在0.1 s～0.3 s前半周期，腿2和腿3為擺動相，腿1和腿4為支撐相，機器人完成前0.5T的對角步態；在0.3 s～0.5 s后半周期，各腿狀態正好與上一階段相反，腿2和腿3為支撐相，腿1和腿4為擺動相。以此為周期，各對角腿組依次完成支撐和擺動，保持機器人前進運動。

3.2 仿真結果分析

四足機器人機體質心在xyz方向上的位移曲線如圖5所示。

圖5 四足機器人機體質心在xyz方向上的位移曲線

在圖5中，x方向為機體的前進方向，y方向為豎直方向，z方向為左右方向。由圖5曲線可知，閉鏈式四足機器人機體質心的位移在y方向和z方向變化量相對于x方向來說較小。由于0～0.1 s是機器人的姿態調整階段，主要討論0.1 s～0.5 s周期的對角小跑運動過程。根據ADAMS仿真數據可得，在0.1 s～0.5 s時間段，機器人機體在x方向移動的距離約為340 mm，由此可計算出對角小跑步態下，閉鏈式四足機器人在前進方向的移動速度約為0.85 m/s，能夠達到中等速度的運動。

單獨把豎直方向上的運動數據提取出來，四足機器人機體在y方向上的位移曲線如圖6所示。

圖6 四足機器人機體在y方向上的位移曲線

由圖6可知，除了0～0.1 s的姿態調整階段外，機器人在對角步態下行走過程中，其機體y方向位移波動很小，其最大值為397.1 mm，最小值為393.5 mm。所以四足機器人在對角步態下，其上下起伏度約為3.6 mm，能夠保持穩定行走。

四足機器人機體質心在xyz方向上的速度曲線如圖7所示。

圖7 四足機器人機體質心在xyz方向上的速度曲線

除去0～0.1 s機器人起步時的姿態調整階段，圖7中xyz這3個方向的速度曲線均在0.3 s和0.5 s這兩個時間點附近發生不規則的變化，這是由于閉鏈式四足機器人的擺動腿和支撐腿在這兩個時間點相互切換，由足端落地時產生的振動所導致的，該現象可以通過改進控制方法和添加足端構件來進行改善。

以左后腿為例，筆者進行足端運動研究，四足機器人對角步態下的足端軌跡如圖8所示。

圖8 四足機器人對角步態下的足端軌跡

圖8中，足端軌跡由兩段組成，從右往左依次對應的是0～0.1 s的姿態調整階段的足端軌跡和0.1 s～0.5 s的對角步態下的足端軌跡?？梢钥闯?，足端在兩個階段的連接處存在一定的不規則運動，這是由于閉鏈式四足機器人在運動過程中，其擺動腿和支撐腿的相互切換不穩定造成的。其對角步態下的足端軌跡步長約為350 mm，步高約為80 mm。

四足機器人對角步態下足端xyz方向速度曲線如圖9所示。

圖9 四足機器人對角步態下足端xyz方向速度曲線

由圖9可知，在0.1 s～0.3 s時足端速度基本為0，此時足端處于支撐相；而在0～0.1s和0.3 s～0.5 s時，足端速度呈周期性變化，足端在0 ～0.1 s時為起步時的姿態調整階段，而在0.3 s～0.5 s時是處于擺動相。

同時，在0.1 s、0.3 s和0.5 s這幾個時刻，足端的運動速度都發生了不規則的變化，這與前面機體的運動分析是一致的，都是由足端落地時產生的振動導致的。

4 結束語

（1）針對雙閉鏈式四足機器人快速行走需求，筆者運用零力矩點ZMP理論來討論四足機器人的動態穩定性，推導出了機器人繞支撐對角線發生失穩時的傾翻角θ表達式，理論得出當6k-1=0時，雙閉鏈式四足機器人在支撐相中的傾翻角θ為0，此時雙閉鏈式四足機器人兩條擺動腿能夠同時著地；

（2）建立了雙閉鏈式四足機器人的模型樣機，基于對角小跑步態來規劃步行腿主副閉鏈的驅動函數，運用ADAMS對機器人進行運動仿真實驗，獲得其機體質心和足端運動軌跡。仿真結果表明：該雙閉鏈式四足機器人，其對角小跑步態下的移動速度約為0.85 m/s，上下起伏度約為3.6 mm，能夠達到中等速度下的穩定行走運動。其足端軌跡的步長約為350 mm，步高約為80 mm，基本滿足跨步需求；

（3）本研究提出的驅動控制方法，可以實現四足機器人對角小跑步態下的中速平穩行走。此外，該控制方法的姿態調整時間短，其腿部驅動函數簡單、變量少，便于驅動控制，有利于后續實體樣機的驅動實驗。