大學數學深度學習過程的一般模型研究

王 培

（南京大學金陵學院基礎部 江蘇·南京 210089）

0 前言

人類進入信息時代，信息技術的快速發展和廣泛、深入的應用，正以驚人的速度改變著人類的生產方式、學習方式和思維方式。傳統教學秉持的“授受主義”正在被一種以學習者體驗為中心的新學習模式所取代，索耶稱之為“深度學習”。它在知識建構、知識的理解、知識間的貫通和知識的運用方面都提出了更高的要求，對學習者和教師來說是機遇也是挑戰。1976年，瑞典哥德堡大學學者Ference Marton和Roger Saljo在對大學生的閱讀實驗研究中，首次提出深度學習這一概念。國內對于深度學習的系統研究起步較晚，黎家厚教授是最先介紹深度學習概念的國內學者，他認為深度學習指學習者在理解的基礎上批判性學習新的思想和知識，將它們與原有的認知結構相融合，實現眾多思想相互關聯并遷移已有知識到新情境，是做出決策和解決問題的學習。近幾年，深度學習已成為教育研究領域的一個熱門話題，國內學者和一線教師正越來越多的關注深度學習的教學研究。

1 大學數學深度學習的必要性

高等院校數學教育的任務包括基本知識的傳授、自學能力和創造性思維能力的培養以及應用數學思想和方法解決實際問題能力的培養，全面提高學生的數學素質。數學素質是指人們認識和處理數形規律、理解和運用邏輯關系、領會和研究抽象事物的能力，是一種思維模式和思維習慣，其外在表現就是人們對事物從量的方面進行觀察和研究的能力、思維的邏輯性和嚴謹性及應用數學方法解決實際問題的能力。下面將大學數學教學現狀作以下分析：從思維能力看，統一標準化的授課模式過于強調學習大學數學的具體知識，至于學生如何主動思考和運用這些知識解決實際問題卻考慮較少，學生學習思維仍停留在低階思維階段；從學習行為看，學生習慣了知識的灌輸，學習方式被動，主動探究性不夠，學習目標停留在理解和記憶知識；從知識內容看，相比于知識的質來說，更注重知識的量。大學數學課程知識量大，學生負擔沉重，認知負荷超載。教學內容拘泥于概念、定理和公式等“平板”化知識的堆砌，而非根植于文化、社會且與其他新興學科相結合的“立體”化知識，學生很難實現知識遷移。從認知層面看，學生更傾向于學習簡單直觀的知識，因為缺少相關的思維訓練，學生對于相對復雜和抽象的知識很難接受，甚至有畏難情緒。

深度學習能力是指學生在學習過程中進行獨立思考和合理質疑，與教師、同伴有效溝通并合作，開展持續性自我反思監控，在理解知識的前提下進行知識遷移及應用的能力。深度學習能力的提高能夠有效提升學生的數學素質，拓展學生的思維方式，有助于學生適應快速發展的學習型社會的需求，跳出復制知識型學習的窠臼。同時深度學習將教師對課程設計的思考提升到一個新的高度，它能夠提高高校辦學質量，促進高等教育的發展。因此從高等院校數學教育的任務和大學數學教學現狀來看，提高大學生深度學習能力、促進大學數學深度學習的發生刻不容緩。

2 大學數學深度學習的目標

深度學習是以自主學習為載體，以高階思維為核心特征，以多元化學習策略為支撐，以有效遷移應用為主要目的的有意義的學習方式。大學數學深度學習的目標就是引導學生從數學符號和概念的學習向理解和掌握數學學科思想和意義、提高數學學科素養的高階學習目標轉換，是認知深度與廣度的提升。我們將大學數學深度學習的學習目標通過以下四個方面實現。

（1）知識結構的改變。知識結構從離散點狀結構向立體網狀結構提升。一直以來，大學生的數學知識分布多是成呈點狀或線性的結構，這種知識結構不利于學生提取知識、進行知識整合和有效的實現知識遷移。深度學習要求學生厘清知識點之間的關系，建立新舊知識點之間的聯系，拓展知識的深度和寬度，通過深層次加工建立知識點之間的層級關系形成知識網絡，將知識結構提升為立體網狀結構，網狀知識結構有利于知識的保持性和遷移性。

（2）學習行為的轉化。學習行為由被動接受式學習向合作探究式學習轉變。學生在課堂上習慣處于盲目接受知識的地位，學生學習是一種孤軍奮戰、獨善其身的行為。深度學習要求學生從被動理解、接受知識轉變為主動批判、學習知識，幫助學生從被動學習向自主探究、構建知識過渡，同時增加師生之間和生生之間互動，形成平等民主的師生關系和融洽互動的生生關系，提高學生的溝通表達和互助合作的能力。

