從2019年山東高考數學模擬卷談立體幾何教學

任曉松 (江蘇省蘇州市吳江區教育局教研室 215200)

2019年11月30日，山東省教育招生考試院組織山東夏季高考和等級考模擬考(下稱“模擬卷”)，對素養導向命題進行了嘗試和探索，此次命題從題型到內容都體現出了一個“新”字．

立體幾何是高中數學課程的主線“幾何與代數”中的重要內容，其教學重點在于幫助學生逐步形成空間觀念，并用準確的語言表達和證明相關的立體幾何命題，以此促使學生提升核心素養．立體幾何是考查學生學科核心素養的一個重要內容與載體，此次模擬卷在單項選擇題、多項選擇題、填空題、解答題中各考查1題，題型做到全覆蓋，分值總計27分．

面臨新高考方案的實施，為更好地把握立體幾何教學的要求，研究好模擬卷中立體幾何相關的試題，無疑對立體幾何的教學有一定的指向作用．

1 模擬卷試題的相關課標要求、解答分析及反思

課標要求知道棱錐的體積計算公式，能用公式解決簡單的實際問題．

題2(模擬卷第11題)如圖1,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點，則( ).

A.直線D1D與直線AF垂直

B.直線A1G與平面AEF平行

D.點C與點G到平面AEF的距離相等

課標要求認識和理解空間點、直線、平面的位置關系，用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，并對某些結論進行論證．

題3(模擬卷第16題)半徑為2的球面上有A,B,C,D四點，且AB,AC,AD兩兩垂直，則△ABC,△ACD與△ADB面積之和的最大值為．

課標要求能夠通過直觀圖理解空間圖形，掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，解決簡單實際問題．

反思本題若不用構造，很難有有效的處理方式，而構造正反映了教師在平時教學中注重對學生思維的引導，注重對學生探究能力的培養．構造的關鍵在于找關聯，三個三角形的面積與三條線段長之間，顯然存在直接的關聯，但三條線段長與球半徑之間的聯系，則在于能否發現以點A為頂點，AB,AC,AD為棱構造的長方體，而該長方體為球的內接長方體，構造極具對稱美．發現從某種意義上說就是學生的直覺，只有加強培養學生的問題意識，注重學生探究活動的開展，才能讓學生有良好的空間感．

圖2

題4(模擬卷第19題)如圖2，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形．SA⊥平面ABCD，E,F分別為AD,SC的中點，EF與平面ABCD所成的角為45°．

(1)證明：EF為異面直線AD與SC的公垂線；

課標要求認識和理解空間點、直線、平面的位置關系，運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認知和探索空間圖形的性質，能用向量方法解決簡單夾角問題．

反思第(1)題重點考查了學生的概念理解和應用情況，轉換條件“EF與平面ABCD所成的角為45°”，考慮直線與平面所成角的概念可知，應找到過點F向平面ABCD所引的垂線，作垂線還是找垂線，哪個更合理，這個選擇取決于學生對于條件的分析和判斷及對空間圖形的感知．證“EF為異面直線AD與SC的公垂線”即是對概念公垂線的應用，一方面要證EF⊥SC，EF⊥AD，那么這個思路又應用前面所講的，把空間圖形問題轉化為平面圖形問題來解決，即從平面ADF、平面SCE中尋找條件證明垂直關系．另一方面，要說明EF與直線AD,SC分別相交，雖然是顯然的，但這是必要的，也是邏輯完整性的體現．

2 立體幾何教學思考與建議

(1)實施主題教學，提升數學素養

課程標準指出，要整體性把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展．[1]將立體幾何初步和空間向量形成一個主題，正是基于教材設計和相互關聯，充分考慮教材的整體結構．從教材編排來看，根據課程標準要求，立體幾何初步教學中判定定理只要求直觀感知、操作確認，在選擇性必修課程中用向量方法對這些定理加以論證．這樣的教材處理方式正是基于學生的認知水平，原有教材中立體幾何體系推導判定定理，固然是具有邏輯性強的優點，但證明過程的抽象化將會讓學生產生畏懼情緒，反而不利于學生進一步學習．用向量方法對這些定理加以論證，一方面體現了系統的完整性和嚴密性，另一方面也體現了兩者密切的關系，將立體幾何初步和空間向量進行系統的考慮，有利于有目的、有步驟、階段性地提高學生處理空間問題的能力．課程標準要求立體幾何教學應以長方體為載體，認識和理解空間點、直線、平面的位置關系．以長方體為載體研究空間問題，是立體幾何初步和空間向量形成主題的最佳媒介，既便于學生接受，又融合溝通二者．模擬卷中，試題第11題就是以正方體為載體研究位置關系及相關計算的，其余第5、第16和第19題以長方體的部分(即該空間圖形可補形為長方體)為載體．此外，在處理立體幾何問題的過程中，對于命題的證明、空間角的應用和計算，立體幾何初步和空間向量會有兩種不同的思路．把兩者形成一個主題來進行教學，有利于學生在處理空間問題中思維的多樣化，提高學生判斷、分析、解決問題的能力，強化學生優化意識，從而提高學生的數學素養．

