基于多因子LIBOR模型的CMS數字范圍債券定價

吳 平，惲鈞超，董 斌

(1.南京信息工程大學商學院,江蘇 南京 210044；2.東南大學經濟管理學院，江蘇 南京 211189)

1 引言

隨著我國金融體系的發展，利率衍生產品逐步走進我們的視野。在利率市場化發展的今天，利率衍生產品在金融市場中更加普遍。CMS利率已成為市場中普遍使用的利率參考指標，它是由ISDA定義的互換利率報價。市場參與者利用CMS債券賺取利潤，市場投資者利用CMS債券對沖風險。CMS作為一種金融工具在金融衍生品市場中起到越來越重要的作用。獲得CMS數字范圍債券定價已成為一個重要問題。以加拿大蒙特利爾銀行為例，每天都會發生大量的CMS衍生產品交易。CMS衍生品的定價通常利用數值模擬的方法，這種方法通常效率比較低，運算速度慢。當交易量上升時，已無法滿足市場的要求。因而獲得CMS衍生品的解析解已成為迫切要求。在信息快速變化的大數據時代，擁有準確快速的定價系統是投資獲得良好回報的必要保證。怎樣獲得CMS衍生品的解析解，目前國內外許多學者和實際市場參與者對這一理論有著廣泛的研究。

Antonov和Arneguy[1]在帶有隨機波動率的LIBOR市場模型下，通過有效的測度變換和二維的Laplace變換的方法，求解出一系列的CMS價差債券帶有復雜伽馬函數的解析解。Wu Tingpin和Chen Sonnan[2]在多因子LIBOR模型下得出了CMS的近似概率分布。完成了三種不同執行價格下CMS數字范圍價差期權的定價。Belomestny等[3]在LIBOR市場模型中采用了凸性調整的技術，對CMS價差期權的定價進行了討論。然而，雖然我們已經得到很多CMS衍生產品的定價公式，但是大多是對于CMS價差債券的，對于CMS數字范圍債券這一產品的研究還存在深入研究的空間。

Wu和Elliott[4]采用了Vorst的方法，通過幾何平均代替算術平均，得出了CMS利率在多因子LIBOR模型下的近似分布。通過修正執行價格，得出了CMS數字逐日區間計算債券的定價公式。劉鳳琴和金瑜[5]運用Monte Carlo模擬法對Levy-Libor模型的局部波動率和瞬時相關系數進行了有效的市場校準。雖然Levy方法和Vorst方法在對CMS數字范圍債券定價時可以對CMS利率進行估計，但是這兩種估計方法的準確性還是有所欠缺，這就導致最后債券的定價并不準確。

本文在多因子LIBOR市場模型下，通過二階變差的方法得出了CMS利率的近似的概率分布，解決了對數正態分布的算數平均不是對數正態分布的問題。之后求得CMS數字范圍債券的定價公式，主要包括固定利率，浮動利率以及后置利率三種情況，避免了過去在定價過程中使用Monte Carlo大數據模擬的情況，最后對模型進行了檢驗。在對浮動利率債券進行定價時，引入了引理法和Girsanov法兩種方式，完善了投資者的定價方法。

總體來說，本文的創新點在于：(1)在多因子LIBOR市場模型下，得出了CMS利率服從近似的對數正態分布，避免了利率小于零的情況。(2)實驗證明，通過二階變差的方法獲得的CMS利率的近似分布，更加逼近實際市場。(3)在CMS滿足的近似的概率分布下，我們得出了CMS數字范圍債券定價的解析解。(4)Girsanov定理的應用，使得解析公式更加簡潔。(5)避免使用Monte Carlo數值模擬的方法。直接獲得CMS數字范圍債券定價的解析解。論文是對實際經濟數據進行模型化數據化的良好體現，也是在決策過程中選擇最優結果進行判斷的良好詮釋。

1 LIBOR市場模型和CMS利率

1.1 不同測度下LIBOR市場模型

Brace等[6]提出了LIBOR市場模型，與短期利率模型例如Hull-White或Vasicek模型相比，LIBOR市場模型具有廣闊的市場發展前景。同時在LIBOR市場模型中，LIBOR利率滿足對數正態分布，這就使得遠期利率為負數的概率為零。

