基于患者兩階段醫療服務過程的病床資源優化

宋鴻芳，褚宏睿，張文思

(1.河北經貿大學管理科學與工程學院，河北 石家莊 050061；2.首都經濟貿易大學管理工程學院，北京 100070；3.中國海洋大學經濟學院，山東 青島 266100)

1 引言

病床是醫院重要的醫療資源之一，病床資源的合理配置直接影響到醫院的收入水平，術前檢查、術后恢復等醫療活動都需要病床資源，因此病床資源是醫院運營管理的重點之一。高效的運營管理，不僅能提高病床資源的使用效率和醫院的經濟效益，還有助于患者早日康復。當前，國內外的很多醫院普遍存在病床不足的壓力[1]，而隨著老齡化進程的加快，我國的病床資源正面臨著前所未有的壓力。在醫療資源相對緊張的情況下，醫院通過信息技術和流程優化，從一定程度上提高了醫療服務效率，但并未從本質上改變供需不足的矛盾。同時，由于病床資源涉及到財務、醫護人員配置和場地等諸多問題，短時間內病床數量很難有較大提升[2]。因此，在未來一段時間內，病床資源短缺是一種普遍現象，如何科學有效的管理病床資源成為醫療運作的重要研究問題。

針對某一部門/科室內的病床資源優化問題，已有較多的研究成果，此類研究主要采用排隊論及其衍化模型解決急診室、手術室或者重癥監護室的病床調度問題。如Song等利用排隊論設計急診室專用就診系統，根據患者分診情況進行醫護人員分配，然后根據診斷結果安排病床，研究結果表明這種方式減少醫護人員的工作負擔且緩解急診擁堵[3]。同樣，為了緩解患者就診等待時間長、就診擁堵等問題，周雄偉等針對患者的多渠道就診行為，分析了醫院的最優門診資源調度策略[4]。Siqueira等[5]指出醫院追求短期績效的目標造成了部門/科室之間的病床資源不平衡，針對患者從到達、康復直至出院整個過程，考慮排隊患者人數約束，基于排隊指標提出了手術室調度和術后病床分配聯合優化模型。患者就診的隨機性極大降低醫療服務效率[6]，同時患者就診隨機性造成了病床需求波動，進而影響了病床資源的分配。對此，Zhu等[7]考慮重癥監護室患者的兩種到達形式(緊急到達和預約到達)，以排隊等待時間為目標，建立了離散事件仿真模型，按照先到先得原則分配病床，減少患者等待時間，獲得成本效益和服務水平的均衡。為了進一步提升經濟效益，Ayvaz和Huh[8]采用收益管理方法研究了病床資源動態分配問題。王娟等[9]提出將患者首先均衡分組，再進行需求匹配的兩階段醫療資源分配。上述研究集中在醫院某一部門/科室的病床分配問題，然而，由于職能差異，不同部門/科室就診患者的數量差異較大，通常會導致一些部門/科室的病床緊張，而其他部門/科室有閑置病床。因此，針對某一部門/科室的病床分配對于提高醫院整體病床的使用率效果不佳。

醫院各部門/科室均有自己服務的特殊病種，相關學者關注不同病種的病床資源調度，從而實現多部門/科室的病床管理。Green[10]指出，病床資源分配是一個復雜問題，由于涉及到多個病種，醫院里經常出現某些疾病患者的病床資源過剩，而其他疾病患者病床資源不足的現象。為了緩解這種不同病種間的資源不匹配現象，Gorunescu等[11]基于排隊論指標，以最小化患者排隊等待時間和病床成本為目標分析了醫院最優病床總數。為了分析患者到達過程對病床分配的影響，Kokangul[12]從患者到達率和住院時間的隨機性角度，利用馬爾可夫理論研究患者排隊系統指標變化對病床分配的影響。患者是病床的使用者，根據自身疾病的類型不同，患者有參與醫療服務的選擇權。Cochran和Roche[13]分析醫療數據發現患者對病床需求的差異，進一步確定患者對病床需求的一致性并挖掘了潛在病床需求患者，利用排隊論實施病床規劃方案，為病床的合理分配提供有效策略。陳超等[14]基于收益管理理論，研究了多時間窗口、考慮患者康復出院情況的多病床分配模型。基于組合和柔性思想，Best等[15]按照不同病種分類，將多個部門/科室間的病床進行組合，構建單個排隊系統，探討患者就診過程與病床分配問題，實現不同部門/科室間病床資源共享，之后，Holm等[16]結合挪威一家醫院的實際案例，利用仿真系統，證實了不同部門/科室間病床資源共享能夠提高病床分配的效率。上述研究關于多部門/科室的單階段病床分配系統，但是，單階段病床分配系統不能從根本上解決患者就診排隊擁堵的問題。

