泛函分析中常見空間相對緊集判別充要條件探討

胡鵬

摘要：一般泛函分析教材只給出了C[a，b]空間相對緊集判別充要條件。文章以類似的方法給出了常見Banach空間判別法，可以依據該充要條件容易判斷出是否相對緊集，對緊算子的判定也非常便利。

關鍵詞：相對緊集;完全有界集合

中圖分類號：O177.92 文獻標識碼：A 文章編號：1674-9324（2020）21-0327-02

給定一個Banach空間，判定其中集合是否為相對緊集是泛函分析的一個重要內容，也關系到緊算子判定、有界算子譜理論等重要內容。一般泛函分析教材只給出了C[a，b]空間中的判定條件，即Arezela-Ascoli定理[1]，并未給出一般Banach空間通用的判定定理。本文將做有益的嘗試，討論幾種常見空間相對緊集判定的充要條件。

一、相關定義引理介紹

定義1[1] 若為緊集則稱為A相對緊集。

定義2[1] 若集族覆蓋集合A，則稱為A的ε網。

定義3[1]若，X中存在有限個元素構成A的ε有限網，則稱A是完全有界的。

引理1[1]若X為Banach空間，則A相對緊集等價于A為完全有界集。

另外此處再介紹下Arezela-Ascoli定理[1]。

定理1（Arezela-Ascoli定理）是相對緊集當且僅當K為范數有界的等度連續函數族。

二、lp空間中相對緊集的充要條件

定義4[1] lp為無窮序列空間，其中每一個元素為一無窮序列滿足，且

定理2相對緊集當且僅當E有界并且，存在N使得，

從而Eh構成E的ε網，由引理3知Eh相對緊，由引理2知E相對緊得證。

本文解決了兩種常見空間相對緊集的判定問題，更多空間相對緊集判定問題還有待研究。

參考文獻：

[1]劉培德.泛函分析基礎[M].修訂版.北京：科學出版社，2012：39，42，18.

[2]周民強.實變函數論[M].第3版.北京：高等教育出版社，2016：248.

[3]A·H·柯爾莫……