中美高中“基本初等函數(shù)”內(nèi)容比較研究
——以Franklin D. Demana版與人教社2019版教材為例

葉立軍 (杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教師教育學(xué)院 311121)

鄭淑雪 (杭州師范大學(xué)理學(xué)院 311121)

1 問題提出

教材是教學(xué)活動(dòng)的主要載體，反應(yīng)課程理念與目標(biāo)．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《課標(biāo)》)指出“函數(shù)”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用，是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線．[1]本文選取高中函數(shù)的核心內(nèi)容之一“基本初等函數(shù)”，從宏觀和微觀的角度對(duì)中美兩版教材進(jìn)行定性、定量的比較分析，為我國的教材修訂和教師教學(xué)提供一些參考．

2 研究對(duì)象

“基本初等函數(shù)”內(nèi)容分別選自我國2019年人民教育出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書A版(下稱“人教社2019版”)和美國Franklin D. Demana版的Precalculus Graphical, Numerical, Algebraic(8th edition)(下稱“美國Franklin D. Demana版”)．

3 宏觀比較

3.1 背景信息比較

將兩版教材中基本初等函數(shù)內(nèi)容按背景信息進(jìn)行比較[1]，得到表1．

由表1，兩版教材均把基本初等函數(shù)內(nèi)容放在第一冊(cè)的兩章中，認(rèn)為基本初等函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容．美國Franklin D. Demana版篇幅約為人教社2019版篇幅的2倍,且我國課程標(biāo)準(zhǔn)重視該部分?jǐn)?shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的發(fā)展．

表1 基本初等函數(shù)背景信息比較

3.2 知識(shí)編排比較

選取兩版教材中基本初等函數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行整體比較，得到表2．

表2 兩國教材編排方式比較表

續(xù)表

由表1，在編排順序上，兩版教材均為冪函數(shù)→指數(shù)函數(shù)→對(duì)數(shù)函數(shù)的編寫順序，思路清晰，層層遞進(jìn)．人教社2019版在冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)兩小節(jié)之后均設(shè)計(jì)了函數(shù)應(yīng)用部分．美國Franklin D. Demana版教材將應(yīng)用內(nèi)容放在最后方程與建模小節(jié)．在知識(shí)內(nèi)容上，美國Franklin D. Demana版教材在冪函數(shù)前加入了十二種基礎(chǔ)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等內(nèi)容，涉及知識(shí)內(nèi)容較多．

3.3 欄目分布比較

對(duì)兩版教材中欄目分布概括，得到圖1和圖2所示的框架．

圖1 人教社2019版

圖2 美國Franklin D.Demana版

由圖1、2，章頭內(nèi)容設(shè)計(jì)不同．人教社為生活背景，而美國Franklin D.Demana版設(shè)置What you will learn about…and why的環(huán)節(jié)(圖3)，明確地給出本章節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)與學(xué)習(xí)必要性．

圖3 美國Franklin D. 圖4 美國Franklin D. Demana版學(xué)習(xí)目標(biāo) Demana版資料卡

在旁白設(shè)置上，人教社2019版教材的思考環(huán)節(jié)設(shè)置在正文下，是內(nèi)容的補(bǔ)充．而美國Franklin D.Demana版的思考環(huán)節(jié)設(shè)置在探究活動(dòng)之后，用于對(duì)探究活動(dòng)和知識(shí)點(diǎn)整體掌握情況的反思．

4 微觀比較

4.1 知識(shí)呈現(xiàn)方式比較

高中的基本初等函數(shù)部分中指數(shù)函數(shù)是較為重要的內(nèi)容，故將“指數(shù)概念的引入”和“指數(shù)性質(zhì)的導(dǎo)出”兩部分從知識(shí)呈現(xiàn)方式、知識(shí)背景、例習(xí)題難度[3]的維度進(jìn)行比較分析．

表3 兩版教材“指數(shù)概念引入”知識(shí)呈現(xiàn)方式比較表

注：括號(hào)中為習(xí)題數(shù)．

由表3，在知識(shí)導(dǎo)入與體驗(yàn)上，人教社2019版回顧舊知導(dǎo)入，構(gòu)建生活與科學(xué)情境間接得到指數(shù)的定義．美國FranklinD.Demana版則通過比較自變量的不同位置直接得出定義，區(qū)分冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)．