隨著醫療資源配置相關研究的深入，一些學者提出了兩階段和多階段病床分配模型以實現精準化管理。如Berk和Moinzadeh[17]根據患者病情變化和出院標準將住院過程分為強制治療和康復階段，在患者享受醫療公平性基礎上，考慮患者病情復發而導致的再次住院的情況，反之，提前出院的風險問題沒有進一步探討，提出一個兩階段排隊模型，該研究沒有研討兩階段醫療服務過程對于醫療資源配置的影響。隨后，Holm等[16]利用仿真模型證實兩階段病床分配模型提高了病床利用率、緩解了患者的排隊擁堵問題。在此基礎上，Kuntz等[18]研究了多階段的病床使用率，利用分段線性函數刻畫患者使用病床的轉折點，研究結果表明當有限的病床資源應付過度患者需求時，病床利用壓力過大會導致患者死亡率的增加。吳曉丹等[19]發現對不同階段的患者實施分流能夠緩解病床資源緊張，但會造成患者滯留。以上研究表明，兩階段病床分配的相關文獻較少，還有不少的發展空間。多階段病床分配模型雖然能夠較好的刻畫患者病情變化對病床資源的影響，難點在于如何對不同程度的多種疾病患者進行醫療服務階段劃分，同時存在劃分標準不一致導致誤診的缺陷。

在醫療實踐中，當病床需求較大時，病情較輕患者存在提前出院的風險，Kim等[20]通過實證研究發現了這種現象，指出當病床資源緊缺時提前出院現象普遍存在。康復階段患者提前出院方案有助于提升病床資源利用率，減少新患者的入院等待成本，對新入院的患者產生有利的影響。Berry和Tucker[21]發現醫院面臨著如何權衡病床高利用率和患者響應之間的關系，醫護人員在工作量較大的情況下患者數量和住院時間呈現倒U型。但是，醫護人員的工作負荷到達飽和狀態時，只能通過患者提前出院緩解患者入院壓力。患者提前出院減少了住院時間，Bhattacharjee和Ray[22]指出病床優化管理與患者住院時間相結合能夠更好的控制患者排隊系統。因此，提前出院的決定會影響到患者入院的時間、住院時間等，同時有利于優化整個醫療服務系統。

通過上述文獻發現，目前關于兩階段病床資源建模和求解方法的研究較少且很大的擴展空間。針對多病種患者的醫療服務過程，本文在患者住院過程兩階段劃分的基礎上[17]，考慮患者在康復階段提前出院的風險和新患者等待時間，將每個階段患者醫療服務過程作為一個排隊系統，構建兩個串聯的排隊系統，建立不同病種間的病床資源分配模型。研究結果不僅可以完善優化理論，該模型合理的應用有助于醫療管理者在實際醫院管理中合理的分配病床。

2 患者就診的兩階段醫療服務系統

本文考慮兩階段的醫療服務系統。患者住院接受醫療服務的過程中，大部分疾病患者存在一個強制治療-康復的階段，如白內障、心腦血管等。通常情況下，當醫療資源不足時，處于康復階段且情況穩定的患者可能被要求提前出院。即患者的就診過程包括兩個階段，第一階段為強制治療階段，處于該階段的患者不能被安排出院；第二階段為康復階段，如果新患者到達時病床被全部占用，則處于該階段且康復時間最長的患者將被安排出院。因此，患者的醫療服務過程是一個病床資源共享的兩階段排隊過程，就診過程如圖1所示。

