初三數學復習備考應強化微專題研究──以“初中數學常見最值問題的解題策略”為例

(江蘇省張家港市南豐中學 215600)

中考既是畢業考試，也是為高一級學校選拔人才的選拔性考試；既重視對學生學習數學知識與技能的過程和結果的考查，也重視對學生在數學思考能力和解決問題能力方面的發展狀況的考查．因此，我們在組織學生進行初三數學復習備考時，一方面要著力于初中三年的數學基礎知識的復習，幫助學生掌握必要的基礎知識和基本技能，特別要注重前后知識的聯系，構建必要的知識體系，形 成知識的網絡；另一方面要加強對一些重點知識、熱點問題、數學思想方法的專題研討，幫助學生熟練掌握必要的數學解題方法，提高分析問題和解決問題的能力．在進行這些專題復習時，為了關注重點、突破難點、提升綜合能力，我們可以圍繞重點內容和關鍵能力開設一些微專題復習課，可以利用具有緊密相關性的數學知識或者方法，也可以結合學生的疑點和易錯點整合的、能讓學生在短時間內專門解決的問題，設置成活而不空、深而不偏的微專題研究，引領學生做一些簡單的學術研究，從而促進學生的深度學習．

最值問題是初中數學中比較常見的問題，這類問題涉及的知識面廣，知識之間的聯系緊密，題型也比較多，靈活性較強．解決這類問題的能力要求較高，學生比較懼怕，但是這類問題往往是中考命題的熱點也是難點.因此，在初三復習備考時，我們有必要對最值問題進行一些微專題研究，幫助學生正確認識最值問題，掌握解決最值問題的方法，積累解題經驗，提高解決綜合性問題的能力．下面筆者就以“初中數學中常見的最值問題的解題策略”為例，談一談微專題研究的實踐與思考．

1 設置“兩點之間線段最短”為載體的最值問題，熟悉解題思路，掌握解題方法

最值問題大都歸結為幾何模型和函數模型．幾何模型的問題常常與一些基本事實、基本圖形、幾何定理和法則等知識相聯系，題型多樣、靈活多變．微專題復習作為大專題復習的補充，常常是積少成多、積小成大，能對大專題的自然生成起到一定的引領作用；大專題的落實需要有針對的、有效的微專題進行滲透與強化．因此，在最值問題的微專題研究中，我們首先設置了以“兩點之間線段最短” 為載體的三個不同的最值問題，利用不同的幾何變換將它們轉化為相同的幾何問題，利用“兩點之間線段最短”確定相應的最值．通過這樣的數學探究活動，幫助學生熟悉解題思路，掌握解題方法，為后續最值問題的研究做好鋪墊．

圖1

例1如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E是AD上的一點，AE=2．點P，Q分別是AB，BC上的動點，連結PE，將△APE沿PE翻折得到△FPE，連結FQ，QD，則FQ+QD的最小值為．

簡析作點D關于直線BC的對稱點D′，連結QD′，ED′，則QD=QD′．很明顯，當點E，F，Q，D′四點在一直線上時，EF+FQ+QD′的值最小．由于EF=AE=2，QD=QD′，因此只需求FQ+QD的最小值．在Rt△EDD′中，根據勾股定理可得ED′=10，故FQ+QD的最小值是8．

說明利用對稱變換將FQ+QD轉化FQ+QD′，這是解決幾何最值問題最常見的方法，我們必須熟練掌握并能應用自如．在本題中需要注意的是點F不是一個定點，因此，在求解過程中必須將EF+FQ+QD′看作一個整體．

圖2

例2如圖2，點P是邊長為2的正方形ABCD內的一點，則PA+PB+PC的最小值為．

說明旋轉是圖形的一種基本變換.通過圖形的旋轉變換，能將一些簡單的平面圖形按要求旋轉到適當的位置，并且保持對應“元素”的大小不變，使問題獲得簡單的解決．本例中，問題解決的關鍵是△BPC繞點C按逆時針旋轉60°至△B′P′C后，我們將同一點出發的三條線段PA，PB，PC轉化為了首尾相接的折線A-P-P′-B′，并且滿足AP+PP′+P′B′=PA+PB+PC．這里的旋轉角60°很關鍵.這樣的解題方法很重要，我們應當予以重視．

圖3

說明這是我們以前沒有見過的題型，聯想前面解決過的問題，還是考慮進行轉化．由OP∶OB=2∶3，將解題思路往構造相似三角形的方向上引導．這樣的數學探究活動值得我們好好深入思考，這樣才能積累經驗，生成智慧．

2 設置“三角形三邊關系”為載體的最值問題，理清解題思路，鞏固解題方法

有些以“兩點之間線段最短”為載體的最值問題，只需要利用“三角形三邊關系”就可以確定其結果．這類問題有以下兩種類型：(1)問題中已知兩個定點和一個動點構成“三角形三邊關系”形成的最值；(2)需要根據問題背景構造一個以“三角形三邊關系”求解的最值．在微專題研究中，內容的選擇既要注重解決學生學習中的“困惑點”“疑難點”，不能過易也不宜過難，知識和方法不能一蹴而就，要把握好度；又要讓學生在課堂上及時鞏固所學知識，熟練掌握解題方法，全面提升復習的效果．

圖4

例4如圖4，在等邊三角形ABC中，AB=4，D是AB的中點，點E是BC上的一個動點，連結DE，將△BDE沿DE翻折得到△B′DE，連結B′C，則DB′+B′C的最小值為．

