關于一道幾何背景解三角形題目一題多解的思考

黃碧崇

一、背景

近一年多來，筆者閱讀了浙江大學出版社出版的由齊建民老師主編的《高中數學解題研究系列》1-8輯，對于一題多解、一題多思、一題多變有了深刻的認識，非常認同“刷百題不如解透一題”。羅增儒老師曾說：“解題能力是數學教師的一個專業制高點，研究解題是專業攀登的一座發展里程碑?！背蔀榻忸}專家不僅要自己知道“怎樣解題”，而且能指導學生也“學會解題”。誰也無法教會我們解所有的數學題，重要的是，通過有限道題的學習區領悟那種解無限道題的數學素養。在高三的二輪復習中，筆者也嘗試精選題目進行一題多解，讓學生真正解透一題，進而掌握一類題。下面以一道幾何背景解三角形題目為例進行分析。

二、對于上題的一點思考

思路一主要從不同三角形中考慮應用正弦定理，結合角度之間的聯系，找出角C的關系式。思路二主要以條件中的直角三角形作為切入點，利用正余弦定理把直角三角形的三邊用一個叁表示出來，最后用勾股定理得到角C的正弦。思路三的思路與思路三類似，只不過切入點是三角形ABC中三邊用一個叁表示，最后用正弦定理求出角C的正弦，尋找其中兩邊關系的過程中考慮了三種方法。思路四主要通過坐標法結合平面向量解決角C的問題，簡單明了。

對于此類幾何背景的題目，全國1卷在2013年進行了考查，普通的學生也比較怕這種幾何背景的題。雖然近幾年第一道大題都是考查解三角形的題，可能有些老師猜今年會考數列，所以，有些老師可能會減少了對解三角形題目的關注。筆者認為，全國卷出卷沒有特定的規律，也有可能今年繼續出解三角的題，甚至可能就是幾何背景的。就算大題不考解三角，小題也會考查，所以高中一線教師還是要重視。對于此類題授課時，可建議讓學生多從幾何背景出發，合理利用正余弦定理、三角形的面積公式和平面向量去解決問題。