（3）思維能力的轉型提升。思維能力從記憶、復述等低階思維能力向批判性思考、遷移、運用等高階思維能力轉化。安德森等在布盧姆教育目標分類的基礎上，將認知目標分為記憶、理解、應用、分析、評價和創造，其中記憶、理解與應用屬于低階思維范疇，分析、評價和創造屬于高階思維范疇。現階段大學數學學習過程中，大部分學生都是直接套用公式、定理或已知結論來解決問題，很少對問題的由來或該知識點如何應用進行深入思考并提出質疑。深度學習要求大學生在理解性學習的基礎上，具備批判性的高階思維，通過整合、聯想、類比將新的知識融入原有知識體系，提高思維能力。

（4）認知層面的拓展延伸。認知層面從簡單具象向復雜抽象拓展延伸。初等數學知識簡單且具象，學生容易理解和把握。進入大學階段學習高等數學時，學生思維方式沒有經過鍛煉，認知結構未做相應的調整，學生常常感到大學數學的知識點抽象、晦澀難懂，學習起來力不從心。數學學科的發展實際上就是不斷地抽象和概括的過程。在2015年出的第7版《兒童心理學及發展科學手冊》（國際兒童心理學研究領域的重要參考書之一）中指出大學本科教育的重點是著力培養學生的系統抽象思維能力和形成自我抽象原則能力，大學本科教育一定要抓住學生抽象思維高度發展的窗口期，提高并延伸學生的認知層面，為學生提供一個看待世界的全新視角。

3 大學數學深度學習的學習模型

大學數學教育不是在問題和答案之間建立簡單的對應關系，而是幫助學生提高數學思維品質和學習效能。為了實現大學數學深度學習的四個目標，我們將大學數學深度學習整個過程分為三個階段：探究階段、應用階段、拓展階段（圖1）。

探究階段是理解批判性的學習知識的階段。首先，學生需要明確自己的學習目標，以學習目標為導向開展學習活動。信息時代，學生需具備從眾多信息中快速獲取有用信息的能力，將獲取的信息轉化為數學知識，學生需抱持批判和懷疑的態度進行知識儲備，積累事實性知識和概念性知識，并處理好兩者間的平衡關系，形成良好的知識結構。

圖1

應用階段是信息整合和知識構建階段。通過對知識批判的分析和理解，學生對獲取的信息進行整合、抽象、概括，通過互動討論和分析概括建立前概念和新的數學知識之間的聯系，改造和重組原有經驗，將新的數學知識納入原有的認知結構中去，將知識結構提升為網狀結構，完成新舊知識經驗間的雙向建構，實現知識的順應與同化。深入思考，主動提取知識和應用知識，通過反思，促進學生對知識深層次的理解。這樣的循環過程，使得學生學習行為從接受式學習向探究式學習轉化，有助于進一步的科研創新。

拓展階段是指學生在已有知識結構的基礎上理解深層次的數學知識，形成獨立的認知結構體系，提升思維能力，將數學知識遷移至其他學科領域。此階段分為三個層次，首先，學生不僅要掌握概念、定理等結構化知識，還要理解深層知識、復雜概念等非結構化知識，通過類比，完成知識的內部關聯遷移。其次，學生嘗試在學習和生活過程中發現新問題，學會用數學語言和方式刻畫描述大腦中的實際問題，對知識進行深度加工，將需要解決的問題轉化成數學模型，即從學習具體的數學知識向建構抽象的數學模型轉化。最后，通過聯想，完成知識的外部拓展遷移。建立數學知識與不同學科間的聯系，分析判斷在新情境下應用知識時所需條件的差異，將所掌握的數學知識和相關數學模型完善拓展并應用于其他學科領域，實現創新運用，即數學知識的有效遷移和數學思維的遷移運用。比如我們可以利用概率論中隱含馬爾科夫鏈模型用于解決語音識別、天氣預報、股票預測等問題；將布爾代數與計算機知識相結合，解決信息搜索問題；將余弦定理用于新聞分類等等。幫助學生以更廣闊的視野看待數學問題，實現認知層面的提升。

4 結語

隨著人工智能、大數據等新一代信息技術的迅速發展，人類進入了知識經濟時代，對數學知識的要求越來越高。對大學生而言，知識復制性的淺層學習已經不能適應高速發展的社會，因為知識經濟時代需要的不是墨守成規的執行者，而是能夠創新、解決復雜問題并用復雜概念創造新理論的人。深度學習可以幫助學習者實現理解和創新性學習，知識經濟時代的來臨成為進行深度學習的根本原因。如何才能更好的促進大學數學深度學習的發生，教師仍需要在教學過程中不斷的探索、實踐、反思和總結。