(2)引導概念生成，強化邏輯分析

模擬卷第19題考查異面直線的公垂線概念，和以往的試題考查平行和垂直關系有所不同．2018北京數學高考卷第16題第三問，要求證明直線與平面有交點，和模擬卷的命題思路相仿，可見命題更注重考查數學本質，甄別學生素養的導向．立體幾何初步的基礎是歐氏幾何，而歐氏幾何正是在公設的基礎上研究圖形的性質，推導出一系列定理并組成演繹體系的．概念和定理，是歐氏幾何構成的重要支點，立體幾何的教學和復習一定要重視對概念的理解和應用，創設情境，讓問題引導概念的生成是學生理解概念的首要環節．以二面角的平面角概念生成為例，第一步讓學生折矩形紙片，形成90°, 60°, 120°的形狀，讓學生有二面角的直觀印象；第二步，讓學生思考如何確保所折矩形紙片的角度為90°或60°，學生會自覺度量矩形與折痕垂直的那一邊被折成角的度數(學生的折痕普遍和某邊垂直)；第三步，把紙撕成不規則的形狀，讓學生思考如何來折紙確保所折紙片的度數？學生通過實物操作，將不規則紙片兩次對折，后一折痕與前一折痕垂直，之后沿后者展開，學生又發現與第二步中類似確定角度的形狀；第四步，將現象進行數學抽象，完成二面角的平面角的數學建構．[2]以上通過四個步驟的操作，讓學生通過猜想、操作、思考、歸納、抽象，將二面角的平面角的概念在學生頭腦中扎根，同時在構建概念的過程中發展學生的邏輯推理能力．

(3)注重整體思考，尋找局部要素

空間圖形是現實世界物體的抽象，學生觀察世界，首先接觸的是具體的幾何體．教材在設計上，對立體幾何的研究也是從對空間幾何體的整體入手，認識空間圖形的結構特征，再以長方體為載體研究空間圖形中的位置關系，從中發展學生的邏輯推理素養．立體幾何的教學應遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，而在具體問題的處理上，同樣也遵循這個原則．如異面直線所成角的處理，就采用了把空間圖形問題轉化為平面圖形問題的思路，這一思路在立體幾何教學和問題處理中應反復使用．從模擬考來說，所涉及到的四個題目的解答均用了該處理方法.如第5題中，整體思路是找到合適的高以求解三棱錐的體積，這就需要學生在不同的平面中去處理相關數據，從中尋找、發現高．整體思考有助于把握問題處理的方向，沒有對整體的把握，就不易認識局部，如在長方體(整體)中就易發現、生成異面直線(局部)的概念．[3]反之，沒有對局部的細微認識，也不能真正認識整體，如模擬卷第19(1)題，找三條兩兩垂直的棱的長度關系就是明晰該幾何體的前提．立體幾何問題應從整體把握處理問題的方向和思路，所需的條件在相應的局部(平面)中尋找、發現要素，這一過程體現整體和局部的對立統一，讓學生思維得更加全面和縝密，培養學生整體分析、把握問題的能力，從而有效提升其處理問題的素養．[4]

(4)重視問題發現，養成探究習慣

要有效地發展學生思維能力，促進學生主動學習，教師必須讓學生有問題意識，教學過程中要重視讓學生發現問題，并研究解決問題的策略，在問題解決后還要反思能否有再發現，促使學生數學素養得到進一步提升．模擬卷試題重視對學生發現問題能力的考查，如模擬卷第5題，三棱錐S-ABC的體積的計算，關鍵在于高的確定，那么是作高還是找高，這個判斷就是要在平時教學中不斷嘗試，從中找到一種合適的問題處理方式．模擬卷第19(2)題，不同于以往考題告訴三條棱的長度，而是讓學生從相應的條件中發現三條兩兩垂直棱的長度關系．課程標準中提到的“四能”與以往相比，增加的就是“發現問題”的能力，可見在立體幾何教學過程中，必須重視引導學生發現問題．發現問題離不開教學情境，教師要創設合適的情境激發學生學習的主動性，在師生、生生的對話、思考中將問題引向深入，從矛盾中再發現問題．發現不可能是一蹴而就的，發現在于學生問題意識的養成，在于學生探究活動的開展，在于學生空間概念的完善．在分析和解決問題的過程中，未必要一次性解決問題，發現矛盾是一個新的起點，學生在這個周而復始的過程中，不斷探究，思維和素養才能得到不斷鍛煉和提升．

3 結束語

高中數學課程中，立體幾何在發展學生的直觀想象和邏輯推理等數學學科核心素養方面發揮著不可替代的作用．模擬卷遵循課程標準提出的教學評一致的原則，將課程標準的評價落地，為在素養導向下立體幾何教學的開展提供切實的目標和要求．教學中，教師應切實落實“四能”，以主題教學為抓手，注重立體幾何教學的整體設計，做到抽象、推理、運算等方面素養的融合，從而體現立體幾何教學的育人價值．