Brigo和Mercurio[7]采用伊藤引理，得出了在不同測度下的LIBOR市場模型，雖然獲得了不同形式的LIBOR市場模型，但是由于方程中的漂移項是隨機的，所以方程的解析解很難獲得。他們通過用Lj(0)代替漂移項中的Lj(t)，從而得出遠期LIBOR利率服從對數正態分布的。早在Brace等[6]提出LIBOR市場模型時，就使用這個方法求解CMS利率。

給定一個概率空間(Ω，F，Q，{Ft}t∈[0,T]，W(t)=(W1(t),W2(t),W3(t),…,Wn(t))表示n維幾何布朗運。

B(t, tm(t));瞬時LIBOR測度的計價單位

Q;瞬時鞅測度

QN遠期鞅測度

Ti固定交割時間

δiδi= Ti+1- Ti

σi(t)L(t;Ti,Ti+1)的波動率

Pi(t,Ti);在時刻Ti支付1的零息債券在t時刻的價格

m(t);下一個重置日期的指標t

L(t;Ti,Ti+1);表示在t≤Ti時刻[Ti,Ti+1]時間段內的遠期LIBOR利率

ρi,j(t);表示L(t;Ti,Ti+1) 和 L(t;Tj,Tj+1) 之間的相關系數

N(x);正態累計分布函數

在定價利率衍生品時，相對于瞬時測度或終端測度，有時在某一特定的概率測度下計算更加方便。下面給出的CMS數字范圍債券的統一定價公式。

(1)

其中遠期波動率σi(t)由多因子即期波動率轉化而來，包含了多因子的形式。

在本文中，我們使用終端測度來推倒我們的公式。

1.2 CMS利率研究

CMS利率是固定期限交換利率，它是由ISDA所定義的互換利率。在通常情況下，CMS利率和LIBOR利率是不能同時滿足對數正態分布的，因為對數正態分布的加權和不是對數正態分布。本文通過二階變差的方法獲得了CMS利率的近似的對數正態分布，為獲得CMS利率衍生品的定價公式鏟除了困難。根據掉期利率定價公式以及LIBOR利率公式，我們可以得到：

β=α+n

(2)

其中Sα,α+n(t,Tα)表示有n個階段，重置日期為Tα,Tα+1,…Tα+n-1支付日期為Tα+1，Tα+2,…Tα+n的遠期CMS掉期利率。Wi(t)表示遠期利率的平均加權參數。P(t,Tk)表示在時間Tk時的1美元在t的價值。

Brigo和Mercurio[7]通過實驗分析得出如下結論，wi(t)的變化是相當微小的隨著時間t的變化，相比較于L(t,Ti)，所以可以把wi(t)近似為常數，此時得到CMS利率的近似公式如下，這里取wi(0)。

(3)

由于LIBOR利率服從對數正態分布，因而CMS利率不服從對數正態分布。CMS利率的精確分布很難獲得。Brace等[8]提出使用LIBOR市場模型作為中心模型，在此建議下，我們通過近似的方法找到CMS利率的近似分布，它的近似分布是對數正態分布。

1.3 二階變差方法

Wu和Elliott[9]首次使用二階變差的方法，對一籃子債券進行定價。由于CMS利率是LIBOR利率的加權和，在數學結構上與一籃子債券十分相似。我們采用二階變差的方法，獲得了CMS利率的近似分布。這種方法對CMS一系列的衍生品的定價有很好的通用性和適用性。

過去在進行這類問題的定價過程中，經常會使用Levy[10]方法和Vorst[11]方法。與Levy方法和Vorst方法相比，通過二階變差方法求得的CMS數字范圍債券的價格處于通過Levy方法和Vorst方法求得的CMS數字范圍債券價格之間。事實上，Vorst方法對該類產品的定價是二階變差方法求得的價格的下界，Levy方法是上界。在波動率趨于平穩的一些特殊情況下，這三種方法獲得的結果是一致的。詳細討論可參見參考文獻[9]。從實證分析可知，通過二階變差獲得的CMS利率概率分布，更加接近于Monte Carlo的模擬結果。它更好的刻畫了CMS利率趨勢。這就使得CMS債券價格更加接近于實際市場。在這里遠期利率采用了LIBOR市場模型，因而CMS利率小于零的概率是零，更加符合現實情況。