圖1 患者就診路徑

患者的強制治療和康復階段均為隨機服務時間，不考慮患者病情復發的影響，首先分析該兩階段串聯醫療服務系統的相關指標，然后基于排隊指標構建多病種醫療資源分配模型。針對患者就診的兩階段醫療服務系統，t時刻系統的狀態可表示為Sk,n(t)=(t,y1,…,yk;x1,…,xn)，其中yi表示處于強制治療階段第i個患者已經接受的醫療服務時間(1≤i≤k)，xj表示處于康復階段第j個患者已經接受的康復服務時間(1≤j≤n)。顯然0≤y1≤…≤yk≤∞，0≤x1≤…≤xn≤∞，若假設強制治療階段服務時間的概率分布為F(y)，康復階段服務時間的概率分布為G(x)，則yi，xj分別為具有如下概率密度函數的次序統計量(1≤i≤k,1≤j≤n)

(1)

(2)

針對該排隊系統，某一種疾病患者到達率為λ，該類疾病可用病床病床總量為M，每位入院患者占用1個病床。假設t時刻處于強制治療階段的患者人數為k，處于康復階段的患者人數為n，顯然k+n≤M。首先采用補充變量(也稱增補變量)方法構建排隊系統穩態概率的偏微分方程，進一步基于特征方程進行變量變換，最后結合邊界條件確定穩態概率方程。下面分三種情形考察該排隊系統:

情形1：病床有剩余，即k+n0,y1>0n>0,x1>0。

此情形下，病床沒有全部被占用，系統內新到的患者可以立即接受服務。令h>0為充分小的數，使得h時間內新患者的到達率、轉移率和出院率分別為λh+ο(h)，μ1(y)h+ο(h)和μ2(x)h+ο(h)，則可得如下等式

pk,n(t+h,y1+h,…,yk+h;x1+h,…,xn+h)

{pk,n(t,y1,…,yk;x1,…,xn)

xn)dη}+ο(h)

(3)

其中，等式右端第一項表示在(t,t+h)時間段內，沒有新患者到達，同時沒有患者從強制治療階段轉移到康復階段；第二項表示存在一個康復階段的患者在(t,t+h)時間段內出院，同時不存在新患者到達和患者轉移。式(3)可化簡為

(4)

令h→0，t→∞可得排隊系統在情形1下的穩態概率的偏微分方程表達式

(5)

情形2：病床全部被占用且有患者處于康復階段，即k+n=M，n≥1，x1>0。

當k+n=M時，將不存在情形1中等式第二部分，即不存在康復階段的患者出院的情形，此時穩態概率滿足的偏微分方程可表示為

(6)

情形3：病床全部被占用且都處于強制治療階段，即k+n=M，n=0。

此情形下，所有醫療資源均被強制治療階段的患者占用，即使新患者到達服務平臺也無法接受服務，因此

pM,0(t+h,y1+h,…,yk+h)

(7)

穩態概率滿足如下方程

(8)

當新患者進入服務平臺或患者由強制治療階段轉入康復階段時，可以構造出偏微分方程的邊界條件，

邊界條件1：病床存在剩余，新患者到達時，即k+n≤M，k≥1，

pk,n(0,y1,…,yk-1;x1,…,xn)

=λpk-1,n(y1,…,yk-1;x1,…,xn)

(9)

邊界條件2：強制治療階段患者進入康復階段時，即k+n

pk,n+1(y1,…,yk;0,x1,…,xn)

xn)dη

(10)

其中y0=0，yk+1=∞。

(11)

·H1(y1-y2,…,yk-x1,…,xn-1-xn)

(12)

同理可得，當k+n=M，n≥1，x1>0時，

·H2(y1-y2,…,yk-x1,…,xn-1-xn)

(13)

當k=M，n=0時

(14)

下面通過邊界條件確定f1，f2和f3的函數形式，對于函數f1，由邊界條件1和2可得

·f1(-y1,y1-y2,…,yk-1-x1,…,xn-1-xn)

·f1(y1-y2,…,yk-0,0-x1,…,xn-1-xn)

通過邊界條件，可知函數f1(y1-y2,…,yk-x1,…,xn-1-xn)具有如下表達式，

f1(y1-y2,…,yk-x1,…,xn-1-xn)=Kλn+k

(15)

