問題引領(lǐng)、追求本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育落地
——以“圓錐曲線的離心率問題”專題復(fù)習(xí)為例

(湖南省株洲市淥口區(qū)第五中學(xué) 412100)

1 背景與現(xiàn)狀

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).在提出核心素養(yǎng)的總體框架和基本內(nèi)涵后，高考正在實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變，不僅強(qiáng)調(diào)知識(shí)與智力，更強(qiáng)調(diào)知識(shí)的遷移、從問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題、從問題情境中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型.而現(xiàn)實(shí)的問題是，課標(biāo)雖然對(duì)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作了描述與水平劃分，但要把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育滲透到教學(xué)中，特別是在高三的高考復(fù)習(xí)課堂中落地，是一個(gè)比較難以把握的問題.很多教師的復(fù)習(xí)依然延續(xù)著重復(fù)無效的訓(xùn)練，只有數(shù)學(xué)題而無數(shù)學(xué)思想方法的滲透，只有表象而無數(shù)學(xué)本質(zhì).基于此，本文擬以“圓錐曲線的離心率問題”專題復(fù)習(xí)為例，通過數(shù)學(xué)問題來探討如何在課堂教學(xué)中讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育落地.

2 “圓錐曲線的離心率問題”專題復(fù)習(xí)教學(xué)案例片段

·環(huán)節(jié)1 問題引領(lǐng)，抽象數(shù)學(xué)解題模型

上課伊始，教師給出以下兩個(gè)問題讓學(xué)生嘗試解決(10分鐘內(nèi)完成).

生1：對(duì)于問題1，我的解題思路是：由雙曲線性質(zhì)得到PF2=b，PO=a，然后在Rt△POF2和△PF1F2中利用余弦定理可得.

圖1

師：很好，生1利用問題中的條件列出關(guān)于a和c的關(guān)系式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于a和c的齊次式，求出離心率e.

追問1 為什么PF2=b？

師：對(duì)，這個(gè)過程展示得很好，以后同學(xué)們可以把它作為一個(gè)結(jié)論.

追問2 通過這個(gè)問題的解決，你有什么體會(huì)？

生1：求圓錐曲線的離心率的值，主要是利用條件列出關(guān)于a和c的方程，求出a和c或者轉(zhuǎn)化為a和c的齊次式.

師：不錯(cuò)，剛才生1實(shí)質(zhì)是抽象出了解決圓錐曲線離心率的基本思路.希望同學(xué)們能用心體會(huì)，同時(shí)要注意運(yùn)算過程的選擇性與準(zhǔn)確性.

生2：對(duì)于問題2，我的想法是先利用橢圓、雙曲線的定義求出PF1與PF2，再利用條件列出關(guān)于a和c的齊次式.

師：根據(jù)剛才生1和生2的解題過程,我們可以得出求圓錐曲線離心率的基本模型——利用條件與圓錐曲線的定義、性質(zhì)等構(gòu)造關(guān)于a,c的關(guān)系式，要么求出a,c，要么轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式形式.

設(shè)計(jì)意圖通過環(huán)節(jié)1的兩個(gè)問題，讓學(xué)生掌握求圓錐曲線離心率的值的常用策略：利用條件列出關(guān)于a,c的方程，求出a,c，或者根據(jù)條件得到關(guān)于a,c的齊次式，即可得e.這個(gè)過程其實(shí)質(zhì)上是從問題中抽象出求解圓錐曲線離心率的模型，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中潛移默化地得以落地.

·環(huán)節(jié)2 問題拓展，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在解決上面兩個(gè)問題并歸納方法的基礎(chǔ)上，教師給出下面三個(gè)問題讓學(xué)生解決(15分鐘內(nèi)完成).

A.(1,2] B.(1,2)

C.[2,+∞) D.(2,+∞)

對(duì)問題3，生3給出了如下解答.

師：非常漂亮，構(gòu)造出不等式，通過解不等式求出離心率的取值范圍.

追問3 不等式0≤x2≤a2是如何構(gòu)造出來的？

對(duì)問題4,生4給出如下解答.

師：你這個(gè)解法怎么得來？

圖2

師：同學(xué)們，生4在講解如何求圓錐曲線離心率的取值范圍時(shí)設(shè)計(jì)了兩種方法，一種是利用判別式構(gòu)造不等式，一種是利用數(shù)形結(jié)合構(gòu)造不等式.其中的數(shù)形結(jié)合方法滲透著直觀想象，可使建立不等關(guān)系問題迎刃而解.

生5：?jiǎn)栴}5可以這么解——

師：生5是如何求離心率的取值范圍的？

師：太優(yōu)秀了，能夠從不同角度去思考問題，得出不同的方法.從上面問題的解決過程，我們想一想，求解圓錐曲線離心率的取值范圍可以從哪幾個(gè)角度去思考？

生8：我認(rèn)為，求圓錐曲線離心率的取值范圍主要是構(gòu)造關(guān)于a,c的不等式，主要的構(gòu)造思路有： ①利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)；②數(shù)形結(jié)合；③基本不等式；④判別式；⑤構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.

