淺談數(shù)值分析對(duì)研究生數(shù)學(xué)建模的作用

楊帆 朱鑫玉 李敦剛 付軍良

【摘要】結(jié)合近十年給工科研究生上“數(shù)值分析”學(xué)位課中積累的經(jīng)驗(yàn)，從“數(shù)值分析”的主要教學(xué)內(nèi)容：數(shù)據(jù)建模、求解方程和數(shù)值算法三個(gè)主要方面說明了“數(shù)值分析”課程對(duì)研究生數(shù)學(xué)建模的重要性.

【關(guān)鍵詞】研究生建模;數(shù)值分析;數(shù)據(jù)建模

隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算已與科學(xué)理論和科學(xué)實(shí)驗(yàn)鼎立為現(xiàn)代科學(xué)的三大組成部分之一，并在許多科學(xué)和工程領(lǐng)域中逐漸形成了計(jì)算性學(xué)科分支.這些計(jì)算性的科學(xué)和工程領(lǐng)域，又以數(shù)值計(jì)算方法作為其共性基礎(chǔ)和聯(lián)系紐帶[1].數(shù)值分析，也稱為數(shù)值計(jì)算方法，是數(shù)學(xué)學(xué)科中關(guān)于數(shù)值計(jì)算的一門學(xué)問，其主要研究如何借助計(jì)算工具求得數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解答.數(shù)學(xué)作為一種精確的科學(xué)語言，是以一種極其抽象的形式出現(xiàn)的.要用數(shù)學(xué)方法解決一個(gè)實(shí)際問題，就必須在實(shí)際問題與數(shù)學(xué)之間架起一座橋梁，而數(shù)學(xué)模型就是在解決這類問題[2][3].全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽是面向全國在讀研究生的科技競賽活動(dòng)，目的在于激發(fā)研究生群體的創(chuàng)新活力和學(xué)習(xí)興趣，提高研究生建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的綜合能力，拓寬知識(shí)面，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)，促進(jìn)研究生中優(yōu)秀人才的脫穎而出、迅速成長，推動(dòng)研究生教育改革，增進(jìn)各高校之間以及高校、研究所與企業(yè)之間的交流與合作.數(shù)學(xué)建模是數(shù)值分析聯(lián)系實(shí)際的橋梁，在數(shù)學(xué)建模過程中，無論是模型的建立還是模型的求解都要用到數(shù)值分析課程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、數(shù)值微分等.因此，在數(shù)學(xué)建模中，數(shù)值分析內(nèi)容對(duì)解決實(shí)際問題起到關(guān)鍵性作用.筆者從以下三個(gè)方面談?wù)剶?shù)值分析在研究生數(shù)學(xué)建模中的作用.

一、數(shù)據(jù)分析

全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽賽題大多來自工程實(shí)際問題，其中就有數(shù)據(jù)處理問題，并且所給的數(shù)據(jù)都是比較多，比較龐大的.這些數(shù)據(jù)都是實(shí)際測量得到的，具有真實(shí)性，這些數(shù)據(jù)往往隱藏著某種關(guān)系，具有一定的研究價(jià)值.因此，如何處理及分析數(shù)據(jù)成為解決問題的關(guān)鍵性一步.在數(shù)值分析中，對(duì)數(shù)據(jù)建模有兩大類方法：一類是插值方法，如拉格朗日插值法、牛頓插值法、三次樣條插值法等;另一類是擬合方法，如最小二乘法.一般而言，插值方法比較適合數(shù)據(jù)準(zhǔn)確或數(shù)據(jù)量較少的情形，而擬合方法則比較適合數(shù)據(jù)有誤差或數(shù)據(jù)量較大的情形.這兩種方法在數(shù)學(xué)建模中經(jīng)常被運(yùn)用于數(shù)據(jù)分析.因此，數(shù)值分析在研究生數(shù)學(xué)建模中對(duì)數(shù)據(jù)分析起到了重要作用.