在知識(shí)講解與應(yīng)用上，人教社2019版由淺入深，從兩個(gè)案例抽象出指數(shù)函數(shù)概念，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算與抽象的練習(xí)進(jìn)行鞏固．美國FranklinD.Demana版只進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算訓(xùn)練．

在知識(shí)拓展上，美國FranklinD.Demana版運(yùn)用信息技術(shù)中的算法編程，估算自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e的大小．

表4 兩版教材“指數(shù)性質(zhì)導(dǎo)出”知識(shí)呈現(xiàn)方式比較表

由表4，在知識(shí)導(dǎo)入與體驗(yàn)上，人教社2019版通過圖象表征導(dǎo)入、體驗(yàn)性質(zhì)．美國FranklinD.Demana版計(jì)算函數(shù)值，歸納數(shù)值特點(diǎn)體驗(yàn)性質(zhì)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)字敏感度和數(shù)據(jù)分析能力．在知識(shí)拓展上，人教社2019版用幾何畫板驗(yàn)證指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，借助信息技術(shù)使函數(shù)性質(zhì)更加直觀．美國FranklinD.Demana版給出人口數(shù)據(jù)說明，拓寬學(xué)生視野．

此外，兩版教材在問題情境構(gòu)建上有較大差異．

表5 兩版教材“指數(shù)概念引入”“指數(shù)性質(zhì)導(dǎo)出”問題情境比較表

人教社2019版設(shè)置情境如游客數(shù)預(yù)測(cè)等，已將其抽象成數(shù)學(xué)問題且數(shù)據(jù)較理想化．而美國FranklinD.Demana版情境數(shù)較多，運(yùn)用大量的現(xiàn)實(shí)素材，注重情境的真實(shí)性、可信性與趣味性，同時(shí)運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析與預(yù)測(cè)．美國FranklinD.Demana版設(shè)置了校園謠言的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的趣味性與生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象．真實(shí)的數(shù)學(xué)情境會(huì)使問題更具有復(fù)雜性，考查綜合能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的全面發(fā)展．

4.2 知識(shí)背景比較

將“指數(shù)概念的引入”和“指數(shù)性質(zhì)的導(dǎo)出”兩部分涉及背景分成生活背景、文化背景、科學(xué)背景、數(shù)學(xué)背景四個(gè)方面進(jìn)行比較，得到圖5．

圖5 知識(shí)背景比較

由圖5，兩版教材的知識(shí)背景分布總體差異不大，數(shù)學(xué)背景占比最高，科學(xué)占比均為4%，且兩版教材知識(shí)點(diǎn)中較少涉及到文化背景．人教社2019版教材生活背景占比較少，更多的是數(shù)學(xué)背景，人教社2019版傾向于在數(shù)學(xué)抽象中的運(yùn)用，把基本初等函數(shù)作為工具解決其他數(shù)學(xué)問題．而美國FranklinD.Demana版生活背景占比近四分之一，傾向于基本初等函數(shù)在生活中的運(yùn)用．

4.3 例習(xí)題綜合難度比較

人教社2019版將習(xí)題分為復(fù)習(xí)鞏固、綜合應(yīng)用、拓廣探索三部分．美國FranklinD.Demana版習(xí)題分為兩大部分：復(fù)習(xí)鞏固與拓展提高．其中在每個(gè)知識(shí)點(diǎn)后均有對(duì)應(yīng)復(fù)習(xí)鞏固部分習(xí)題的索引，以達(dá)到及時(shí)鞏固的目的(圖6)．

圖6 復(fù)習(xí)鞏固習(xí)題的索引

根據(jù)鮑建生教授建立的綜合難度模型[4]，對(duì)兩版教材中“指數(shù)概念的引入”和“指數(shù)性質(zhì)的導(dǎo)出”兩部分的例題與課后習(xí)題進(jìn)行綜合難度分析．其中，美國FranklinD.Demana版練習(xí)量為95題,遠(yuǎn)大于人教社2019版的40題(圖7)．

