剛柔協作3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人研究

張俊寶，侯紅娟，劉 健，孫丁丁，解磊磊

（1.河北工程大學機械與裝備工程學院，河北邯鄲056038；2.復旦大學工程與應用技術研究院，上海200433）

攪拌摩擦焊（friction stir welding，FSW）是一種具有焊接柔性好、焊接穩定、焊接質量高、自動化程度高、方便實用等優點的焊接方式，廣泛應用于汽車制造、軍工制造、精密器件制造等行業［1-2］。由于并聯機器人具有剛度大、承載能力強、焊接穩定的優點，它正逐步取代串聯機器人成為實現攪拌摩擦焊技術的主要工具，但并聯機器人因自身條件限制，存在靈活性較低等缺點，限制了攪拌摩擦焊技術的發展。為使并聯機器人更加適用于攪拌摩擦焊技術，燕山大學的鄒成設計了基于2UPR-RPS并聯機構的攪拌摩擦焊機器人，并對該機構進行了運動學性能分析［3］；浙江理工大學的張寧斌等把2-SPR-RPS并聯機構用于攪拌摩擦焊機器人，進行了機構靜力學分析，得到了其完整的靜力學圖譜［4］；上海交通大學的Shi 等將3-PRS機構用作攪拌摩擦焊機器人的主進給機構，并對它進行了運動學分析［5］；同濟大學的陳淼等提出將2UPRRRU 機構用于焊接裝備，基于粒子群算法找到了驅動輸入的精確解，并找到了驅動奇異的條件［6］。為解決攪拌摩擦焊機器人在頂鍛力承受以及焊接靈活性方面存在的不足，筆者在三自由度2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人基礎上增加3根繩索，設計了一種剛柔協作3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人，對該機器人進行運動學分析，求得無量剛速度雅克比矩陣，進而計算該機器人的各項運動性能指標，并對比2RPUSPR、3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人的運動學性能，最后根據性能指標對3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人進行結構參數優化。

1 剛柔協作3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人運動學分析

1.1 3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人建模

3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人由并聯剛性部分和并聯繩索部分構成，剛性部分定平臺、繩索部分定平臺、動平臺與支鏈的3個鉸點均呈等腰直角三角形分布，其三維模型如圖1（a）所示。如圖1（b）所示，剛性部分定平臺的坐標系B-xyz坐標原點位于△B1B2B3斜邊中點，動平臺的動坐標系A-uvw坐標原點位于△A1A2A3斜邊中點，繩索部分定平臺的坐標系C-x'y'z'坐標原點位于△C1C2C3斜邊中點。攪拌摩擦焊攪拌頭設置在動平臺坐標原點A，將點A作為參考點。

圖1 3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人模型Fig.1 Model of 3CD/2RPU-SPR friction stir welding robot

1.2 剛性部分位置逆解

設△B1B2B3和△A1A2A3外接圓的半徑分別為b和a，則點Ai（i=1，2，3）在動坐標系A-uvw下的位置矢量為：

點Bi在定坐標系B-xyz下的位置矢量為：

設點A在定坐標系B-xyz下的位置矢量rA=[xA yA zA]T，動坐標系A-uvw相對于定坐標系B-xyz的旋轉變換可通過z-x-y歐拉角進行描述：動坐標系先繞w軸旋轉0 rad，再繞生成的u′軸旋轉α，再繞生成的v″軸旋轉β，則旋轉矩陣BRA為：

