三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)經(jīng)典問題聚焦

李漢軍

【摘要】近幾年來的高考數(shù)學(xué)對三角函數(shù)的變換考查要求逐年減低，然而對學(xué)生對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)方面的掌握與運(yùn)用卻加強(qiáng)了考查要求.函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生能夠解決生活實(shí)際問題的工具，因此，三角函數(shù)也就成為了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要組成部分.本文旨在通過聚焦三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的經(jīng)典問題，探討實(shí)現(xiàn)對三角函數(shù)相關(guān)問題的高效解題策略.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù);高中數(shù)學(xué);圖像與性質(zhì)

一、聚焦三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)經(jīng)典問題

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)大綱對三角函數(shù)的考查要求旨在讓學(xué)生充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，一方面，利用函數(shù)的性質(zhì)去實(shí)現(xiàn)對函數(shù)圖像的準(zhǔn)確繪制，另一方面，則是根據(jù)函數(shù)的圖像來實(shí)現(xiàn)對函數(shù)圖形的準(zhǔn)確把握，從而熟練掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)水平的不斷提升，而在高考的考查中，三角函數(shù)的相關(guān)題型主要為選擇題、填空題和解答題.

（一）求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

在三角函數(shù)圖像與性質(zhì)問題聚焦的過程中，最經(jīng)典的應(yīng)為對三角函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的相關(guān)求解，大多以選擇題的形式出現(xiàn)，最基礎(chǔ)的即是給出一個(gè)相應(yīng)的三角函數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，如對函數(shù)y=cos〖JB（（〗π 4-2x的單調(diào)區(qū)間的求解，或是進(jìn)行相關(guān)形式變化，讓學(xué)生先進(jìn)行相關(guān)的基礎(chǔ)變形之后，再得出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間求解.

（二）求三角函數(shù)的周期

對三角函數(shù)的周期的考查大多出現(xiàn)于選擇題和填空題中，難度適中，較為簡單的形式則是給出相關(guān)三角函數(shù)式讓學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的求解，如y=cosπ?4-2x的周期求解，或是加大難度即對如y=cosπ?3-2x-sinπ 6-2x的最小正周期的求解.

二、實(shí)現(xiàn)對三角函數(shù)經(jīng)典問題的高效解題策略

（一）夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握基礎(chǔ)變換公式

在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，要想實(shí)現(xiàn)對三角函數(shù)的高效快速掌握，除了要掌握一定的解題思路與方法之外，最重要的一點(diǎn)則是要對三角函數(shù)的基礎(chǔ)變換公式的掌握.

（二）高效求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

在進(jìn)行對簡單三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間求解的過程中，可將解題步驟分為三步，第一步是對三角函數(shù)的函數(shù)式進(jìn)行相關(guān)變換，將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在轉(zhuǎn)化的過程中應(yīng)該注意的是對三角函數(shù)的準(zhǔn)確把握，是sin還是cos，是cos還是tan，每個(gè)不同的三角符號都有不同的對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間公式，同時(shí)也有不同的轉(zhuǎn)化公式，切忌眼高手低，心急手快，導(dǎo)致轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤，同時(shí)在進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程中還要注意相關(guān)參數(shù)的正負(fù)變化，如A，ω等.第二步則是利用三角函數(shù)的相關(guān)輔助角公式將其轉(zhuǎn)化為同名函數(shù)，并使其存在統(tǒng)一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，而第三步則是利用三角函數(shù)的相關(guān)圖像與性質(zhì)來最終確定其單調(diào)區(qū)間.

例如，求函數(shù)y=cosπ?4-2x的單調(diào)遞增區(qū)間，即可根據(jù)相關(guān)公式，π?4-2x∈[-π+2kπ，2kπ]，從而進(jìn)行相關(guān)不等式轉(zhuǎn)化進(jìn)而得出其單調(diào)遞增區(qū)間，即x∈-3 8π+kπ，1 8π+kπ.

（三）高效求解三角函數(shù)的圖像及其函數(shù)式

在進(jìn)行對一般三角函數(shù)的圖像與函數(shù)式求解的過程中，第一步便是準(zhǔn)確觀察所給函數(shù)圖像，所觀察的內(nèi)容為周期，振幅，對稱軸，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，圖像的走勢與形狀等，從而初步得出相關(guān)結(jié)論;第二步則是利用觀察所得出的特殊點(diǎn)來進(jìn)行函數(shù)式代入，從而計(jì)算出相關(guān)參數(shù)值如A，ω，φ等，第三步則是根據(jù)圖像的走勢、升降情況來進(jìn)行相關(guān)第一個(gè)零點(diǎn)位置的確定，從而進(jìn)一步的確定相關(guān)參數(shù)，最后得出結(jié)論，獲得三角函數(shù)的解析式.

（四）高效求解三角函數(shù)的周期

在進(jìn)行對一般三角函數(shù)的周期的求解過程中，可以將其理解為對最小正周期的求解，從結(jié)果上來說則是利用 T=2π ω的周期計(jì)算公式來進(jìn)行相關(guān)求解，而對題目中的ω如何得知則是需要將原三角函數(shù)進(jìn)行一定的恒等變換，從而將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，最終得出相關(guān)的周期結(jié)果.

如在進(jìn)行y=cosπ?4-2x的最小周期求解的過程中，可以通過T=2π?ω即T=8π得出相關(guān)周期數(shù)，而對y=cosπ3-2x-sinπ?6-2x，則需要通過一定的正余弦函數(shù)公式來進(jìn)行相關(guān)的形式變化，從而得出相關(guān)結(jié)論，即周期T=π.

三、結(jié) 語

在聚焦三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)經(jīng)典問題的過程中，我們不難看出其經(jīng)典問題主要是對三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，圖像及其函數(shù)式，周期等的求解，而從總體上來看即是對三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的求解，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的變形實(shí)現(xiàn)難度上的增加.因此，在解題的過程中，要注重對自身基礎(chǔ)知識的夯實(shí)，熟練掌握相關(guān)三角函數(shù)變化公式以及函數(shù)圖形的準(zhǔn)確把握，實(shí)現(xiàn)對三角函數(shù)公式的靈活運(yùn)用.

【參考文獻(xiàn)】

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