△(G)=8且不含三角形的平面圖的完備染色

張巖

【摘要】用xvef（G）分別表示圖G的完備色數.本文證明：若△（G）=8的平面圖G且不含有三角形，則xvef（G）≤△（G）+4.

【關鍵詞】△（G）=8;平面圖;完備色數

引言

圖論起源于一個非常經典的問題——柯尼斯堡（Konigsberg）問題。

1738年，瑞典數學家歐拉（ Leornhard Euler）解決了柯尼斯堡問題。由此圖論誕生。歐拉也成為圖論的創始人。

1859年，英國數學家漢密爾頓發明了一種游戲：用一個規則的實心十二面體，它的20個頂點標出世界著名的20個城市，要求游戲者找一條沿著各邊通過每個頂點剛好一次的閉回路，即“繞行世界”。用圖論的語言來說，游戲的目的是在十二面體的圖中找出一個生成圈。這個生成圈后來被稱為漢密爾頓回路。這個問題后來就叫做漢密爾頓問題。由于運籌學、計算機科學和編碼理論中的很多問題都可以化為漢密爾頓問題，從而引起廣泛的注意和研究。

圖論是門應用十分廣泛且內容非常豐富的數學分支，它在生產管理，軍事，交通運輸，計算機網絡等許多領域都有重要的應用。在圖論的歷史中，還有一個最著名的問題--四色猜想。這個猜想說，在一個平面或球面上的任何地圖能夠只用四種顏色來著色，使得沒有兩個相鄰的國家有相同的顏色。每個國家必須由一個單連通域構成，而兩個國家相鄰是指它們有一段公共的邊界，而不僅僅只有一個公共點。這一問題最早于1852年由Francis Guthrie提出，最早的文字記載則現于德摩根于同一年寫給哈密頓的信上。包括凱萊、肯普等在內的許多人都曾給出過錯誤的證明。泰特（Tait）、希伍德（Heawood）、拉姆齊和哈德維格（Hadwiger）對此問題的研究與推廣引發了對嵌入具有不同虧格的曲面的圖的著色問題的研究。一百多年后，四色問題仍未解決。1969年，Heinrich Heesch發表了一個用計算機解決此問題的方法。1976年，阿佩爾（Appel）和哈肯（Haken）借助計算機給出了一個證明，此方法按某些性質將所有地圖分為1936類并利用計算機，運行了1200個小時，驗正了它們可以用四種顏色染色。四色定理是第一個主要由電腦證明的理論，這一證明并不被所有的數學家接受，因為采用的方法不能由人工直接驗證。最終，人們必須對電腦編譯的正確性以及運行這一程序的硬件設備充分信任。主要是因為此證明缺乏數學應有的規范，以至于有人這樣評論“一個好的數學證明應當像一首詩——而這純粹是一本電話簿！”染色問題是圖論的重要內容，也是圖論的起源之一，具有重要的理論意義和實際意義。幾百年來，它深深汲引著數學家們的注意力，圖的染色問題又有很多種分類，如頂點染色，邊染色，全染色，點面染色，邊面染色，完備染色等等。關于平面圖的染色問題一直是圖論界的研究熱點。

本文討論的是完備染色問題。平面圖G的一個完備染色是指一個映射ψ：V（G）∪E（G）∪F（G）→{1，2，…，k}，滿足對于任意不同的相鄰或相關聯的元素x，y∈V（G）∪E（G）∪F（G），都有ψ（x）≠ψ（y）。G的完備色數是指G有一個完備k-染色的數k的最小值。

文中未加定義的術語和記號請參閱文獻，用V，E，Fδ和△分別表示平面圖G的頂點集，邊集，面集，最小度和最大度.設v是圖G的一個頂點，于v相關聯的邊的條數叫做v的度數，記作d（v），若d（v）=k （d（v）≥k），則稱v為一個k-點（≥k-點）。在平面圖G中，面fF（G），用b（f）表示圍繞面f的閉途徑。把閉途徑b（f）的長度稱為面f的度，記為d（f），若d（f）=k（d（f）≥k），則稱f為一個k-面（≥k-面）。

若V∪E∪F中的元素能用k個顏色進行染色， 使得相鄰或相關聯的元素都接受不同的顏色，則稱G是k完備可染的，G的完備色數xvef（G）=min{kG是k-完備可染的}。

關于平面圖的完備染色是Ringel（1965）提出的，Kronk和Mitchem猜想：對任何簡單圖G，xvef（G）≤△（G）+4.Borodin已在1993年證明了對于任意的平面圖G：若△（G）12，xvef（G）≤△（G）+2。并且后來他提出了一個問題，對于△（G）11的平面圖G，能否找到完備色數的一個緊的上界？對于△（G）7的平面圖G，Borodin證明了chvef（G）≤△（G）+4.對于△（G）6的平面圖G，Dong證明了chvef（G）≤△（G）+5.本文證明：定理1： 若△（G）=8的平面圖G且不含有三角形，則xvef（G）≤△（G）+4=12.