近似推導如下。已知

利用伊藤引理，我們得到

Lk(T)=Lk(0)

它的均值：

E(Lk(T))=Lk(0)

(4)

令

(5)

我們引入一條引理如下：

假設R是一個半鞅，那么二次協方差過程

X,Y∈R通過〈X,Y〉定義。對LnX采用伊藤引理， 我們得到

(6)

通過上述引理，可以得到

(7)

式中σ(t)是遠期利率波動率。通過正態分布的均值方差性質， 我們有：

(8)

Wi(t)和Wj(t)的相關系數表示為ρi,j

通過上述推導，我們獲得了掉期互換利率的近似概率分布，這個分布是對數正態分布，這在后面獲得CMS數字范圍債券定價的解析解非常重要。

2 CMS數字范圍債券定價

范圍債券是指參考利率在給定范圍內時獲得約定收益的債券。這里參考利率可以是CMS利率，LIBOR利率，或者CMS價差利率等等。本文主要研究參考利率為CMS利率的情況。

2.1 約定收益為固定利率情況

假定參考利率是CMS利率，當Sα,β在利率上界Rmax,α和下界Rmin,α之間時，獲得固定收益為Rfix的債券(當Sα,β大于Rmax,α或小于Rmin,α，則不獲得任何收益)。下面我們帶入公式

(9)

根據鞅定價方法，CMS范圍數字債券的定價問題可以拆成一系列的簡單數字債券的線性加權組合，通過買或賣一系列的簡單數字債券表示。

E[1{Rmin,α≤Sα,β(Tα)≤Rmax,α}]

=E[1{Sα,β(Tα)≤Rmax,α}]-E[1{Sα,β(Tα)≤Rmin,α}]

(10)

在計算出簡單數字債券的價格后，通過貼現求和，再乘以時間間隔和固定利率。

由于是正態分布，因而我們得到CMS數字范圍債券支付n次利息在時刻零時的價格為：

(11)

這個結果與BLACK定價公式非常相似，在CMS利率服從對數正態分布的假定下，本文所得的公式非常簡潔。

2.2 約定收益為浮動利率情況

浮動利率債券是市場上更加常見的交易產品，與固定利率情況相比，它的求解過程更加復雜。我們通過兩種不同的方法獲得了這一問題的解析解。其本質都是應用Girsanov定理，它們各有優勢，互相印證。雖然這兩種方法在本質上是一致的，但是不同的思考角度，決定了推導的復雜度和難易度，甚至直接影響到最終的結果是否能夠得到適合的解析表達式。

2.2.1 引理法

通常來說，相對于約定收益率為固定利率的情況，約定收益率為浮動利率債券的定價問題復雜在其浮動利率與參考利率是相關的。引理法簡單明了，直接從數學的角度出發，解決了相關的隨機變量的概率分布求解問題，但缺少現代金融理論的思想，這就使得一些特殊的產品很難用這種方法求得解析解。

通過引理[12]在這里我們有：

E[exp(X)IY>K]

E[exp(X)IY

(12)

式中Exp(X)表示LIBOR利率取對數之后求指數函數，X 代表logL，Y是參考利率，K是參考利率的界限。

(13)

在這里約定收益為浮動利率，從均值中這一項不能簡單的提取出來。這一項我們仍然化為一系列簡單數字債券的線性組合，同時對下標函數兩邊取對數：

E[L(Tα;Tα,Tα+1)1{Rmin,α≤Sα,β(Tα)≤Rmax,α}]

(14)

N{lnRmax,α-uSα,β(Tα,Tα)-cov(lnLα(Tα),lnSα,β(Tα,Tα))}/σSα,β(Tα,Tα)

N{lnRmin,α-uSα,β(Tα,Tα)-cov(lnLα(Tα),lnSα,β(Tα,Tα))}/σSα,β(Tα,Tα)

uLα(Tα)=E[lnLα(Tα)];

uSα,β(Tα,Tα)=E[lnSα,β(Tα,Tα)];

cov(lnLα(Tα),lnSα,β(Tα,Tα))

