關注認知心理　教會學生思考

池賢利

數學教育心理學（Psychology of Mathematics Education，縮寫為PME）屬于數學、心理學和教育學的交叉學科，側重研究在數學課堂中，將教師的教學心理活動與學生的學習心理活動有機結合. 不少數學教育家認為，PME將是未來一段時間內數學教育的主要研究領域. 近年來，核心素養提出后，中小學及高校的一線教師、研究者從PME視角審視數學核心素養的培養并提出各種建議，也有研究者以PME視角對某些教學內容的教學設計加以改進，取得不錯的效果.

一、PME視角下《運用平方差公式分解因式》教學設計的重構

筆者近期參加了一次廣東省名教師工作室成員到延安市的教學交流活動，在異地教學的同課異構活動中，執教了人教版八年級上冊14.3因式分解第1課時《運用平方差公式分解因式》一課. 以此課為例，探討一下從PME視角重構教學設計的思考.

（一）上課熱身：巧拋速算法，逆向思考引新知

第一次設計：你能在10秒內計算出20202-20192的結果嗎？

本設計的意圖是，通過搶答游戲比較常規算法和逆用平方差公式計算的簡便性，調動學生上課積極性，同時引出學習公式法分解因式的必要性. 再三斟酌后發現：有學生可以脫口而出算式的得數，但未必如預設一樣，能引起學生深入思考. 考慮到異地上課的學生也比較優秀，因此此設計調整如下：

第二次設計：你能在20秒內計算出1002-992+982-972+962-952+…+22-12的結果嗎？

教學過程中發現：此問題能充分吸引學生的上課注意力，造成認知沖突，引發學生積極思考，但是他們很難在限定時間內回答出來，達到了熱身激趣的效果，使學生產生濃厚的學習欲望，帶著問題進入后續的學習環節.

（二）新課探究：精設問題鏈，尋求知識生長點

第一次設計：先分解因式（1）2x3-4x，（2）（a-b）2-3（a-b）;再計算（1）（a+b）（a-b），（2）（x+5）（x-5），（3）（3x+y）（3x-y）.

此設計的意圖是先復習上節課的提公因式法，再通過計算幾個有規律多項式乘法的例子，通過比較前后結果得到a2-b2=（a+b）（a-b）. 試講后發覺這樣的引入方式表面上看似乎強調了整式乘法與因式分解的互逆關系，卻在本質上忽視了因式分解的目的與意義，學生很容易出現“展開后分解，分解后再展開”的循環現象. 從本質上看，學生只是模仿操作，盲目被動，不明白因式分解的真正作用. 考慮到學生學習乘法公式時，借助于幾何圖形對公式作了直觀解釋，體現了代數與幾何之間的內在聯系和統一，能讓學生更好地理解公式，因此教學設計調整如下：

第二次設計：如圖1，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，你能用含有字母a、b的式子表示出陰影部分的面積嗎？

本設計的意圖是，讓學生通過等積法可以比較直觀地得到公式. 但是磨課討論時，發現存在兩個問題.（1）用a、b表示圖形的面積，只能取正值，不能和代數式中a、b的任意取值一致，邏輯上存在問題.（2）可能出現的結果比較多，課堂狀態不好把握. 如果一一證明，時間不夠，也沖淡了本節課的重點;如果不證明，囫圇吞棗，不足以說明結論的成立.

經過反復的磨課和工作室導師的指導，對教學設計再次作出調整.

第三次設計：在熱身活動后教師以問題鏈的形式復習引入.

問題1：什么是因式分解？

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學生回答因式分解的概念，課件呈現圖2.

問題2：從運算的結果來看，多項式是什么運算？因式分解呢？

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教師引導學生分析多項式是加減的形式，因式分解的結果是乘法的形式，課件呈現圖3.

問題3：我們學過的因式分解有什么方法？什么條件下使用？

學生回答學過提公因式法，需要多項式各項有公因式（即相同因式）的時候可以使用，如：pa+pb+pc=p（a+b+c）.

