立足習題教學　把握教學立意

吳林

課堂教學能傳授給學生哪些知識、培養學生的哪些能力和素養，學生能得到哪些發展、形成哪些數學思想、獲得什么樣的情感體驗，這就是教學設計的意圖和動機，也就是教學設計的立意.若從知識、能力和情感態度價值觀三個維度來劃分，我們可以將教學設計的立意分為知識立意、能力立意和人本立意，這三者正好與課程標準的三維目標相吻合. 教學設計的立意直接影響到教師對教學目標的確定、對教學內容的重組、對教法的選取以及對課堂生成的預設，它包含教學目標，又高于教學目標. 本文以筆者多次講評同一習題的課例為例，闡述如何立足習題教學，把握教學立意.

一、三次教學實踐及反思

題1（人教版選修1-2，P44習題2.2，A組第3題）：在？駐ABC中，若三邊a， b， c的倒數成等差數列，求證：B<■.

課例1：（新授課后的習題講評）

學生獨立思考，教師巡堂. 很多學生的第一想法是先用余弦定理表示cosB，即：∵■=■+■，∴ b=■，

∴cosB = ■.

但學生運算到這步就找不到方向了.

師：這么復雜的式子很難找到化簡的方向，也就是說直接證明會有難度，那我們應該怎么辦？

生：間接證明.

師：很好！用我們剛學過的反證法.

師生一起用反證法完成此題，教師板書：假設B≥90°，則b為三角形的最大邊，∴ b>a，b>c，∴■<■，■<■，∴■<■+■，這與已知矛盾，所以假設不成立，原命題成立.

點評：從知識立意的角度來看，教師講授了反證法，也指出在運用直接法有困難時考慮反證法，傳遞了“正難則反”的思想，達到了“鞏固反證法”的教學目標. 但是，教學停留在“反證法”本身，學生從形式上明白了“什么時候用反證法”，但“不用反證法行不行？”這個問題沒有解決. 通過這道題的講解，學生哪些能力能得到提升？學生會獲得怎樣的情感體驗？這是教學設計沒有考慮到的內容，也就是沒有教學的立意，這是經驗欠缺和準備不充分的表現.

課例2：（高三一輪復習課，課題：均值不等式）

課后，學生問：“老師，我考試時面對這種題想不到用反證法怎么辦？”這引發了我的思考：不用反證法行不行？我后續研究了這題的解法，并寫了教學反思.后來在高三復習課時，我改編此題，對教學做了調整：

題2：在ABC中，若三邊a，b，c的倒數成等差數列，求證：B∈（0，■].

大多數學生的第一想法還是用余弦定理表示cosB，即：cosB=■.

師：這個式子似乎復雜到找不到計算方向，我們一起分析條件：■=■+■，這個式子是哪個“平均數”的結構？

生：a，c的調和平均數.

師：很好！其本質就是：b=■，調和平均數與其它幾類平均數存在一組不等關系？請寫出來.

生：b=■≤■≤■≤■（*）

師：這些不等關系能否用到此題？怎么應用到此題？用那個比較簡便？

生：考慮到cosB=■，式中出現了a2+c2和2ac，所以用■≤■和■≤■應該都可以.

師：很好！請大家試試.

學生自己動手計算，注意到a2+c2≥2ac，cosB=■≥■=■，從而求出B∈（0，■].

點評：教師有了比較充分的準備，學生能按照教師的預設進入學習情境，從分析式子結構入手，將幾類平均數的不等關系應用到本題，學生的分析能力得到了培養，學生會有收獲新知的成功體驗，特別是將題2和題1比較，結果更精確，能激發學生的探究興趣. 說明教師在設計教學時有思考：如何引導學生分析條件，如何啟發學生思考問題，如何讓學生參與到教學中來？這個設計在知識和能力立意之上有“人本立意”的傾向.

