例說圓在幾何問題中的一類應用

金永濤

【摘要】文中通過幾個典型的高中數學實例，呈現出圓在解決解析幾何、立體幾何問題時，不僅為解題提供了知識基礎（圓的定義、圓的方程與圓的性質），也為分析、思考、探究問題提供了重要的思維方法（軌跡分析），借助幾何直觀和空間想象認識問題的本質，獲取解題思路.

【關鍵詞】知識基礎;思維基礎;軌跡分析;幾何直觀;空間想象

在幾何問題中，圓不僅是最基本的幾何圖形之一，也是對幾何關系的形象刻畫，更是解決幾何問題的思路與方法.一方面，圓可以描述兩點間的平面距離，即：半徑關系;另一方面，圓可以描述角度的大小，當角度為直角時，對邊就是圓的直徑;此外，圓還可以描述幾何圖形的對稱性.

圓的定義與性質在幾何問題中有非常廣泛的應用.文中通過幾個不同的例題，分別呈現出在解決平面解析幾何、立體幾何問題時，圓不僅為解題提供了知識基礎，也提供了分析、思考、探究問題的思維基礎.

一、圓在解析幾何中的應用

例1 已知點A（-1，-1），若曲線G上存在兩點B，C，使得△ABC為正三角形，則稱曲線G為Γ型曲線.給定下列三條曲線：

① y=-x+3（0≤x≤3）;② y=2-x2（-2≤x≤0）;③ y=-1 x（x>0）.

其中，Γ型曲線的個數是（? ）.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析 正三角形，即：頂角為60°的等腰三角形.在①中如圖1所示，AD=AE60°，線段上一定存在兩點B，C，使得△ABC為正三角形，該曲線為Γ型曲線.

在②中如圖2所示，點A與曲線均在圓x2+y2=2上.從圖形上觀察，覺得不能存在正三角形的情況，怎么準確地說出原因呢？我們知道正三角形對三條邊長與三個內角都有明確的要求，觀察圖形找到不滿足的量與關系即可.比如，點A對應的最大內角∠DAE=45°，則曲線不是Γ型曲線.大家還可以思考其他不滿足的關系還有哪些.

在③中如圖3所示，判斷是否存在正三角形不容易直接識別，可以先判斷能否存在等腰三角形，再進一步判斷能否存在正三角形.思考：

（1）怎么構造等腰三角形？

（2）在熟悉的圖形中，什么圖形可以呈現“等腰”？

（3）具體怎么操作，如何作圖？

（4）如果等腰三角形條件滿足，怎么進一步判斷正三角形條件？

通過問題引導，回顧相關知識與方法，確定解答思路：以點A為圓心作圓，使其與曲線相交得到等腰三角形△DAE.當半徑逐漸增大時，∠DAE從0°到90°逐漸增大，則存在兩點B、C使得∠BAC=60°的情況.該曲線為Γ形曲線.

二、圓在立體幾何中的應用

例2 設l1，l2，l3為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線.給出下列三個結論：

① 存在Ai∈li（i=1，2，3），使得△A1A2A3是直角三角形;

② 存在Ai∈li（i=1，2，3），使得△A1A2A3是等邊三角形;

③ 三條直線上存在四點Ai（i=1，2，3，4），使得四面體A1A2A3A4為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體.

其中，所有正確結論的序號是（? ）.

解析 題目中描述的背景幾何體是直三棱柱，且底面三角形的邊長分別為4、5、6.

在①中，實現“直角”的方式是固定直徑作圓（或球）.設l1到l2、l3所在平面的距離為d，在l2、l3上各選一點A2、A3滿足|A2A3|≥2d，以A2A3為直徑作球，與l1必有一個公共點A1，則A2A1⊥A3A1.

在②中，為了判斷是否存在等邊三角形，先考慮等腰三角形.以其中一條直線上的一個點為球心作球與另兩條線相交，從而確保等腰三角形.為使頂角能夠取到60°，在距離為6的兩條平行線的對邊上選一個點作球，則等腰三角形的最小腰長為5，且此時的頂角大于60°.當球的半徑不斷增大，頂角不斷減小至無限接近0°，所以，存在頂角等于60°的情況，而且存在兩組位置可以構成正三角形.有興趣的話，可以思考從其他直線上選定一點是否也可以構成正三角形？

命題③，比較容易說明不成立.

當然，例題2的解答思路并不唯一，大家還可以借助垂直與平行關系對問題加以解決，此處不再贅述.

三、“圓的思維”在幾何問題中的應用

例3 在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點.定義P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點之間的“直角距離”為d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|.

（1）若點A（-1，3），則d（A，O）=;

（2）已知點B（1，0），點M是直線kx-y+k+3=0（k>0）上的動點，求d（B，M）的最小值.

解析 （1）d（A，O）=4;

（2）圓的定義，不僅為數學學習提供了一個重要的幾何圖形及性質，也為數學學習提供了一個重要思維與研究思路.類比圓的定義，在平面直角坐標系中，探究“到定點的‘直角距離等于定值的點的軌跡”是什么曲線，該曲線有什么規律.

探究活動一：判斷到點B（1，0）的“直角距離”等于1的點的軌跡.曲線方程為|x-1|+|y|=1，根據對稱性，判斷出：曲線是以點B為中心，四個頂點的坐標分別為（0，0），（1，-1），（2，0），（1，1）的正方形，如圖5所示.

探究活動二：判斷到點B（1，0）的“直角距離”等于a（a>0）的點的軌跡.曲線方程為|x-1|+|y|=a，根據對稱性，判斷出：曲線是以點B為中心，四個頂點的坐標分別為（1-a，0），（1，-a），（a+1，0），（1，a）的正方形，其中，四條邊所在直線的斜率分別為±1，且對角線長為2a，如圖6所示.

在判斷出上述曲線的軌跡及變化規律的基礎上，還知道直線kx-y+k+3=0可以整理成y=k（x+1）+3，即：直線經過定點P（-1，3），如圖7所示.隨著到點B的“直角距離”逐漸增大，正方形邊長不斷增大，首次與直線相交時，即為所求.由k>0，要比較直線的斜率k與1的大小關系.

當k≥1時，設直線與x軸的交點為C，則C-1-3 k，0. 由圖可知

dmin（B，M）=d（B，C）=3 k+2;

當0

dmin（B，M）=d（B，D）=2k+3.

綜上，dmin（B，M）=2k+3，0

例題3的思考與解析，得益于對“直角距離”對應的點的軌跡及其規律的分析與判斷.“軌跡法”為幾何問題的解答提供了更高層次的分析與思考，通過幾何直觀和空間想象，認識問題的本質，得到解決問題的正確方法，是數學抽象素養與直觀想象素養的集中體現.