圖5

簡析取AD的中點E，連結OE，BE，則OE=1，BE=2，并且在整個運動過程中，它們的長度始終保持不變．因為OB≤OE+EB，故OB的最大值為3．

說明利用“三角形三邊關系”解決的最值問題往往難度并不是很大，圖形也相對比較簡潔，學生比較容易接受，掌握得比較好．設置這樣的兩個問題，除了讓學生進一步理清解題思路，鞏固解題方法外，更重要的是激發學生學習的積極性，促使學生在課堂教學中能主動參與、樂于探究，增強學習的信心和動力．

3 設置“點到直線距離最短”為載體的最值問題，拓寬解題思路，拓展解題方法

在幾何模型的最值問題中還有一類問題是以“點到直線距離最短”為載體來設計的，這類問題的難度不會很大，但題型比較新穎，往往會與圖形的運動、翻折、相似三角形等知識相結合，其解題方法與前面兩類問題的解法不盡相同.因此，在微專題研究中應當重視這類問題，讓學生在研究過程中進一步拓寬解決最值問題的思路，拓展和優化解題方法．

圖6

例6如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，P是AC邊的中點，將一個足夠大小的直角三角板的直角頂點放在點P處，將直角三角板饒點P旋轉，在旋轉的過程中，直角三角板的兩直角邊分別與線段AB交于點M，N，則MN的最小值為．

圖7

例7如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是．

說明以上兩例分別是以圖形的旋轉、翻折為背景的最值問題，解題的關鍵是分析題意，找到變化的量、不變的量以及它們之間的聯系，利用幾何圖形的特殊位置確定變量的最值，對學生的讀圖、識圖、構圖的能力有較高的要求．在教學活動中，教師要積極引導學生先獨立思考、自主探索，再小組合作、交流補充，最后教師點評、完善解答過程，使微專題研究過程充分且有效，讓每一位學生都有收獲．

4 設置“與圓的相關知識”為載體的最值問題，強化方法應用，積累解題經驗

應用微專題復習可以促進學生的深度學習，從而有利于學生加深對所學知識的理解，強化前后知識的聯系，形成清晰的數學知識的網絡，獲得系統的數學研究方法，提高自身的數學素養．為此，這里設置了兩道“與圓的相關知識”為載體的最值問題，讓學生在新的幾何圖形背景下 應用已經掌握的解題方法解決新的最值問題，感悟問題 本質，積累解題經驗，切實提高分析問題和解決問題的能力．

圖8

例8如圖8，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則CP的最小值為．

簡析由∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，可得∠APB=90°．取AB的中點O，則OP=OA=OB，那么點P在以AB為直徑的⊙O上，連結OC交⊙O于點P，此時PC最小．在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，根據勾股定理可得OC=5，從而PC=OC-OP=2．故PC的最小值為2．

圖9

例9如圖9，AC=1，∠BAC=60°，弧BC所對的圓心角為60°，AC⊥BC．若點P，E，F分別是弧BC，AB，AC上的動點，則PE+EF+FP的最小值為．

簡析作點P關于AB，AC的對稱點P′，P″，連結P′E，P″F，P′P″，AP，則PE=P′E，FP=FP″，所以PE+EF+FP=P′E+EF+FP″，因此當點P′，E，F，P″在一直線上時，PE+EF+FP最小．

說明解決例8的關鍵是確定動點P的運動路徑；巧妙構造圓，將圓外點與圓上點的線段的最值問題轉化為圓中直徑最長．在例9的求解過程中，有值得回味的三次轉化：一是將△PEF的周長轉化為線段P′P″的長；二是將線段P′P″的長轉化為AP的長；三是將AP的長轉化為AO-OP的長．通過這類問題的研究，旨在提高學生對圓中知識的綜合運用能力，以及掌握動態問題靜態化處理的解題策略．

5 設置“利用函數思想”解決的最值問題，培養發散思維，完善思維品質

函數最值問題遍及初中數學各個知識的方方面面，同時在我們現實生活中也有著廣泛的應用，是初中數學的重要內容之一．這里要研究的是利用函數思想解決一些平面幾何中的最值問題，通過設置變量—建立函數—求解最值—解決問題的過程，將幾何問題轉化為函數問題，讓學生進一步認識函數知識的重要性，培養學生的發散思維，完善學生的思維品質．

圖10

例10如圖10，已知AB=8，P為線段AB上的一個動點，分別以AP，PB為邊在AB的同側作菱形APCD和菱形PBFE，點P，C，E在一直線上，∠DAP=60°，M，N分別是對角線AC，BE的中點．當點P在線段AB上移動時，點M，N之間的距離最短為．(結果保留根號)

圖11

例11如圖11，在等邊△ABC中，AB=4，點P是BC邊上的動點，點P關于直線AB，AC的對稱點分別為M，N，則線段MN長的取值范圍是．

說明利用函數思想求解幾何最值問題，其優點是通過引入變量后，相關的幾何推理就轉化成了代數運算，應用函數表達式(或圖象)就可以確定相關的最值，學生易于接受、掌握．

蘇霍姆林斯基說：“學習如果具有思想、感情、創造、美和游戲的鮮艷色彩，那它就能成為孩子們深感興趣和富有吸引力的事情．”在初三數學復習備考時，滲透一點微專題研究需要教師深度的學習、深入的研究、精心的規劃、合理的安排．通過微專題研究，達到查找漏點、掃清盲點、厘清疑點的目的，促進學生的深度學習，掌握必要的解題方法，切實提高復習備考的實效，讓初三復習備考成為師生塑造人生、共同進步的難忘時刻．