=〈lnLα(Tα,Tα,Tα+1),lnSα,β(Tα;Tα,Tβ)〉

(15)

從這里我們可以發現，遠期LIBOR利率和CMS利率的相關性，已經被考慮在我們的模型中。這一點與約定收益為固定利率是不同的，因為在LIBOR市場模型的框架結構下，CMS利率是LIBOR利率的加權和，因而兩者必然存在相關性，所以在計算數字范圍債券定價時，與固定收益的情況是不同的。在下面的章節中，我們對公式中所涉及到的方差，協方差和均值進行具體的推導。

我們直接對遠期LIBOR利率，使用伊藤引理獲得。

Lα(Tα)=Lα(0)

(16)

通個對等式兩邊取對數，我們有：

lnLα(Tα)=lnLα(0)

可見這是一個廣義的布朗運動，對這個式子兩邊求期望和方差，我們有：

E[lnLα(Tα)]=lnLα(0)

(17)

由于CMS利率近似為對數正態分布，對兩邊求期望和方差。我們有：

(18)

通過下述引理，

(19)

我們獲得協方差如下：

cov(lnLα(Tα),lnSα,β(Tα,Tα))=〈lnLα(Tα,Tα,Tα+1),lnSα,β(Tα;Tα,Tβ)〉

(20)

在最終結果里，所有的模型參數都可以通過市場觀測數據估計。我們獲得了問題的解析解，避免了Monte Carlo模擬的方法。在得到的最終結果里，約定收益為浮動利率的情況與約定利率為固定利率的基本一致，唯一的區別是約定收益是隨機的，是由遠期LIBOR利率迭代產生。在編程上，對于約定收益為固定利率的程序，只要稍加修改就可移植到約定利率為浮動利率的情形，提高了編程效率，縮短了運算時間。對于約定收益是浮動的利率，還可以采用Girsanov定理的方法，求得解析解。

2.2.2 Girsanov定理法

利用Girsanov定理方法求解約定收益是浮動利率債券的基本方法，它使用的是現代金融學思想，相比于引理法，適用范圍廣，過程相對復雜。基本思路就是通過測度變換改變漂移項。對于一些與CMS利率相關的衍生產品，在實際應用中，通過Girsanov變換，更加簡潔，也更加適合，通過下文的推導也可以看出。

Girsanov變換，主要是指對于一個給定的隨機過程，在不同的測度下，漂移項會改變，波動率是不合改變的。新過程的律關于原過程是絕對連續的[12]。

設Y(t)∈Rn服從的伊藤過程如下：

dY(t)=β(t,w)dt+θ(t,w)dB()

(21)

假定存在過程u(t,w)和α(t,w)，這里B(t)∈Rm，β(t,w)∈Rn，θ(t,w)∈Rn*m，我們有：

θ(t,w)u(t,w)=β(t,w)-α(t,w)

(22)

(23)

(24)

在定理中，可見通過測度變換，漂移項發生了改變，波動率這一項是不變的。

通過公式(14)CMS范圍數字債券的定價問題可以表示為一系列的簡單數字債券的線性加權組合

基于LIBOR市場模型，我們得到

Lα(Tα)=Lα(0)

在這里，我們有：

令

η(Tα;Tα,Tα+1)

同時使用

通過測度變換，

原式簡化為：

Lα(0)exp(η(Tα;Tα,Tα+1))

采用Girsanov和Radon-Nikodym定理，可以得到：

Lα(0)exp(η(Tα;Tα,Tα+1))

=Lα(0)exp(η(Tα;Tα,Tα+1))

=Lα(0)exp(η(Tα;Tα,Tα+1))

(25)

在這里，Rβ表示新的概率測度

在Girsanov定理中的

u(t,w)=-σα(t)

通過測度變換，約定收益利率為浮動利率的計算公式類似于上面約定收益利率為固定利率的計算公式，然而由于變換了測度空間，在原模型中的漂移項需要進行修正。

在新測度下，LIBOR市場模型發生了改變。

Lα(Tα)=Lα(0)

由于LIBOR市場模型的漂移項發生了改變，因而CMS利率也隨之改變，在新的模型下，CMS的方差和期望重新計算如下：

它的方差是：

(26)