其中K為待定常數。

對于函數f2，由邊界條件1和2同樣可得f2的表達式為，

f2(y1-y2,…,yk-x1,…,xn-1-xn)=Kλn+k

(16)

同理，由邊界條件2可知函數f3的表達式，

f3(y1-y2,…,yk-2-yk-1)=Kλk

(17)

兩階段患者排隊模型的穩態概率pk,n(y1,…,yk;x1,…,xn)表達式為

pk,n(y1,…,yk;x1,…,xn)=

(18)

由于概率求和等于1，因此可得

從而由概率求和約束計算可得

進一步，可計算出排隊系統中處于強制治療階段患者人數的概率

pk=

以社會福利最大化為優化目標，社會福利包括病床資源不足造成的患者無法入院成本和康復階段的患者由于提前出院而產生的健康損失成本兩部分。本文在社會福利函數中考慮排隊系統的兩個指標：單位時間新患者被拒絕的期望人數以及康復階段患者的期望服務時間。

當處于強制治療階段的患者占滿所有可用病床時，新到達的患者將不能接受服務，因此，新患者被拒絕的期望人數為

E(l)=λpM=

(19)

(20)

3 基于兩階段醫療服務的病床資源分配模型

上一節給出了患者就診過程中病床資源需求和供給的狀態關系，并給出了患者住院強制治療時間和康復時間的函數表達式。本節立足于患者排隊的服務系統，構建病床資源分配模型，并進行成本函數核算，探討病床分配策略。

假設病床總數為N，當分配給疾病i患者ni個病床時，相應的成本為Vi(ni)，以成本最小化為目標，病床資源分配模型可表示為：

(21)

其中，n=(n1,n2,…,nT)。針對患者的兩階段醫療服務過程，成本指標由兩部分組成，即新到達患者被拒絕的成本和康復階段患者的提前出院成本。對于某一病種，當病床被強制治療階段患者占用時，新到達患者將無法接受服務，采用單位時間新患者被拒絕的期望人數E(l)和單位拒絕成本cl表示。而康復階段的患者存在提前出院風險，提前出院成本旨在刻畫收益的下降，如提前出院可能產生再入院、完全康復周期延長等現象，采用cτ(T-E(τ))表示，其中cτ為單位時間提前出院成本，T表示該病種最長康復時間，E(τ)為兩階段醫療服務系統患者的期望康復時間。因此，病種i的成本函數可表示為

(22)

資源分配模型(21)可轉化為：

(23)

由于資源分配問題的特殊形式，動態規劃方法常常被用于求解該類問題(如文獻[15])。因此，考慮采用動態規劃方法求解上述病床資源分配問題，按照疾病種類將問題劃分成S個階段，定義病床數為ξ，需要分配病床的疾病數為r時(r

(24)

即第r階段優化問題。最優目標Fr(ξ)表示第r種疾病、可分配病床數為ξ時的最小成本，從而Bellman最優方程可表示為：

(25)

同時，病床資源動態優化問題的邊界條件為F0(ξ)=0，ξ≥0。對于該問題，本文采用逆推法進行求解。

4 數值分析

本節針對不同部門/科室患者的腦梗塞、急性闌尾炎、白內障三種疾病展開數值分析，假設患者的到達過程為泊松過程，三種疾病患者接受醫療服務的時間服從指數分布，同時假設同一疾病患者的服務時間分布相同，即患者是同質的，并且假設病床資源總數為N=10。結合上文中排隊模型的推導分析，參考2017中國衛生和計劃生育統計年鑒[24]，假設三種疾病患者的住院時間分別為11.5天、6.8天和4.2天，住院費用分別為17867.7元、14131.8元和7293.8元。

根據衛生統計數據，同一病種的平均住院時間在不同級別醫院間的差異不大，但患者就診率差別顯著，如腦梗塞在中央直屬醫院的平均住院時間為11.5天、省屬醫院11.5天、市屬醫院12.1天、縣級醫院10.6天，但心腦血管疾病在城市的入院率為0.59%，在農村的入院率為0.34%，并且入院率隨年份波動很大，因此首先分析入院率對病床資源優化分配的影響。

