淺談數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

呂鵬

【摘要】數(shù)學(xué)建模是根據(jù)實際問題來建立數(shù)學(xué)模型，對數(shù)學(xué)模型來進行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實際問題。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多“課題學(xué)習(xí)”探究活動都涉及建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模? ? 初中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G633.6

【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）16-091-01

一、提出啟發(fā)性問題

通過創(chuàng)設(shè)情景，引出問題，讓學(xué)生體會到現(xiàn)實生活中數(shù)學(xué)建模問題的普遍存在;引導(dǎo)學(xué)生理解問題，明確目標(biāo)，讓學(xué)生知道如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

1.創(chuàng)設(shè)情景，引出問題

做一件事，有時有不同的選擇方案。比較這些方案，從中選擇最佳方案作為行動計劃，是非常必要的。當(dāng)我們面對不同的方案，怎樣運用數(shù)學(xué)方法進行比較并作出合理的選擇？請看下面問題：

問題：怎樣租車？

某學(xué)校計劃在總費用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學(xué)生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少有1名教師。

現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表所示：

（1）共需租多少輛汽車？

（2）給出最節(jié)省費用的租車方案。

設(shè)計意圖：在這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會到現(xiàn)實中選擇問題，對各種方案運用數(shù)學(xué)方法作出分析，在此基礎(chǔ)上進行理性選擇，具有重要的現(xiàn)實意義。為此提出一個問題以供研究。

2.理解問題，明確目標(biāo)

（1）面對這樣的問題，詢問學(xué)生從哪里入手？

（2）這個問題學(xué)生要做什么？

（3）學(xué)生選擇租車方案的依據(jù)是什么？

設(shè)計意圖：感知問題首先要感知問題的起點和目標(biāo)，即知道在什么條件下做什么事。在解決問題的過程中，問題的目標(biāo)必須始終在大腦中，設(shè)計這幾個問題是讓學(xué)生明白起點和目標(biāo)。

二、建立數(shù)學(xué)模型過程

首先引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題，規(guī)劃思路，讓學(xué)生感知問題的整體結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從粗略到精細，從定性到定量的過程;然后，確定模型、解決模型問題，讓學(xué)生體會把實際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，感受數(shù)學(xué)的魅力。

1.分析問題，規(guī)劃思路

分析：第（1）問

老師：問題1.租車的方式有哪幾種？

學(xué)生甲：共三種：單獨租甲種車、單獨租乙種車、甲種車和乙種車都租。

老師：問題2.如果單獨租甲種車需要多少輛？乙種車呢？

學(xué)生乙：由240÷45=5? ?，240÷30=8 ;單獨租甲種車要6輛，單獨租乙種車要8輛。

問題3.如果甲、乙都租，你能確定合租車輛的范圍嗎？

學(xué)生丙：汽車總數(shù)不能小于6輛，不能超過8輛。

問題4.要使6名教師至少在每輛車上有一名，你能確定租車的輛數(shù)嗎？

學(xué)生丁：說明了車輛總數(shù)不會超過6輛，可以排除方案單獨租乙種車;所以租車的輛數(shù)只能為6輛。

分析：第（2）問

問題5.在“問題3”中，合租甲、乙兩種車的時候，又有很多種情況，面對這樣的問題，我們怎樣處理呢？

同學(xué)戊：用分類討論思想——分5種情況討論（甲車分別為1—5輛）;

同學(xué)己：老師，分5種情況討論太麻煩了，我們還可以設(shè)租甲種車x輛，確定x的范圍。

老師：很好，同學(xué)己思考的很到位，那我們?nèi)绾未_定x的范圍呢？來同學(xué)們看下面的問題

問題6.設(shè)租用 x 輛甲種客車。

（1）為使240名師生有車坐，可以確定x的范圍嗎？

學(xué)生庚：可以，由45x+30（6-x）≥240→x≥4

（2）為使租車費用不超過2300元，對x的范圍有影響嗎？

學(xué)生辛：可以，

由400x+280（6-x）≤2300→x≤5

老師：很好那我們就知道了x的取值范圍為：

4≤x≤5? ? （x為整數(shù)，故x取值為4或5）

設(shè)計意圖：感知問題的整體結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從粗略到精細，從定性到定量的過程。要感知租車費用隨著不同的租車方案變化而變化，怎么從一個不確定的租車總數(shù)到確定的租車總數(shù)，并不是自動生成的，需要經(jīng)過人數(shù)分析，總費用限制以及各要素可變性分析、變量的確定、變量之間關(guān)系的確定及數(shù)量表示等過程。

2.建立模型、解決問題

問題7.結(jié)合問題的實際意義， 設(shè)租車費用為y（單位：元），試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并分析x取何值時，租車費用y最小？

學(xué)生壬：y=400x+280（6-x）=120x+1680（x=4、5）

有以下兩種方案：

方案一：當(dāng)x=4時，即租4輛甲種汽車，2輛乙種汽車y=120×4+1680=2160;

方案二：當(dāng)x=5時，即租5輛甲種汽車，1輛乙種汽車y=120×5+1680=2280。

所以選擇方案一租車費用最少，為2160元。

設(shè)計意圖：上述函數(shù)問題需要在確定自變量的范圍、了解一次函數(shù)的增減性的基礎(chǔ)上，進行分類討論或利用函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)論。

整個建立數(shù)學(xué)模型的過程貫穿了數(shù)學(xué)中常用的分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生找出解決每類或者每一步問題的關(guān)鍵。

本文通過租車問題，說明數(shù)學(xué)建模在解決實際問題中的應(yīng)用。在這過程中鞏固一次函數(shù)知識，靈活運用變量關(guān)系解決相關(guān)實際問題.把各種數(shù)學(xué)模型通過函數(shù)統(tǒng)一起來使用，提高解決實際問題的能力.讓學(xué)生認識數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的意義，發(fā)展學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

數(shù)學(xué)建模對初中的學(xué)生來說認知要求比較高，屬于問題解決層次。問題解決過程需要感知和確定問題、表征和定義問題、形成解決問題策略、組織信息、資源分配、監(jiān)控評估等認知活動。與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)事實原理相比較，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)問題解決的經(jīng)驗相對缺乏，因此，在學(xué)習(xí)解決問題時會遇到較大困難。學(xué)生習(xí)慣于接受老師的解題分析，一旦自己獨立面對陌生問題，就無從下手。在這種情況下，教師因適當(dāng)引導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。