圖7 兩版教材例習(xí)題綜合難度比較圖

在數(shù)學(xué)認(rèn)知、知識(shí)綜合、運(yùn)算方面，人教社2019版領(lǐng)會(huì)和探究?jī)蓚€(gè)層次數(shù)值較高，“多個(gè)知識(shí)點(diǎn)”層面與簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算占比較多．而美國FranklinD.Demana版操作題與“兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)”層面占比較多，且多為數(shù)值運(yùn)算，注重基礎(chǔ)鞏固，對(duì)綜合應(yīng)用的要求較低．在推理因素上，人教社2019版復(fù)雜推理稍多，美國FranklinD.Demana版多為簡(jiǎn)單推理．在背景方面，人教社2019版無背景占比較高，美國FranklinD.Demana版生活背景較多，重視數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的能力．

在綜合難度上，人教社2019版數(shù)學(xué)認(rèn)知層面難度較高，美國FranklinD.Demana版更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)運(yùn)算．為進(jìn)一步分析數(shù)學(xué)運(yùn)算的例習(xí)題，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算習(xí)題類型的個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．

表6 兩版教材運(yùn)算題類型個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)

由表6，美國FranklinD.Demana版在運(yùn)算題類型上較多，旨在培養(yǎng)學(xué)生在面對(duì)不同運(yùn)算題時(shí)，能夠高效地、有效地選擇合適算法的能力．同時(shí)，美國FranklinD.Demana版在運(yùn)算例題旁附有代碼運(yùn)算結(jié)果，把算法訓(xùn)練與信息技術(shù)結(jié)合起來．

5 幾點(diǎn)啟示

5.1 合理設(shè)置反思欄目，有效促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

美國FranklinD.Demana版在探究活動(dòng)之后設(shè)置反思欄目，強(qiáng)調(diào)在基本活動(dòng)后對(duì)探究?jī)?nèi)容、行為、運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想等進(jìn)行自我反思．反思是深度學(xué)習(xí)中重要的一環(huán)，是對(duì)知識(shí)內(nèi)容理解程度的自我評(píng)價(jià)．因此，適當(dāng)設(shè)置反思欄目，構(gòu)建數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的反思支架，引導(dǎo)學(xué)生積極思考已學(xué)知識(shí)，梳理學(xué)習(xí)策略，自我評(píng)估掌握知識(shí)情況，有效促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)．

5.2 合理運(yùn)用信息技術(shù)，有效發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算不是機(jī)械的程序化操作，應(yīng)當(dāng)對(duì)運(yùn)算的正確性、敏捷性以及算法的有效性和高效性都要有所要求[5]．美國FranklinD.Demana版教材習(xí)題中數(shù)學(xué)運(yùn)算題類型多，并將數(shù)學(xué)運(yùn)算與信息技術(shù)相結(jié)合．《課標(biāo)》提出在基本初等函數(shù)部分發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算．適當(dāng)增加運(yùn)算題的類型，將數(shù)學(xué)算法與信息技術(shù)結(jié)合，合理運(yùn)用信息技術(shù)加深數(shù)學(xué)算法的理解．注重培養(yǎng)在面對(duì)不同題型時(shí)，快速選擇合適算法的能力，拓寬解題思路，有效發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

5.3 注重知識(shí)多元化表征，滿足個(gè)性化發(fā)展需要

人教社2019版由圖象與符號(hào)表征直觀地理解、體驗(yàn)核心知識(shí)，建立函數(shù)與圖象之間的聯(lián)系．美國FranklinD.Demana版由圖象表征和數(shù)值特點(diǎn)理解知識(shí)，并利用索引聯(lián)結(jié)習(xí)題．知識(shí)的表征是信息在大腦中的構(gòu)建與再認(rèn)的過程．對(duì)同一核心內(nèi)容給出多元化的知識(shí)表征，滿足學(xué)生思維多樣性需求，促進(jìn)個(gè)性化發(fā)展，提高學(xué)生的主動(dòng)性與創(chuàng)造力．[6]且通過核心內(nèi)容不同外在表征之間的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生優(yōu)化函數(shù)內(nèi)容的理解．