不同疾病患者康復時間差別較大，對于急性闌尾炎、白內障等死亡率低且需要手術干預的疾病，強制治療時間占住院時間的比例較低，康復時間占比較高。而對于腦梗塞等死亡率較高的疾病，強制治療和康復時間的比例相當。為此，假設三類疾病患者的強制治療時間所占比例單調遞減。

基于上述分析，令強制治療階段服務率μ1=[0.124,0.210,0.340]，康復階段服務率μ2=[0.290,0.490,0.794]，即假設強制治療階段占平均住院時間的70%。患者到達率分別為λ1=[0.3, 0.4, 0.5]，λ2=[0.3, 0.5, 0.4]，λ3=[0.4,0.3, 0.5]，λ4=[0.4,0.5,0.3]，λ5=[0.5,0.3,0.4]，λ6=[0.5,0.4,0.3]。在以下的數值分析中，本文提出的模型記作兩階段模型。本文用M/M/1排隊模型刻畫患者接受醫療服務的過程記作單階段模型，即單階段模型的服務率μ=μ1+μ2。采用Matlab編寫動態規劃程序進行計算，結果如圖2所示。

由圖2可知，在本文提出的兩階段模型中，患者到達率對病床分配有較顯著影響，到達率較高時，分配的病床數較多，如圖2左上λ1情形中，疾病3患者的到達率最大，分配的病床最多；圖2中下λ5情形中，疾病1患者的到達率最大，同樣分配了最多的病床；其它情形類似。同時，兩階段模型計算得到的最優病床數與單階段模型差異顯著。特別是，本文的病床分配結果主要受病種的成本參數和到達率、服務率影響，當服務率固定時，單階段模型結果受成本參數影響更大，兩階段模型受各疾病患者到達率的影響更大。出現上述結果的原因在于，對于兩階段病床分配模型模型，患者到達率較高時，新患者無法接受醫療服務和康復患者被提前出院的風險均較高。

圖2 到達率與分配病床數關系圖

圖3 不同服務率下病床分配量

兩階段模型的數值結果如圖3所示，即分配給三類疾病患者的病床數一致。數值實驗表明，單階段模型在病床分配量在三個病種間呈現遞減趨勢，而兩階段模型的強制治療階段占平均住院時間比為0.9時病床分配量也呈現遞減的趨勢，但隨著強制治療階段占平均住院時間比的減小，疾病3患者分配的病床數顯著增加。數值結果說明，當患者的康復時間所占總醫療服務時間比例較小時，到達率對于病床分配量的影響增加，即到達率高的疾病患者需要的病床數更多。造成該結果的原因在于各類疾病患者強制治療階段的服務率相比于康復階段的服務率差別較小，因此對于入院率高的疾病患者應當分配更多的病床。對于醫療實踐來說，隨著醫療技術的提高，一些關鍵強制治療過程(如心臟、白內障手術)所需的服務時間顯著縮短，康復時間比例相對增加，此時病床分配數在病種間呈現出均勻的趨勢。在醫療資源總量固定的情況下，醫院調整強制治療和康復階段的服務率會對病床分配造成較大影響在醫療實踐中，醫院也可以通過增加檢查、查房頻次等投入方式調整服務率，促進患者的強制治療和康復。

圖4 成本參數與總成本的變化關系圖

上述數值實驗主要從到達率和服務率方面對病床分配結果進行了分析，接下來本文分析成本參數對于病床分配的影響。考察患者提前出院成本變化時(cτ/cl=0.1, 0.2, 0.4,0.6四種情形)，病床分配的變化情況。患者到達率為λ1=[0.3, 0.4, 0.5]，兩階段醫療服務率分別為μ1=[0.124, 0.210, 0.340]，μ2=[0.290, 0.490, 0.794]，其它參數取值與上文一致。數值結果顯示，病床分配情況與圖2中λ1對應的情形一致，即兩階段模型病床分配量分別為(3,2,5)，單階段模型病床分配數為(3,5,2)。由于在單階段模型中不存在患者提前出院，沒有涉及cτ參數，因此結果一致。而對于兩階段模型，在數值參數假定的取值范圍內，分配結果同樣沒有發生變化，說明達到率和服務率對于病床分配的影響效果更大。圖4給出了兩階段模型不同成本參數與優化目標總成本的變化關系，結果說明隨著康復階段提前出院成本的增大，醫院的總成本提高。在醫療實踐中，若康復階段提前出院成本較高，可考慮下轉到社區醫院以減少再入院可能。