它的均值是：

(27)

從最后公式，我們得到支付m次利息的CMS數字范圍債券在零時刻的價格為：

(28)

可以看出模型的變化，導致均值發生了變化。

2.3 約定收益為浮動后置利率情況

與約定收益為浮動LIBOR利率數字范圍債券相比，它的區別是在一個支付日所付的浮動LIBOR利率是這個支付日所觀測到的利率本身。

即在時間[Tα,Tα+1]支付的利率為L(Tα+1;Tα+1,Tα+2)。通過LIBOR市場模型，我們可以求得下一期的遠期利率。

在時刻t觀測到的[α,α+1]區間的LIBOR遠期利率為Lα(t)，在此時計算下一期的LIBOR遠期利率則為Lα+1(t)即區間[α+1,α+2]的LIBOR遠期利率，根據LIBOR模型

(29)

求積分解出LIBOR利率[13]

Lα+1(Tα+1)=Lα+1(0)

(30)

在這里我們做一個變換，為了使得公式可以符合要求，取出求冪項從Ta到Ta+1的積分，也就是提取出一個從Ta+1到Ta+2的遠期LIBOR利率，在Ta時刻觀察到的。通過化簡后，我們發現后置互換利率的情況，可以通過前一期表示，之間只需要乘以一個參數。

L(Tα+1;Tα+1,Tα+2)=L(Tα;Tα+1,Tα+2)

(31)

所以化簡后的結果帶入到原公式中得到

E[L(Tα+1;Tα+1,Tα+2)1{Rmin,α≤Sα,β(Tα)≤Rmax,α}]

=E[L(Tα;Tα+1,Tα+2)1{Rmin,α≤Sα,β(Tα)≤Rmax,α}]

(32)

對于約定收益為浮動利率的債券，通過Girsanov定理來進行直接定價比較方便，通過測度變換，獲得需要的公式。與上一節前置互換 利率的情況類似，只是在公式化簡之后乘上一個參數。

E[L(Tα+1;Tα+1,Tα+2)1{Rmin,α≤Sα,β(Tα)≤Rmax,α}]

=E[L(Tα;Tα+1,Tα+2)1{Rmin,α≤Sα,β(Tα)≤Rmax,α}]

(33)

我們采用同樣的方法構造新的鞅：

Lα+1(Tα)=Lα+1(0)

η(Tα;Tα+1,Tα+2)

(34)

此時u(t,w)=-σα+1(t)

變換新的空間和模型參數，漂移項改變方差項不變。

此時有

Lα+1(Tα)=Lα+1(0)

通過對所得的CMS利率求均值，可以得到的類似公式。測度變換只改變漂移項，不改變方差項。

由于最后乘的系數一樣，所以兩種方法間的誤差和單純浮動利率債券的誤差是一樣的。對于后置互換利率的債券，其解決方法與前置互換利率的債券類似，區別在于后一期的LIBOR利率需要用原本的LIBOR利率進行表示，LIBOR市場模型很好的解決了這一問題，簡化了原本通過曲率調整得出的公式，方便帶入到最后的計算公式中。

3 實證分析

3.1 實證分析

CMS數字范圍債券是場外市場上交易的利率衍生品，它不像股票價格是可以查詢的。這就使得對實際產品的模擬變得難以進行。對于公式的檢驗就只能通過MonteCarlo模擬的方式進行。

我們從債券定價的原始公式進行考慮。根據公式(9)

在定價過程中，這一公式是無法直接使用的。這是由于Sα,β只有在發生時刻才能進行觀察，我們無法獲得CMS利率的各期價值。所以我們通過Monte Carlo數據模擬的方式來解決這一問題。理論上，當CMS利率在指定數值范圍內獲得固定收益或浮動收益是CMS衍生產品最基本的概念，

本文通過構造一個獲得固定收益CMS利率產品實例，即在每一期，當CMS利率在指定數值范圍內獲得約定收益為固定利率。

遠期LIBOR利率的波動率存在一種駝峰情況的估計，這種情況下的波動率是一個關于時間的函數。這個假定被廣泛采用。Brigo和 Mercurio[7]在他們的書中提出擬合遠期波動率的公式，盡管它與