但是，學生還是在教師預設的思維軌道上行走，在思維的起點和關鍵點，教師會有引導和提示，這不利于學生分析能力的培養. 另外，（*）式的結論是課標沒有要求的，如果沒有提前講授，學生無法提取這個信息. 教師的提示點正是培養學生思維和素養能力的關鍵點，教師沒有很好地引導學生，化解和消除學習中的難點，促成教學生成，忽視學生自主學習過程，影響學生思維能力的提升，從而造成“人本立意”高度不夠.

課例3：（高三一輪復習，課題：均值不等式）

多年后，我仍以題1為例題展開了一次教學，很多學生的第一想法仍然是用余弦定理表示角B，即cosB=■.

師：這么復雜的式子，似乎找不到化簡和變形的方向，大家想想我們的目標是什么？

生：判斷cosB的正負.

師：很好！那現在的困難在哪？障礙是什么？

生：式子太復雜，化簡不了.

師：仔細觀察這式子的形式和特征，有沒有什么聯系？

幾分鐘后，生1舉手回答：把它分成兩塊，cosB=■=■-■-1.

師：你是怎么想到的？

生1：式子雖然復雜，但感覺分子前后“各自為陣”，所以想分開試試.

師：好，你的感覺很好. 有想法時，要勇敢地試試，才知道結果. 然后呢？

生1：還沒有想到. 只是發現第一、二兩個式子互為倒數.

師：很好，分開兩塊后的式子互為倒數，比剛才的特征明顯，這個思路應該可行. 大家都想想，看能否找到解決辦法？

生2：可以用換元法. 既然第一、二兩個式子互為倒數，那么可設t=■，則cosB=t-■-1，是一個關于t的增函數. 接下來求出t的范圍，t=■≥■=2，當且僅當a=c時取等號. ∴cosB≥2-■-1=■，∴ B≤60°.

師：這位同學用換元法幫我們解決一個大問題，把復雜的式子簡單化了，也注意到了換元法要注意新元的范圍. 兩位同學一起按自己的思路解決了這個問題，而且比題目要求的范圍更精確.這個方法也是我沒有想到的，大家給他們一點掌聲.

學生的想法確實超出我的預設. 我按預設給出提示.

師：回到剛才思維受阻的地方：cosB = ■，目標是將式子化簡，然后判斷符號. 大家觀察這個式子，你還會有什么想法？

生3：直接用均值不等式，因為a2+c2≥2ac，a+c≥2■，這兩個式子同時在a=c時取等號，所以cosB = ■≥■=■.

師：你是怎么想到的？

生3：我試過將式子化簡，行不通. 受生1的啟發，用整體的思想理解a2+c2，a+c，ac，我想用均值不等式試試.

師：很好，直接從式子的結構和形式分析，找到聯系. 這是我們解題時的常用分析方法.

至此，學生們都很滿意這題的解法了，但是離我的想法還有些差距，于是我讓學習小組展開討論，并給出兩點提示：（1）既然從cosB的結構分析，要消去b，并用到均值不等式，能否從條件開始就用均值不等式？（2）如果從判斷符號的角度來看，本質上是證明a2+c2-b2>0或者說比較a2+c2和b2的大小，那還有沒有其他方法？

于是我給了足夠的時間讓學生開展小組討論，教師巡堂并參與個別小組的討論，然后是小組展示.

組1：按老師的提示，將條件簡單變形后得到b=■≤■=■，再將這一不等關系代入cosB，得：cosB=■≥■=■. 后來，我們組發現其實條件不變形，直接用均值不等式也可以：■=■+■≥2■，所以，b≤■.

組2：按老師的提示，目的是比較a2+c2和b2的大小，那么可以作商：

■=■≥■=2>1，所以，a2+c2≥b2，原題得證. 后來我們組還發現，要求出結果，只要把b2≤■代入cosB就可以得到：

cosB=■≥■≥■=■，以上各式均當且僅當a=c時取等號.