式中：s表示sin，c表示cos。

由式（1）和式（3）可得Ai在定坐標系B-xyz下的位置矢量為：

基于封閉矢量法，建立機器人剛性部分的位置矢量方程：

式中：Li=lili，其中li為剛性部分支鏈的長度，li為支鏈的方向單位向量。

則機器人剛性部分的位置逆解為：

1.3 繩索部分位置逆解

△C1C2C3外接圓的半徑為c，點Ci在坐標系Cx'y'z'下的位置矢量為：

點A在坐標系C-x'y'z'下的位置矢量為：

基于封閉矢量法，建立機器人繩索部分的矢量方程：

式中：Hi=hihi，其中hi為繩索的長度，hi為繩索的方向單位向量。

則機器人繩索部分的位置逆解為：

1.4 基于求導法的速度雅克比矩陣求解

1.4.1 剛性部分速度雅克比矩陣求解

對式（5）進行求導得：

式中：w為動平臺角速度矢量；v為點A的線速度矢量；wli為剛性部分支鏈的角速度矢量；l˙i為剛性部分支鏈移動副的移動速度。

由于lTi(wli×li) =0，對式（13）兩端點乘lTi可得：

將式（14）寫成矩陣形式，則：

令gl、sl、jl分別為Jll第3、第4、第5 列的列元素組成的集合，則：

1.4.2 繩索部分速度雅克比矩陣求解

對式（10）進行求導得：

式中：whi為繩索的角速度矢量；h˙i為繩索的拉伸速度。

由 于hTi(whi×hi) =0，對 式（18）兩 端 點 乘hTi可得：

將式（19）寫成矩陣形式，則：

令gh、sh、jh分別為Jh1第3、第4、第5列的列元素組成的集合，則：

Jh=Jh2TT，T為三階單位矩陣。

3CD/2SPR-RPU 攪拌摩擦焊機器人簡化后速度雅克比矩陣為：

1.5 基于特征長度法的無量綱速度雅克比矩陣構造

由以上分析可知：

式（24）左右兩邊乘以特征長度Q［7-8］，可得：

式中：J為無量綱速度雅克比矩陣。

由此可得：

式中：I1×1、I2×2為單位矩陣；01×2、02×1為零矩陣。

由機器人機構各向同性［9］得：

式中：I6為6×6的單位矩陣；σ為不等于0的常數。

將J分塊后代入式（27），可得：

聯立式（27）和（28）可得：

對式（30）分別求跡，則可得特征長度Q為：

將Q代入式（26），即可得3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人的無量綱速度雅克比矩陣。

2 攪拌摩擦焊機器人性能分析

利用MATLAB軟件對2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人與3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人的工作空間、承載力、靈巧性、全域靈巧性、考慮靈巧性的工作空間、剛度、全域剛度、考慮剛度的工作空間及優質工作空間等性能指標進行求解分析與比較。

2.1 工作空間

3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人結構參數如表1 所示，其工作空間［10-13］受桿長和運動副轉角的約束。

表1 3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人結構參數Table 1 Structural parameters of 3CD/2RPU-SPR friction stir welding robot

以攪拌摩擦焊攪拌頭放置點A為參考點，設定其搜索范圍為-400≤x≤400 mm，-400≤y≤400 mm，700≤z≤1200 mm，當搜索點數為2×106個時，3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人工作空間的可行點數為57 225個，其工作空間如圖2所示。

圖2 3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人工作空間Fig.2 Workspace of 3CD/ 2RPU-SPR friction stir welding robot

由圖2可看出，3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人的工作空間關于y軸對稱，與其運動特點一致，說明所設計的3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人的焊接運動具有連續性。

2.2 承載力

攪拌摩擦焊機器人的承載力與力雅克比矩陣的最大和最小奇異值有關［13］，機器人承載力越大，說明其工作負載能力越強。機器人的承載力是指在‖f‖=1時，F的極值大小。

式中：f為驅動力矢量；F為點A所受外力；G為力雅可比矩陣；λ(GTG)為矩陣GTG的特征值；δ(G)為力雅克比矩陣G的奇異值。

力雅克比矩陣與速度雅克比矩陣的轉化關系為：

通過計算可知在不同高度下2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人和3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人的承載力如圖3和圖4所示。

圖3 不同高度下2種攪拌摩擦焊機器人最大承載力對比Fig.3 Comparison of maximum bearing capacity of two friction stir welding robots under different heights

圖4 不同高度下2種攪拌摩擦焊機器人最小承載力對比Fig.4 Comparison of minimum bearing capacity of two friction stir welding robots under different heights