二、求解方程

在工程計(jì)算和科學(xué)研究中，如電路和電力系統(tǒng)計(jì)算、非線性力學(xué)等許多領(lǐng)域的實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性方程的求根問題.已經(jīng)證明，對(duì)五次及五次以上的一元多項(xiàng)式不存在精確的求根公式，至于超越方程更難求其精確解了.因此，求解一個(gè)非線性方程的近似根，已成為目前相關(guān)領(lǐng)域的科研工作者迫切需要解決的問題.在數(shù)值分析中，對(duì)求解這類問題的方法主要有二分法、牛頓法、割線法、簡單迭代法及其加速法等.

在科學(xué)與工程計(jì)算中的許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型可以用常微分方程來描述.由于絕大多數(shù)常微分方程難以求得其精確解，因此，研究常微分方程的數(shù)值解法具有十分重要的應(yīng)用意義.在數(shù)值分析中，常微分方程初值問題的數(shù)值解法一般分為兩大類：一類是單步法，其代表是龍格-庫塔方法;另一類是多步法，其代表是亞當(dāng)斯方法.

全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽賽題大多來自工程實(shí)際問題，而這些實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)方程、方程組或者求解一個(gè)矩陣問題.在數(shù)值分析中，對(duì)求解以上問題都給出了一些比較成熟有效的方法.因此，數(shù)值分析對(duì)解決一些工程實(shí)際問題有著不可替代的作用.

三、數(shù)值算法

當(dāng)前，科學(xué)計(jì)算的應(yīng)用范圍非常廣泛，如天氣預(yù)報(bào)、工程設(shè)計(jì)、流體計(jì)算、經(jīng)濟(jì)規(guī)劃和預(yù)測以及國防尖端的一些科研項(xiàng)目，以及核武器的研制、導(dǎo)彈和火箭的發(fā)射等，始終是科學(xué)計(jì)算最為活躍的領(lǐng)域.面對(duì)這些實(shí)際問題提出了越來越多的復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算問題，必須依靠電子計(jì)算機(jī)快速準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)處理能力.因此，尋找適合在計(jì)算機(jī)上求解各種數(shù)值問題的算法就顯得至關(guān)重要了.一個(gè)好的算法應(yīng)該具備以下特征：（1）必須結(jié)構(gòu)簡單，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn);（2）理論上必須保證方法的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性;（3）計(jì)算效率必須高，即計(jì)算速度快且節(jié)省存儲(chǔ)量;（4）必須經(jīng)過數(shù)值實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，證明行之有效.在數(shù)值分析中，對(duì)算法的選擇與設(shè)計(jì)，提出了一些理論和原則，如誤差的基本理論、數(shù)值算法設(shè)計(jì)的若干原則等.

數(shù)值分析中對(duì)數(shù)值算法理論的一些應(yīng)用體現(xiàn)在求解問題的各個(gè)方面，如前面提到的數(shù)據(jù)分析以及求解方程等問題.并且數(shù)值分析對(duì)數(shù)學(xué)分析中出現(xiàn)的積分計(jì)算以及微分計(jì)算，提出了一些有效的求積公式和求導(dǎo)公式.因此，數(shù)值分析應(yīng)用各行各業(yè)，對(duì)求解實(shí)際問題起到了關(guān)鍵性的作用.

總之，數(shù)值分析知識(shí)應(yīng)用到各行各業(yè)，對(duì)求解一些實(shí)際問題給出了解決方法.學(xué)好數(shù)值分析這門課程，也為參加數(shù)學(xué)建模競賽打下一個(gè)良好的基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬昌鳳.現(xiàn)代數(shù)值分析（MATLAB版）[M].北京：國防工業(yè)出版社，2013.

[2]周麗.略論數(shù)學(xué)建模教育與高校數(shù)學(xué)教學(xué)方式改革[J].南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（3）：83-85.

[3]姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，1987.