實際情況比較接近，擬合程度較高，但這個公式應用起來比較復雜。

σi(t)=kiφ(Ti-1-t;a,b,c,d)

=ki((a(Ti-1-t)+d)e-b(Ti-1-t)+c)

(35)

3.2 相關系數

LIBOR市場模型的相關系數對于數字范圍債券的定價有著重要的影響。一般可通過歷史數據來確定相關系數。陳松男[14]的文章中認為遠期LIBOR利率的相關性其實是比較高的，建議通常選取的范圍[0.8，1]之間。本文中選取相關系數為0.8作為數值計算的參數。

產品名稱CMS數字范圍債券貨幣種類USD投入本金1000USD參考利率3個月遠期LIBOR利率對應的1年期掉期利率總共獲息次數33次產品特征CMS利率在利率范圍5.5%到6%時,獲得4%的固定收益,其他情況收益為零。

首先，我們通過Monte Carlo的方法模擬CMS利率。2006年一系列3個月遠期LIBOR美元利率作為參考利率。采用同期利率上限單元的隱含波動率作為遠期LIBOR利率的波動率。

通過公式(2)，基于LIBOR市場模型，我們可以模擬出當期CMS利率。圖1為仿真結果，仿真次數為10,000。隨著模擬次數的增加去掉極端值以后，我們發現CMS利率的變化是合理的。最后結果是10000次的平均值。

圖1 CMS利率模擬

將表1的數據，直接帶入推導的公式。

通過公式(9)，當CMS利率在指定數值范圍內，則收到固定利率，例如，4%，再貼現到零時刻時，結果在下表2。

表1 CMS數字范圍債券的價格表(解析解)

表2 CMS數字范圍債券的價格表(Monte Carlo模擬)

表1和表2顯示，和解析解的差異為5.73美元，在10000次的情況下，有如此良好的擬合度。隨著仿真次數的增加，解析解和仿真的差異將會減小，擬合情況將會更好。更多模擬結果參見惲鈞超[16]。

4 結語

論文主要目標是完成對CMS數字范圍債券的定價，避免Monte Carlo大數據模擬的情況而求出產品的解析解。主要結論如下：

(1)通過二階變差法求得CMS利率的概率分布，解決了掉期利率不滿足對數正態分布的問題。

(2)完成了對CMS數字范圍債券的定價。不同于過去通過Monte Carlo模擬這種耗時的方法，論文得到了固定利率，浮動利率，后置利率三種產品的閉式解析解。

(3)論文在推導過程中使用引理法和原始Girsanov法結合的方式更加簡便的對于浮動利率的情況進行了定價。完善了對CMS衍生產品的定價手段，方便了后期對于一系列產品的定價。

論文的解析解比過去的方法更加貼近實際情況，與Monte Carlo結果差異更小，使得投資者在對CMS數字范圍債券定價時可以獲得更大的收益。同時，在用這一產品進行對沖風險時，也能更好的減小投資者的損失。產品的準確定價對于瞬息萬變的資本市場來說無疑是相當重要的，良好的擬合模型是獲得良好收益的重要基石。同時，模型除了對CMS數字范圍債券進行定價外，對于CMS價差期權等一系列CMS衍生產品都可以進行推廣定價。由于CMS利率的概率分布的確定加上Girsanov定理的合理使用，模型可以推廣到對CMS取差債券以及CMS取差逐日計息債券的定價當中[15]。一方面，模型可以更好的擬合CMS利率的分布情況，這對CMS衍生產品的定價是十分重要的。另一方面Girsanov定理的使用為推導出最終結果鋪平了道路，使得我們可以求解出最后的解析公式。

論文為CMS數字范圍債券的投資者提供了快速準確的投資意見，在理論研究和實際應用上都具有重大意義. 在理論上，相關的研究成果可以推廣到其它的類似的金融產品， 例如，歐式籃子期權和亞式期權定價上去。開創了新的方法和思維模式，促進了同類產品的定價投資活動，為后續的定價研究提供了方便。在實際應用上，這個算法給市場的參與者提供了一個新的，省時的，有效的定價方法。給市場的決策者，提供了一個更加有效地管理，對沖，和控制交易風險的工具。促進了利率市場的良性發展，提高了投資者的收益。