用弗賴登塔爾理論看一道中考壓軸題的“再創造”

胡小明

【摘要】本文用弗賴登塔爾的“再創造”理論去看一道中考題的演變，這是一道2016年的中考題，經過“再創造”又在2018年的中考試卷上出現了.這給我們的教學帶來了深深的思考.

【關鍵詞】再創造;弗賴登塔爾理論;二次函數;壓軸題

弗賴登塔爾的理論可以簡單概括為：現實、數學化、再創造.本文著重用“再創造”理論看問題.“再創造”的核心是數學過程再現.教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作.中考壓軸題一直是眾多中考學生的頭痛之處.很多人進入題海，再從題海上岸后，仍然對壓軸題束手無策.原因在于他們沒有真正做到“知其然，并知其所以然”，從而觸類旁通，實現“再創造”.

試題1 （2016·連云港）如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx經過兩點A（-1，1），B（2，2）.過點B作BC∥x軸，交拋物線于點C，交y軸于點D.

（1）求此拋物線對應的函數表達式及點C的坐標;

（2）若拋物線上存在點M，使得△BCM的面積為7，求出點M的坐標;

（3）連接OA，OB，OC，AC，在坐標平面內，求使得△AOC與△OBN相似（邊OA與邊OB對應）的點N的坐標.

本題是壓軸題，第（1）問考查了二次函數的關系式和點的坐標問題，難度不大;第（2）問則是與二次函數結合的三角形面積問題，難度中上;第（3）問則是與二次函數有關的三角形相似問題，二次函數和相似本來都是初中階段的重難點所在，這兩者又結合在一起，難度自然就很大了，只有很少的學生能夠順利完成，它體現了中考對優秀學生的選拔要求.

試題2 （2018·連云港）如圖2所示，圖形ABCD是由兩個二次函數y1=kx2+m（k<0）與y2=ax2+b（a>0）的部分圖像圍成的封閉圖形.已知A（1，0），B（0，1），D（0，-3）.

（1）直接寫出這兩個二次函數的表達式;

（2）判斷圖形ABCD是否存在內接正方形（正方形的四個頂點均在圖形ABCD上），并說明理由;

（3）如圖3所示，連接BC，CD，AD，在坐標平面內，求使得△BDC與△ADE相似（其中點C與點E是對應頂點）的點E的坐標.

試題1和試題2都是同一地區不同年份的中考壓軸題.那么，試題2是如何由試題1“再創造”而來的呢？筆者將其歸結為以下兩個方面：

1.圖形的“再創造”.試題1是一條拋物線，試題2則是2條拋物線，而且試題2的2條拋物線還組成了近似橢圓的封閉圖形，學生從視覺上易產生害怕情緒.

2.所提問題的“再創造”.都是3個小問題，第（1）問很相近，都是主要考查二次函數關系式的求法;第（2）問則完全不同，試題1的第（2）問是有關三角形的面積問題，試題2的第（2）問則是主要考查了正方形的性質問題;第（3）問都是最難的，但考查的都是三角形相似的存在性問題，考查點和所用方法的核心都是一樣的.

作為教師，最根本的任務是教會學生如何學習.這對我們教師提出了更高的要求，我們先要學會講題，然后再對題目本身進行再創造，從容應對一道題目的各種演變，以保證將學生引上“再創造”的道路上去，讓學生的數學活動更為主動、有效.

【參考文獻】

[1]教育部基礎教育課程教材專家委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.