問題4：若沒有相同的因式怎么辦？難不難？

如：4x2-9=？×？

教師引導分析：難. 難在式子由“加減”變形為“乘法”的形式沒有現成的“工具”可以使用. 接著引導學生聯想等號的作用就像天平，一邊不行換另一邊，轉換思路嘗試一下.

問題5：一個式子從“乘法”變成“加減”形式難不難？

教師引導分析：不難. 有許多的“工具”如運算法則、乘法公式等.

問題6：老師檢測一下同學們的記憶力. 下邊的幾個式子如果給出右邊，你能憑記憶寫出左邊的式子嗎？

（1）_____=ab+b2

（2）_____=6a2+3ab

（3）_____=6ab+2b2

（4）_____=a2-b2

教學中發現問題6一旦提出來，學生立即有了思維沖突，第（4）個式子學生可能可以回答上來，其他三個會感到比較困難.

教師引導分析：為什么能記住式子（4），而對其他三個感到困難？因為式子（4）的形式比較常見，從而固化成了平方差公式，接著進行平方差公式的結構特征分析.

本設計運用“問題結構”推進教學，前一個問題解決了，又自然產生新的問題，這些問題環環相扣，形成一種思維導向的結構，當所有問題都解決，運用平方差公式分解因式的意義就明確了. 教師以問題帶著學生前行，學生就有了學習的目標，有了學習的動力，而且前后自然聯系，在探究的過程中不斷產生新的問題，這些問題吸引著學生朝著目標問題層層深入，步步推進，導向清晰，目標明確，學生獲得成功的喜悅，教師也能分享其中的樂趣.

李士锜教授曾指出，學習一個數學概念、原理、法則時，如果在心理上能組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，才是真正的理解. 在前兩次的設計中，對于學生來說，無論是復習回顧還是利用面積探究公式，教學活動都顯得被動而生硬，甚至不知“平方差公式等號兩邊的換位”學有何用;在學生的心理層次方面，沒有真正收獲知識的成就感，在沒有真正地理解與接受的前提下，被動地吸收了知識，不利于學生自身知識體系的構建與鞏固. 相比之下，在 PME 理論的指導下進行的教學設計，通過靈活地設置一系列的問題鏈，學生對于“運用平方差公式分解因式”的理解變得合情合理、有據可依，從而有利于后繼學習的拾階而上.

（三）公式應用：精講典型例題，變式訓練強認知

第一次設計：因式分解題組1：（1）x2-4;（2）9x2-4y2;（3）-4y2+9x2;（4）25x2-■y2;（5）9（m+n）2-（m-n）2.

因式分解題組2：（1）x2-4;（2）2x2-8;（3）2x3-8x.

本設計題組1意在通過變系數、變符號等一系列變式訓練，讓學生熟練掌握a2-b2=（a+b）（a-b）的分解. 題組2意在通過變式訓練讓學生綜合掌握提公因式法和平方差公式法.

第二次設計：因式分解題組1：（1）4x2-9;（2）（x+p）2-（x+q）2.

因式分解題組2：（1）x4-y4;（2）a3b-ab.

本設計主要是依綱靠本，題組1側重整體思想的滲透. 題組2側重多次分解的訓練.

根據認知負荷理論，要最大限度促進學生的學習，既要保證降低外部認知負荷，又要在學生可接受范圍內最大化內部認知負荷. 因此，變式訓練不是低水平的重復，不僅僅要體現題目的改變，還要順勢而為，由簡單到復雜，公式中的a、b由單項式變為多項式，由“直接運用平方差公式分解”到“結合式子特征靈活選用分解方法”，這樣才能更好地提升思維水平. 故再次將教學設計進行修改，如下為第三次設計：

1. 因式分解題組1：（1）4x2-9;（2）（x+p）2-（x+q）2.

2. 因式分解題組2：（1）mx4-my4;（2）2a3b-8ab.