二、引理

設G是滿足定理1但不是12-完備可染的且δ（G）=|V|+|E|盡可能小的這樣一個平面圖，則不難證明：

引理1;G至少有兩個二度點。

引理2;設uv是G的一條邊，若d（u）=2，則d（u）+d（v）≥10。即2-點只能與8-點相鄰。

證明：假設d（v）≤6，且設u相鄰的另一個點為w，由引理1可得G-{u}+{vw}是簡單圖，且是10-完備可染的，現在把vw的色染給uw，則依次可染上uv，u。

引理3 任意點u 關聯一個4-面，則d（u）≥4

證明：假設存在點u，關聯一個4-面f，且d（u）=2，設與邊uv關聯的另一個面為f1，設與點u相鄰的另兩個點為v，，則G-{u}是10-完備可染的，現在對G進行染色，把面{f∪f1}的顏色染給f1，則可依次可染上邊uv，vw，面f，點u。假設存在點u，關聯一個4-面f，且d（u）=3，設與點u相鄰的另兩個點為v，，則G-{uv}是10-完備可染的，設與邊uv關聯的另一個面為f1，把面{f∪f1}的顏色染給f1，刪去u的色，現在對G進行染色，則可依次可染上邊uv，面f，點u。

引理4 若G內有一個5-面關聯2個2-點，則G是12-完備可染的.

證明：假設存在一個5-面f，關聯2個2-點u，v，，則G-{u，v}是12-完備可染的，現在對G進行染色，可依次可染上面f，與u，v相關聯的四條邊，以及點u，v.

引理5 一個4-點至多關聯2個>4-面.

三、定理1的證明

設G是定理1的一個使得δ（G）=|V|+|E|最小的反例，由歐拉公式（2d（v）-6）+（d（f）-6）=-12，現在給G的點v分配權w（v）=2d（v）-6，給G的面f分配權w（f）=d（f）-6，所以w`（x）=-12<0，然后根據下面的權轉移規則，重新分配點和面的權，得w`（x）≥0，便得出矛盾，即定理得證。

; 權轉移規則：

R1：8-點轉移1給相鄰的2-點。

R2：8-點轉移1給相關聯的4-面。

R3：8-點轉移給相關聯的5-面。

R4：>3-點轉移1給相關聯的4-面。

以下考察頂點的新權：

2-點v：由引理2及R1，w`（v）=-2+2=0;3-點v：w`（v）=w（v）=0

v-點：4≤d（v）≤7，由引理5和R4，w`（v）>0;

8-點：R1，R2，w`（v）=10-8>0

其次考察面的新權：

4-面f：由引理5， f不關聯2-點，3-點。即f關聯兩個個≥4-點 則由R2，R4，w`（v）=-3+=0.-面f：w`（f）≥0。

5-面f：R3，w`（v）=-1+1=0.-面f：w`（f）≥0。

參考文獻：

[1]J. A. Bondy， U. S. R.Murty. Graph Theory with Applications[M]. New York：Macmillan， 1976

[2]H.Kronk and J.Mitchem，A seven-color theorem on the sphere[J]. Discrete Math，1973 （6）.

[3]O.V.Borodin，The structure of edge neighborhoods in planar graph and the;Simultaneous coloring of the vertices，edges and faces[J]. Metem.Zametki，1993（53）.

[4]Wang Weifan，Upper bounds of entire chromatic number of plane graphs[J].

Europ.J.Combinatorics，1999（20）.

[5]Daniel P.Sanders and Yue Zhao，On the entire coloring conjecture[J].

Canad.Math.Bull.Vol，2000（43）.

[6]O.V.Borodin， Structure theorem on plane graphs with application to the entire coloring number [J]. Journal of graph theory vol，1996（23）.

[7]吳建良， 平面圖的完備染色[J].山東礦業學院學報， 1994（13）.

[8]王維凡， 關于完備色數[J].遼寧大學學報， 1995（22）.