從圖3可以看出：在一定范圍內，隨著高度增加，2種機器人的最大承載力均不斷增大；對2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人添加繩索，在不同高度下，其最大承載力均得到大幅度提升；不同高度下，當A點處于α∈( -0.2，0.2 )rad，β∈(0，0.4) rad 位置時，通過增加繩索，該位置處的承載力顯著加大。從圖4 可以看出：在一定范圍內，隨著高度增加，2種機器人的最小承載力均不斷減小；對2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人添加繩索，在不同高度下，其最小承載力均得到大幅度提升。

通過機器人最大承載力和最小承載力圖譜可以看出，添加繩索能顯著提高機器人的承載力，說明3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人能夠承受更大的載荷。

2.3 靈巧性

攪拌摩擦焊機器人的靈巧性對其軌跡規劃、控制和焊接運動靈活性有重要意義，用速度雅克比矩陣條件數的倒數作為靈巧性的度量［14-16］，可表示為：

式中：k(J)為速度雅克比矩陣條件數。

當條件數的倒數值越接近1時，機器人的運動傳遞性能越佳。不同高度下，2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人和3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人的速度雅克比矩陣條件數如圖5 所示。由圖可以看出，3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人的速度雅克比矩陣條件數較小。

圖5 不同高度下2種攪拌摩擦焊機器人速度雅克比矩陣條件數對比Fig.5 Comparison of speed Jacobian matrix condition numbers of two friction stir welding robots under different heights

不同高度下2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人和3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人的靈巧度如圖6所示。由圖可知，添加繩索后，不同高度下攪拌摩擦焊機器人的靈巧性有所提升，即3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人焊接時運動更加靈活。

圖6 不同高度下2種攪拌摩擦焊機器人靈巧度對比Fig.6 Comparison of dexterity of two friction stir welding robots under different heights

2.4 全域靈巧性及考慮靈巧性的工作空間

攪拌摩擦焊機器人的全域靈巧性［17］可用全域靈巧度表示為：

式中：W為工作空間。

工作空間內靈巧度大于GCI的點的集合為考慮靈巧性的工作空間。

由計算知2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人的全域靈巧度GCI1=0.408 7，3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人的全域靈巧度GCI2=0.412 5，說明添加繩索后，機器人的靈巧性明顯增強。在搜索點數為2×106個條件下，3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人考慮靈巧性的工作空間的可行點數為14 612 個，其工作空間如圖7所示。

圖7 3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人考慮靈巧性的工作空間Fig.7 Workspace of 3CD/2RPU-SPR friction stir welding robot considering dexterity

當3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人在圖7 所示區域內進行焊接運動時，具有較大靈活性。

2.5 剛 度

剛度是指焊接機器人抵抗頂鍛力引起的變形的能力，可以通過剛度矩陣來表征：

式中：KJ=diag[q1，q2，…，qn]，qn為第n個驅動副的關節剛度。

以剛度矩陣對角線元素之和LSI作為機構的剛度評價指標，LSI值越大，說明機器人焊接時抵抗變形的能力越強，焊接精度越高。設機器人剛性部分剛度Gl=830 N/mm，繩索剛度Gh=100 N/mm，則不同高度下2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人和3CD/2RPUSPR攪拌摩擦焊機器人的剛度如圖8所示。

圖8 不同高度下2種攪拌摩擦焊機器人剛度對比Fig.8 Comparison of stiffness of two friction stir welding robots under different heights

由圖8可以看出，添加繩索后，不同高度下攪拌摩擦焊機器人的剛度均有較大提升，抵抗頂鍛力引起的變形的能力更強。

2.6 全域剛度及考慮剛度的工作空間

攪拌摩擦焊機器人的全域剛度［18］可表示為：

工作空間內剛度大于GSI的點的集合為考慮剛度的工作空間。

由計算知2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人的全域剛度GSI1=4 544.3，3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人的全域剛度GSI2=4 905.9，由此可知添加繩索后，機器人的剛度顯著提升。在搜索點數為2×106個條件下，3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人考慮剛度的工作空間的可行點數為35 618個，其工作空間如圖9所示。

