二次旋轉(zhuǎn)曲面的一種幾何定義

玉素音·艾山

【摘要】本文中給出二次旋轉(zhuǎn)曲面，即長形旋轉(zhuǎn)橢球面，扁形旋轉(zhuǎn)橢球面，單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和旋轉(zhuǎn)拋物面的一種幾何定義.

【關鍵詞】二次曲面;旋轉(zhuǎn)曲面;幾何定義

眾所周知，三種圓錐曲線橢圓，雙曲線和拋物線分別繞自己的對稱軸旋轉(zhuǎn)時分別產(chǎn)生五種不同的二次旋轉(zhuǎn)曲面，它們分別為長形旋轉(zhuǎn)橢球面，扁形旋轉(zhuǎn)橢球面，單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和旋轉(zhuǎn)拋物面.本文將、分別給出它們的一種幾何定義.

一、長形旋轉(zhuǎn)橢球面與扁形旋轉(zhuǎn)橢球面的幾何定義

很顯然在長形旋轉(zhuǎn)橢球面上的任意點到原橢圓的兩焦點的距離之和等于一個常數(shù)，即等于橢圓的長軸長.下面我們考慮如下一個問題，即在空間中到兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于兩定點間的距離）的點的軌跡是否為長形旋轉(zhuǎn)橢球面？

建立空間直角坐標系o-xyz，設有兩個定點F1（c，0，0）和F2（-c，0，0）（c>0），P（x，y，z）是空間中的任意點，那么|PF1|+|PF2|=2a（a是常數(shù)且a>c>0），即

（x-c）2+y2+z2+（x+c）2+y2+z2=2a，

上式乘方整理得

（a2-c2）x2+a2y2+a2z2=a2（a2-c2），

如果令a2-c2=b2（∵a2-c2>0），則b2x2+a2y2+a2z2=a2b2，即x2 a2+y2+z2 b2=1（a>b），這表示長形旋轉(zhuǎn)橢球面.

因此，長形旋轉(zhuǎn)橢球面的定義可以如下給出.

定義1 空間中到兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于兩定點間的距離）的點的軌跡叫作長形旋轉(zhuǎn)橢球面.

下面考慮扁形旋轉(zhuǎn)橢球面.很顯然它上的任意點到原橢圓的兩焦點的距離之和不等于某個常數(shù)，因為橢圓繞短軸旋轉(zhuǎn)時，它的焦點不是固定，而且它的軌跡是以原點為中心，半焦距為半徑的一個圓（C），如果我們用通過短軸的平面π來截扁形旋轉(zhuǎn)橢球面，則它們的交線是一個橢圓Γ，而且它上的任意點到對應的直徑（平面π與圓（C）的交線）的兩個端點的距離之和都等于同一個常數(shù)，即都等于橢圓的長軸長.下面證明一個結(jié)論.

定理1 設（C）是空間中的一個定圓，AB是（C）的任意一條直徑，P是空間中的動點（其中平面πABP垂直于（C）），如果從P點到兩點A與B的距離之和等于一個常數(shù)（大于|AB|），則P點的軌跡是扁形旋轉(zhuǎn)橢球面.

證明 我們建立空間直角坐標系o-xyz，使（C）的方程為

如果令a2-r2=b2（∵a2-r2>0），則b2x2+a2y2+b2z2=a2b2，即x2+z2 a2+y2 b2=1（a>b），這表示扁形旋轉(zhuǎn)橢球面.因此，扁形旋轉(zhuǎn)橢球面的定義可以如下給出.

定義2 空間中到一個定圓的直徑的兩個端點的距離之和等于常數(shù)（大于直徑的長）的點（點與直徑所成的平面垂直于定圓）的軌跡叫作扁形旋轉(zhuǎn)橢球面.

二、單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面與雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的幾何定義

很顯然在雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上的任意點到原雙曲線的兩焦點的距離之差等于一個常數(shù)，即等于雙曲線的實軸長.下面我們考慮如下一個問題，即在空間中到兩個定點的距離之差等于常數(shù)（小于兩定點間的距離）的點的軌跡是否為雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面？

我們建立空間直角坐標系o-xyz，設有兩個定點F1（c，0，0）和F2（-c，0，0）（c>0），P（x，y，z）是空間中的任意點，那么||PF1|-|PF2||=2a（a是常數(shù)且c>a>0），

即（x-c）2+y2+z2-（x+c）2+y2+z2=±2a

上式乘方整理得（c2-a2）x2-a2y2-a2z2=a2（c2-a2），

如果令c2-a2=b2（∵c2-a2>0），則b2x2-a2y2-a2z2=a2b2，即x2 a2-y2+z2 b2=1，這表示雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.因此，雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的定義可以如下給出.

定義3 空間中到兩個定點的距離之差等于常數(shù)（小于兩定點間的距離）的點的軌跡叫作雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.

下面考慮單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，很顯然它上的任意點到原雙曲線的兩焦點的距離之差不等于某個常數(shù)，因為雙曲線繞虛軸旋轉(zhuǎn)時，它的焦點不是固定，而且它的軌跡是以原點為中心，半焦距為半徑的一個圓（C），如果我們用通過虛軸的平面π來截單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，則它們的交線是一個雙曲線Γ，而且它上的任意點到對應的直徑（平面π與圓（C）的交線）的兩個端點的距離之差都等于同一個常數(shù)，即都等于雙曲線的實軸長.下面證明一個結(jié)論.

定理2 設（C）是空間中的一個定圓，AB是（C）的任意一條直徑，P是空間中的動點（其中平面πABP垂直于（C）），如果從P點到兩點A與B的距離之差等于一個常數(shù)（小于|AB|），則P點的軌跡是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.

證明 我們建立空間直角坐標系o-xyz，使（C）的方程為

即（r2-a2）x2-a2y2+（r2-a2）z2=a2（r2-a2），如果令r2-a2=b2 （∵r2-a2>0），則b2x2-a2y2+b2z2=a2b2，即x2+z2 a2-y2 b2=1，這表示單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.因此，單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的定義可以如下給出.

定義4 空間中到一個定圓的直徑的兩個端點的距離之差等于常數(shù)（小于直徑的長）的點（點與直徑所成的平面垂直于定圓）的軌跡叫作單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.

三、旋轉(zhuǎn)拋物面的幾何定義

如果拋物線繞自己的對稱軸旋轉(zhuǎn)，則拋物線的焦點不動（即固定），但是它的準線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個平面，并且這平面垂直于對稱軸，此時旋轉(zhuǎn)拋物面上的任意點到拋物線的焦點與這平面的距離都相等.下面我們考慮如下一個問題，即在空間中到一個定點和一個定平面（定點不在定平面上）的距離相等的點的軌跡是否為旋轉(zhuǎn)拋物面？

設有一個定點F和一個定平面π（Fπ），我們建立空間直角坐標系o-xyz，使Fp 2，0，0，π：x=-p 2（p>0），P（x，y，z）是空間中的任意點，使|PF|=d（P，π），即x-p 22+y2+z2=x+p 2，兩邊乘方整理得y2+z2=2px，這表示旋轉(zhuǎn)拋物面.因此，旋轉(zhuǎn)拋物面的定義可以如下給出.

定義5 空間中到一個定點和一個定平面（定點不在定平面上）的距離相等的點的軌跡叫作旋轉(zhuǎn)拋物面.

于是，最后我們得到了二次旋轉(zhuǎn)曲面，即長形旋轉(zhuǎn)橢球面，扁形旋轉(zhuǎn)橢球面，單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和旋轉(zhuǎn)拋物面的一種幾何定義.

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