師：大家的表現都非常棒. 以上這些解法更簡潔明了，看似很復雜的式子，經過我們觀察、分析、研究，最后都找到了突破口. 所以，我們只要認真分析條件，把條件和學過的知識聯系起來，大膽嘗試，一定能找到解題思路. 一題多解，有助于更好地復習鞏固基礎知識，培養自己靈活解題的能力. 當然，如果對幾類平均數的大小關系和結構熟悉的話，可以直接從條件出發解題[教師板書課例1中的（*）式]. 另外，大家想想，如果只證B<90°，還有什么想法？

生4：反證法.

師：你是怎么想到的？

生4：當我算cosB時，算不下去了，我就想到了“正難則反”，所以想到了反證法. 但沒有繼續下去，不知道行不行！

師：很好，我們常說“正難則反”，不只是一種方法，而應該成為一種“思想”，請大家課后試試用反證法完成此題.

點評：從學生的思維起點切入，不斷地鼓勵學生提出自己的解法，通過追問的方式暴露和展示學生的思維過程，有助于學生更好地分析和相互進行方法的比較;通過小組合作展示，有助于學生表達能力的提升，有助于學生在“出聲思維”中優化自己的解題思路，體驗到成功的喜悅和分享的快樂. 學生的解法有思維回路時，教師并沒有直接給出簡單解法，而是提供方向，讓學生自己發現更簡潔的思路，在比較中發現問題，有助于培養學生的反思能力.教師歸納與總結，有助于學生從本質理解前面的解法，易于將知識和方法形成串，結成網.

教師在設計教學時不僅考慮了“傳授什么方法，達成什么學目標”，而且考慮了“如何傳授這些方法，如何實現這些目標”. 在教學中讓學生充分參與，培養了學生的分析、反思和表達能力，以及勇于探索的精神，有較高的“人本立意”.

二、關于教學人本立意的思考

教師要保護學生思考的積極性，這是“人本立意”的前提. 教師要鼓勵學生大膽嘗試自己的想法，不可輕易肯定或否定;要引導學生做方法的比較，以此培養學生分析問題的能力、獨立思考的習慣. 學生解決不了新問題，不能簡單地將之歸結為練習不足或基礎知識不牢固，有時可能是缺乏解題的信心，從而放棄了探究. 這類情感態度也需要我們有意識地培養和保護.

教師及時記錄、反思和分享教學中的遺憾和發現，是“人本立意”的基礎. 通過展現教師的思考過程，能引發學生的學習興趣，為學生樹立樂于思考的榜樣，培養學生的鉆研精神. 同時也能更好地把握學情，為教學找到抓手和著力點，這種反思和實踐會使教師的專業成長更快. 通過對學生熟悉問題的挖掘和拓展能引導學生跳出“題海”，重視對一題多解、一解多題的反思、歸納和總結，使學生真正地將方法內化，將問題形成串、結成網，以促進學生知識的系統化、結構化、綜合化和應用化，從而真正提高學生的能力和素養.

教學立意的三個維度不是完全獨立和割裂的，而是一種包含關系：能力立意包含知識立意，人本立意包含能力立意.在教學設計時，三者是互相影響的，設計教學應以知識為起點，立意為落點，從人本立意出發來確定教學目標，重組教學內容，預設教學生成;教學立意的落實應以教學內容為載體，以教學目標為抓手. 在教學設計時充分考慮傳授何種知識，如何傳授？培養什么能力，如何培養？學生學到什么，通過什么方式得到？學生會獲得什么體驗，如何獲得？將這些問題落實到教學方法、教學的具體環節中，落實到教學的預設與生成中，就能更明確教學立意，也能將立意從無意識行為變為有意識行為，將教學立意從隱形變為顯形.

注：作者系廣東省嚴運華名教師工作室成員. 本文系全國教育信息技術研究2017年度專項課題“全通教學質量監測平臺（AMEQP）數據支持下的高中數學教學研究”（課題立項號：1744300 26;課題號：3348）的研究成果.

責任編輯羅峰