利用DFT在分析信號調制時頻率泄漏的討論

劉留 胡健 李艷鳳 薛健 陳后金

摘要：窗函數在分析信號頻譜中具有重要的作用，文章以利用DFT分析信號調制頻譜為例，研究時域加窗截斷對調制信號的頻率泄漏問題，證明了矩形窗函數頻譜函數和矩形窗頻譜函數的卷積仍為矩形窗函數的頻譜函數。說明對調制信號頻譜分析中，相乘后加窗和加窗后相乘，截斷的調制信號頻譜函數相同，頻域上僅存在“一次”泄漏，最后利用仿真實驗證明了這一結論，有利于對于時域加窗問題教師教學和學生理解。

關鍵詞：窗函數;頻譜分析;加權的矩形窗

中圖分類號：TN911.72 文獻標識碼：A 文章編號：1674-9324（2020）21-0116-02

一、引言

時域加窗是數字信號處理課程教學和課程設計實驗中一個比較重要的概念，將無限長的信號（連續或離散）轉化為有限長的信號，時域加窗在工程實踐中有非常重要的意義。通常認為，在利用離散傅里葉變換（DFT，Discrete Fourier Transform）分析無限長信號頻譜時，時域加窗會導致頻率泄漏的現象，影響頻率分辨率，從而影響頻譜分析的質量[1，2]。在物理意義和數學分析上，其還有更深層次的內涵。

以分析調制信號為例，設已調信號y（t）=x（t）·c（t），其中，x（t）是調制信號，c（t）是載波。調制的過程，實際上是實現信號x（t）的頻譜搬移。若對y（t）信號以采樣頻率fsam采樣，得到離散序列y[k]=x[k]·c[k]（這里假設采樣間隔fsam大于y（t）最高頻率的兩倍，即滿足奈奎斯特采樣定理）。若需計算調制信號y[k]的頻譜，有兩種方式：第一種方式是直接對采樣后的y[k]加窗截斷（這里假設使用長度為N的矩形窗函數rN[k]），再將得到的yN[k]=y[k]·rN[k]進行離散傅里葉變換即可得到對應頻譜函數;第二種方式是分別對x[k]和c[k]加窗截斷，在得到xN[k]=x[k]·rN[k]和cN[k]=c[k]·rN[k]后再相乘得到yN[k]。上述兩種方式，第一種方式是直接對信號y[k]“一次”加窗截斷，導致y[k]頻域上“一次”頻率泄漏;在第二種方式中，存在對信號xN[k]和cN[k]“兩次”加窗，時域的“兩次”加窗會造成頻域的“兩次”頻率泄漏。然而，雖然這兩種截斷方式的時域效果相同，但頻域存在“一次”泄漏和“兩次”泄漏的差別，這個差別對應的理論基礎和物理意義是什么？是否確實存在“兩次”頻率泄漏？現有的教學對這個部分的討論較少，本文將從理論和物理意義上深入闡述本問題的內涵。

二、理論分析

因此，采用非矩形窗函數截斷調制信號時，同樣僅造成“一次”頻率泄漏，該泄漏同樣源于非矩形窗函數對序列x[k]時域截斷，與載波序列c[k]的截斷無關，c[k]在頻域僅僅起到頻譜搬移的作用。

三、仿真實驗驗證

本文以Matlab作為仿真工具來驗證本文第二部分的理論分析，這里假設載波，其中，fc=100Hz，為更為準確的描述泄漏特征，本文選用正弦型信號為待調制信號，其中，f0=20Hz，使用采樣頻率fsam=800Hz對信號y（t）進行采樣得到離散序列y[k]，仿真時候設置采樣點數為2048點，即用長度N=2048的矩形窗對序列截斷。

下圖畫出了待調制信號x[k]、y1[k]和y2[k]信號的頻譜，從圖上可以看出，待調制信號（虛線）由于進行了時域截斷，頻譜上存在泄漏。信號y1[k]的頻譜，是對y[k]截斷后進行DFT得到，這里僅有一次頻率泄漏;信號y2[k]的頻譜，由式（2）中截斷待調制信號x[k]·rN[k]和截斷載波信號c[k]·rN[k]分別進行DFT再卷積得到，此時由于存在“兩次”時域加窗，結果包含“兩次”頻率泄漏。從仿真結果看，兩種加窗截斷信號的頻譜結構和幅度完全相同，說明雖然y2[k]有“兩次”時域矩形窗截斷，但由于兩個矩形窗的頻譜函數RN（ejΩ）的卷積仍是RN（ejΩ），“兩次”時域截斷本質上只有“一次”頻率泄漏，該泄漏源于對序列x[k]時域截斷，c[k]在頻域僅僅起到頻譜搬移的作用。

時域加窗信號頻譜圖

四、結語

本文研究了加窗在信號調制中的泄漏問題，證明了矩形窗函數頻譜函數和任何窗頻譜函數的卷積仍為任意窗函數的頻譜函數，說明在調制信號頻譜分析中，相乘后加窗截斷和加窗截斷后相乘，截斷的調制信號頻譜函數相同，頻域上僅存在“一次”泄漏;同時，本文利用仿真實驗證明了這一結論，所得結論有助于將工程實際與理論分析統一起來，便于教師教學和學生理解。

參考文獻：

[1]胡廣書.數字信號處理理論、算法與實現（第二版）[M].北京：清華大學出版社，2003年8月

[2]陳后金，薛健，胡健.數字信號處理（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2008年11月

Abstract： Time windowing has important significance in theory and practice for digital signal processing. In this paper， the leakage of windowing the modulated signal using DFT is investigated. We prove that the convolution result of frequency functions of two rectangular windows is the frequency function of a rectangular window. By using this result， we can get that the frequency functions of the two time windowing methods （multiplying before windowing and windowing before multiplying） are the same. This means that there is only one leakage caused by the time windowing modulated signal. The result is beneficial to understanding the time windowing problems.

Key words： window function; spectrum analysis; weighted rectangular window