圖9 3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人考慮剛度的工作空間Fig.9 Workspace of 3CD/2RPU-SPR friction stir welding robot considering stiffness

當3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人在圖9 所示區域內進行焊接運動時，其剛度較大，焊接性能較好。

2.7 考慮靈巧性和剛度的優質工作空間

工作空間內所有靈巧度大于GCI、剛度大于GSI的點的集合為該機器人的優質工作空間。

通過編程可得，在搜索點數為2×106個條件下，3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人考慮靈巧性和剛度的優質工作空間的可行點數為1 921個，其優質工作空間如圖10所示。在此空間內工作，機器人能承受較大頂鍛力，焊接靈活性也較好。

圖10 3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人考慮靈巧性和剛度的優質工作空間Fig.10 High-quality workspace of 3CD/2RPU-SPR friction stir welding robot considering dexterity and stiffness

3 3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人運動性能優化

機器人各項運動性能取決于其結構參數，基于遺傳算法［19-20］對3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人進行多目標優化，以使該機器人更適用于攪拌摩擦焊接工作。

建立多目標模型如下：

以全域靈巧性指標f1(X)和全域剛度指標f2(X)最大為優化目標，取最優個體系數為0.1，種群數目為100個，遺傳進化次數為50次，對機器人結構參數進行優化，結果如表2所示。

綜合考慮焊接機器人工作時能夠達到的工作空間、承載力、靈巧性和剛度等條件，取優化后第9組結構參數，優化前后3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人運動性能對比如表3所示。

表2 3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人結構參數優化結果Table 2 Optimization results of structure parameters of 3CD/2RPU-SPR friction stir welding robot

表3 優化前后3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人運動性能對比Table 3 Comparison of motion performance of 3CD/2RPU-SPR friction stir welding robot before and after optimization

由表3 優化結果可以看出優化后3CD/2RPUSPR攪拌摩擦焊機器人的全域靈巧度和全域剛度均有所提高，優化后機器人各結構參數更能滿足攪拌摩擦焊接工況。

4 結 論

攪拌摩擦焊技術廣泛應用于制造業，但是攪拌摩擦焊機器人存在難以承受較大頂鍛力以及焊接時靈活性較差等缺點，對此，將繩索與原有攪拌摩擦焊機器人結合，設計了一種剛柔協作3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人，并作了如下工作：

1）對3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人進行了運動學建模，運用封閉矢量法計算其剛性部分和繩索部分的位置逆解，運用求導法求得其速度雅克比矩陣，進而利用特征長度法求出了攪拌摩擦焊機器人無量綱速度雅克比矩陣。

2）以無量綱速度雅克比矩陣為基礎，利用MATLAB軟件對添加繩索前后的攪拌摩擦焊機器人的運動學性能進行分析對比，得出3CD/2RPU-SPR 攪拌摩擦焊機器人的承載力、靈巧性、全域靈巧性、剛度及全域剛度等性能相對于2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人均有所提升，3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人的工作空間、考慮靈巧性的工作空間、考慮剛度的工作空間及優質工作空間均左右對稱，邊緣過渡平緩，內部沒有空洞。綜合各項性能指標可知3CD/2RPUSPR攪拌摩擦焊機器人能夠承受更大的頂鍛力，運動靈活性較好。

3）對3CD/2RPU-SPR攪拌摩擦焊機器人進行了結構優化，結果表明當機器人剛性部分定平臺外接圓半徑為389.0 mm、繩索部分定平臺外接圓半徑為638.9 mm、動平臺外接圓半徑為208.2 mm、剛性部分定平臺與繩索部分定平臺間距為1 373.4 mm、驅動電缸最小長度為850.9 mm、電缸最大與最小長度比為1.6時，該機器人性能最佳，其各項性能均有所提升，更適用于攪拌摩擦焊接工作。