3. 速算解疑. 你能在20秒內計算出1002-992+982-972+962-952+…+22-12的結果嗎？

本設計中，前兩部分的分解因式，在課本原例題的基礎上改變了系數，有的是增加了字母系數，有的是增加了數字系數，使得題目并不是直接使用平方差公式進行因式分解. 這樣調整后，學生的認識就不只是停留在單一記憶和機械掌握的水平，而是以主動積極的心態投入有意義的數學學習之中，以整體綜合的方式把握因式分解的方法，培養了學生判斷與選擇的自覺意識，有利于提高學生整體綜合和靈活敏捷的思維品質.

第三部分，回應了課前熱身活動的速算題. 學生學習了本節內容后，容易看出原題實際是由若干組平方差式子構成的，運用公式分解因式便能速算得到結果，前后呼應有助于學生體會學以致用的喜悅.

（四）拓展提高：增縱橫聯系，多重表征促理解

第一次設計：如圖（前文圖1所示），在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，你能用含有用字母a、b的式子表示出陰影部分的面積嗎？

在現代認知心理學中，知識在學習者頭腦中的呈現和表達方式稱為知識的表征. 對于公式的表征方式一般有3種：由字母符號組成的表達式，文字語言的表述，圖形語言. 一般而言，學生對公式的表征更傾向于選擇表達式的方式. 如能讓學生學會用不同方式表征一個公式，則能促其深層次地理解公式的內涵本質. 本設計旨在讓學生通過幾何方法驗證平方差公式的合理性，借助幾何圖形與數形結合思想，對公式再次表征，加深學生對公式的理解.

除此之外，拓展環節還應幫助學生建立知識之間的橫向縱向聯系，要讓學生看到樹木之余，更要讓其看到森林，這樣才能促其建立整體的學習觀. 考慮到與后繼知識的聯系，可增加通過分解因式可解的三次方程.

第二次設計：

拓展活動1：你會解下面的方程嗎？

2x3-8x=0

拓展活動2：如圖（前文圖1所示），在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，你能用含有用字母a、b的式子表示出陰影部分的面積嗎？

本設計增加了解高次方程環節. 這樣調整更能凸顯通過因式分解實現多項式“降次”的作用，突出了因式分解知識與其他數學知識之間的內在的聯系. 教師教學看問題的層次越高，就越有利于學生在知識學習過程中的整體感悟與靈活運用. 拓展活動2可讓學生從幾何角度體會公式含義，可用多種割補方法表示面積，此活動不一定能在課堂上完成，但是教學留有余地，猶如一個省略號，給學生自由發揮的空間，或能讓課堂意猶未盡.

二、教學反思

公式的教學過程，對教師而言，把公式的學術形態轉化為教育形態的實施過程;對于學生而言，則是借助經驗、方法，將原有的認知結構同化為新公式的過程. 綜觀本節課的磨課與教學過程，筆者從一開始著眼于一節課、一個知識點、一種方法、一組練習的教學效果，簡單生硬地引入，到從學生學習的角度出發，分析怎樣由提公因式自然地聯想到平方差公式，整體設計強調了對數學知識的單元遞進教學;從最初設計時的學生反復機械練習，到正式上課時采用“問題導學法”，遵循“以學生為主體，以教師為主導，以數學活動為主線”的指導思想，深度挖掘縱向知識間的聯系，提升學生思維. 這樣重構設計，讓教學的層次產生了質的變化. 同時，整個教學設計更加注重學生學習積極性與好奇心的調動，注重讓學生內化、體悟，充分暴露思維過程，引導學生一步步地去思考、表達，促其提升數學素養.

關注教與學的心理活動，更加有利于學習質效的提升，這是不少教師的共識. 跨學科的研究未來教育趨勢，PME正是研究的一個極佳視角，數學教師不妨多作嘗試，將其滲透到更多的教學活動中.

注：本文系2019年廣州市教育研究院課題“運用西蒙數學理論提高初中派位生核心素養的研究”（課題編號：GZJYTY2019—035）階段性成果.

責任編輯 羅 峰