連續函數零點個數的判別準則

朱鵬先 項巧敏

摘 要 本文主要研究連續函數的零點問題。運用函數的單調性、極值以及介值定理等技巧給出判別函數零點個數的充分條件，具體地，分別給出函數具有2和3個零點的判別情況。最后給出具體例子加以驗證我們的結果。

關鍵詞 零點 連續 介值定理 極值

中圖分類號：G634文獻標識碼：A

0引言

在本科高等數學的教學中，介值定理非常重要。介值定理可以直接應用于判斷函數零點或者方程根的個數。在數學競賽以及考研中，研究函數的零點或者方程根的個數是一個很常見且最基本的題目。于是研究函數的零點問題具有理論意義。本文借助介值定理，系統地歸納總結出函數具有兩個和三個零點的判別準則。

1預備知識

定義1：如果，則稱為函數的零點。

定義2：如果為函數的極值，則稱為函數的極值點。

引理1：（介值定理）若函數在上可導，在上連續，則至少存在一個點，使得。

2主要結果

定理1：若函數在上可導，在上連續且函數在區間上有一個極值點，

（1）當為極大值點時，如果，，則函數在區間上存在兩個零點和;

（2）當為極小值點時，如果，，則函數在區間上存在兩個零點和。

證明：（1）因為在上可導，在上連續，

所以在上可導，在上連續。

又因為，所以，。

于是，由引理1可得，至少存在一個點，使得。

觀察到，在區間上嚴格單調遞增。因此，是唯一的。

注意導在上可導，在上連續且。

所以，再一次運用引理1可得，至少存在一個點，使得。

由于在區間嚴格單調遞減，從而得到也是唯一的。

綜上所述函數在區間上存在兩個零點和。

（2）同理，可得結論成立。

推論1：當或者，定理1的結論仍成立。

定理2：已知函數在上可導，在上連續，在區間上有兩個極值點和。如果（或）且，則函數在區間上存在兩個零點。

證明：不失一般性，我們假設是極大值點，是極小值點且，其他情況可以運用相似的方法討論。由假設可知函數的圖像如圖3示：

顯然是函數的一個零點。

因為，在上可導，在上連續且。

所以，運用引理1可得，至少存在一個點，使得。

由于在區間上嚴格單調遞增，從而，是唯一的。

故，函數在區間上有兩個零點。

推論2：當或者 ，定理2的結論仍成立。

定理3：假設在上可導，在上連續，在區間上有兩個極值點和。如果，且，則函數在區間上存（下轉第208頁）（上接第202頁）在三個零點。

證明：不妨假設是極小值點，是極大值點（其他情況可類似討論，考略到篇幅問題，此處就不一一討論），函數數圖像如圖4。

由已知條件我們知道函數在區間和上都滿足介值定理的條件，于是對函數在區間和上分別運用引理1可得，

至少存在一個點，，，使得成立。

又因為函數在區間，和，所以，，是唯一的。據此，定理的結論成立。

推論3：當或者，定理3的結論仍成立。

3例子

接下來，我們給出兩個實例來驗證我們的定理結果：

例1：驗證方程在區間上有且只有兩個根。

證明：設，

易知，故，由定理2可得函數在區間上有兩個零點，即，原方程在區間上有且只有兩個根。

例2：設，試證明函數在內恰好有兩個零點。

證：，，

而，令，則，

當時，，單調增加;當時，，單調減少，

所以在處取得極大值且。

故，由推論1可得，函數在內恰好有兩個零點。

參考文獻

[1] 華東師范大學數學系.數學分析：上冊（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2] 同濟大學數學系.高等數學：上冊（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.