師：是啊，求圓錐曲線離心率的取值范圍看起來比較難，但是只要抓住問題的本質(zhì)，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造不等式就能得到完美的解決.

設(shè)計(jì)意圖求圓錐曲線離心率的取值范圍既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，通過問題3～5，讓學(xué)生抽取出求解圓錐曲線離心率取值范圍的基本思路，積累經(jīng)驗(yàn)，并通過不斷的追問，引導(dǎo)學(xué)生思考如何構(gòu)造不等式.同時(shí)，在問題的解決過程中滲透了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育.

·環(huán)節(jié)3 歸納總結(jié)，追求數(shù)學(xué)本質(zhì)

師：縱觀近幾年的高考試題，圓錐曲線離心率問題是熱點(diǎn)之一.這一節(jié)課我們探討了圓錐曲線離心率問題的求解策略，下面對(duì)這一節(jié)課進(jìn)行梳理總結(jié).

(1)求離心率的方法.求圓錐曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系(只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可)，方法通常有兩個(gè)方向：

①利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形(曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形)，那么可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與a有關(guān)，另一條邊為焦距，從而可求解；

②利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果從題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用a,b,c進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解.

(2)離心率的范圍問題.在尋找不等關(guān)系時(shí)通常可從以下幾個(gè)方面考慮：

①題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求.如果問題圍繞著“曲線上存在一點(diǎn)”，則可考慮將該點(diǎn)坐標(biāo)用a,b,c表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口;

②若題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮將離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可;

③通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于a,b,c的不等式，進(jìn)而解出離心率.

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要通過做題去實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)，但“人的生命是有限的，數(shù)學(xué)題是無限的，不能把有限的生命投入到無限的做題中去”.因此,通過數(shù)學(xué)題這個(gè)現(xiàn)象抓住數(shù)學(xué)思想方法這個(gè)本質(zhì)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重.

·環(huán)節(jié)4 專題演練，舉一反三(略)

3 教學(xué)反思

這個(gè)教學(xué)案例從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，循序漸進(jìn)，在問題中培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，比較好地體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)的特征.

(1)精心設(shè)置教學(xué)過程

作為高考專題復(fù)習(xí)課，針對(duì)學(xué)情與考情，這個(gè)教學(xué)案例教學(xué)目標(biāo)的定位是非常恰當(dāng)?shù)?通過環(huán)節(jié)1與環(huán)節(jié)2引導(dǎo)學(xué)生探究解決圓錐曲線離心率問題的思路：構(gòu)造關(guān)于a,c的等式或不等式，重點(diǎn)解決了從哪幾個(gè)方面來構(gòu)造等式或不等式的問題，積累了處理圓錐曲線離心率問題的解題經(jīng)驗(yàn)及認(rèn)知結(jié)構(gòu).更重要的是，本教學(xué)案例設(shè)計(jì)不僅符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更符合學(xué)生的心理化結(jié)構(gòu). 環(huán)節(jié)1是處理求解e值的問題，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)處理圓錐曲線離心率的方法主要是依據(jù)條件列出關(guān)于a,c的方程，解出a與c或得出關(guān)于a,c的齊次式；環(huán)節(jié)2在環(huán)節(jié)1的基礎(chǔ)上拓展學(xué)生思維，進(jìn)一步研究解決e的取值范圍(最值)問題.在這其中，環(huán)節(jié)1是環(huán)節(jié)2的基礎(chǔ)，環(huán)節(jié)2是環(huán)節(jié)1的延伸.環(huán)節(jié)3對(duì)問題解決進(jìn)行歸納總結(jié)，知識(shí)方法得以升華；環(huán)節(jié)4是學(xué)生練習(xí)，讓學(xué)生熟能生巧，固化這類問題的解題方法.整節(jié)課層層推進(jìn).

(2)核心素養(yǎng)悄然落地

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.本教學(xué)案例注重問題引領(lǐng)，在問題中充分暴露學(xué)生的思維過程，在環(huán)環(huán)相扣中揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與方法體系，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).環(huán)節(jié)1的兩個(gè)問題滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；環(huán)節(jié)2的三個(gè)問題不僅滲透了以上三種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，更滲透了邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育都不是“空對(duì)空”，不是教師強(qiáng)加給學(xué)生的，而是在學(xué)生的演練、質(zhì)疑、討論中潛移默化，潤(rùn)物細(xì)無聲地落在問題中，落在課堂中，落在學(xué)生的思維中.同時(shí)，這一過程讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)成功的快樂，著力培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性、變通性、深刻性、發(fā)散性等多種思維品質(zhì).

(3)兩個(gè)值得關(guān)注的問題

首先，關(guān)于讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育落地的課堂，一個(gè)比較難以把握的問題是：如何判斷、評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)和水平，這是一個(gè)需要長(zhǎng)期探討問題，需要在課堂教學(xué)中不斷去實(shí)踐，不可能一蹴而就.其次，課標(biāo)指出：“要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)各要素的不同特征及要求，更要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合性與整體性.”因此，我們的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)不能人為地將各核心素養(yǎng)割裂，要激發(fā)學(xué)生的興趣、激活學(xué)生的思維，全方位培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).