圖5 不同病床總數下的分配關系圖

最后，本文分析當可用病床總數變化時，兩階段模型病床分配問題。與圖2中λ1情形一致，患者到達率為λ1=[0.3, 0.4, 0.5]，兩階段醫療服務率分別為μ1=[0.124, 0.210,0.340]，μ2=[0.290, 0.490,0.794]，可用病床總數分別為N=10, 15, 20, 25，計算結果如圖5所示。研究結果表明，隨著可用病床數量的增加，單階段模型分配給每個病種的病床數均有所增加，而兩階段模型僅分配給疾病3患者的病床數有所提升，其余病種的病床分配數沒有發生變化。兩階段模型中，當病床數增加時，會對到達率高的病種分配更多的住院病床。與上文結果相似，兩階段模型中，患者的入院率對病床分配的影響更大。

5 結語

針對當前醫療資源總量不足，醫療資源需求日益增長和病床資源配置效率低的現實問題背景，本文考慮多病種間的病床資源分配問題。不同于已有研究，本文假設患者就診為一個兩階段串聯排隊過程，首先研究了患者強制治療-康復的兩階段排隊系統相關指標，然后考慮患者因資源不足無法入院和入院后由于新需求到達而被迫提前出院兩類因素，構建了基于排隊論的病床資源分配模型，并進一步給出了動態規劃求解方法。最后，針對三種疾病，基于衛生統計數據和模擬數據，對病床資源分配模型進行了數值模擬，分析了不同參數條件下最優病床數的變化，并且與單階段模型結果進行了比較分析。

研究結果表明在當前服務水平下，兩階段模型與單階段模型的病床分配結果差異顯著，兩階段模型中，患者的到達率對病床資源正向影響更加顯著；在參數取值范圍內，患者提前出院成本對病床分配的影響有限；同時，當病床總數增加時，病床資源分配向入院率高的疾病患者傾斜。單階段模型權衡收益和擁堵成本，成本參數和入院率、服務率均對病床分配結果造成影響，而本文提出兩階段模型考慮了患者由于病床不足被迫提前出院的情形，相比于單階段模型，擁堵成本對于病床分配的影響有所減弱，入院率和服務率對病床分配的影響較大，同時由于醫療實踐中醫療服務率的變化范圍相對較小，因而數值實驗結果顯示入院率對住院病床分配影響顯著。在醫療實踐中，醫療服務率的提高一方面需要醫療技術水平的提升，另一方面需要醫療資源投入的增加，因此醫療服務率變化范圍有限。同時，現實中，受資金、醫護人員數量等因素的約束，病床等醫療資源很難滿足需求水平，在最優的醫療決策下，入院率高的患者會占用較多的病床資源，對其它疾病的患者醫療服務造成負面影響。因此，承擔嚴重疾病醫療服務的三甲醫院應與下級醫院形成互補聯動機制，充分利用下級醫院的閑置資源，將康復階段的患者合理轉診分流，是解決上述困境的有效方法。

本研究對醫療資源優化實踐具有一定理論意義，為解決醫療病床分配問題提供了方法論支持，同時相關研究還可以從以下方面做進一步拓展。實際運營中，醫院通常按照部門/科室、疾病類目分配病床，本文雖未考慮病種組合問題，但實驗挑選的三類疾病(腦梗塞、急性闌尾炎、白內障)分別屬于內科、外科、眼科的項目，應用本文構建的兩階段模型時，可通過綜合各部門/科室下疾病類目的總體參數指標進行分析求解。同時，將患者兩階段醫療服務過程納入按疾病分組分配病床資源是進一步研究的方向。此外，當病床數較大時，本文采用的動態規劃方法求解效率降低，如何設計快速有效的求解算法也是需要進一步研究的問題。