泛函分析中常見(jiàn)空間相對(duì)緊集判別充要條件探討

胡鵬

摘要：一般泛函分析教材只給出了C[a，b]空間相對(duì)緊集判別充要條件。文章以類(lèi)似的方法給出了常見(jiàn)Banach空間判別法，可以依據(jù)該充要條件容易判斷出是否相對(duì)緊集，對(duì)緊算子的判定也非常便利。

關(guān)鍵詞：相對(duì)緊集;完全有界集合

中圖分類(lèi)號(hào)：O177.92 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2020）21-0327-02

給定一個(gè)Banach空間，判定其中集合是否為相對(duì)緊集是泛函分析的一個(gè)重要內(nèi)容，也關(guān)系到緊算子判定、有界算子譜理論等重要內(nèi)容。一般泛函分析教材只給出了C[a，b]空間中的判定條件，即Arezela-Ascoli定理[1]，并未給出一般Banach空間通用的判定定理。本文將做有益的嘗試，討論幾種常見(jiàn)空間相對(duì)緊集判定的充要條件。

一、相關(guān)定義引理介紹

定義1[1] 若為緊集則稱(chēng)為A相對(duì)緊集。

定義2[1] 若集族覆蓋集合A，則稱(chēng)為A的ε網(wǎng)。

定義3[1]若，X中存在有限個(gè)元素構(gòu)成A的ε有限網(wǎng)，則稱(chēng)A是完全有界的。

引理1[1]若X為Banach空間，則A相對(duì)緊集等價(jià)于A為完全有界集。

另外此處再介紹下Arezela-Ascoli定理[1]。

定理1（Arezela-Ascoli定理）是相對(duì)緊集當(dāng)且僅當(dāng)K為范數(shù)有界的等度連續(xù)函數(shù)族。

二、lp空間中相對(duì)緊集的充要條件

定義4[1] lp為無(wú)窮序列空間，其中每一個(gè)元素為一無(wú)窮序列滿足，且

定理2相對(duì)緊集當(dāng)且僅當(dāng)E有界并且，存在N使得，

從而Eh構(gòu)成E的ε網(wǎng)，由引理3知Eh相對(duì)緊，由引理2知E相對(duì)緊得證。

本文解決了兩種常見(jiàn)空間相對(duì)緊集的判定問(wèn)題，更多空間相對(duì)緊集判定問(wèn)題還有待研究。

參考文獻(xiàn)：

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Abstract： In general functional analysis textbooks， only the necessary and sufficient conditions for discriminating the relative compact set of C[a， b] spaces are given. This paper gives a similar method—the Banach space discriminant method， which easily judges whether the compact set is relative or not according to this sufficient and necessary condition， and can also conveniently judge the compact operator.

Key words： relatively compact set; completely bounded set