探究建立函數模型，提升數學建模素養

李建波

【摘要】本文選取一道生活中的建模實例，從實際問題出發，通過分析探究、交流討論、總結歸納、深化反思等數學活動引導學生建立完整的數學模型解決實際問題，從而深化數學建模思想，使學生全面認識數學建模的全過程。因此本文是從建立函數模型出發，綜合運用數學知識、思想和方法，提升數學建模素養，讓學生從不同的角度理解數學的魅力。

【關鍵詞】數學建模? ?函數模型? ?課堂實錄

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）16-092-01

什么是數學模型呢？數學模型指為了解決實際問題，而對其進行抽象、簡化后得到的數學關系結構，比如：數學概念、公式、方程、不等式、幾何圖形等。這些數學模型是日常生活中的人們為了解決實際問題，逐步建立起來的。而建立數學模型的過程，我們稱之為數學建模。今天老師也帶來了一個生活中的實際問題，我們就用數學建模的方法來解決這樣的問題。

現實問題：現在許多家庭都以天然氣為燒水做飯的燃料，節約使用天然氣就是一個非常現實的問題。一般來說， 天然氣灶是通過旋轉按鈕來控制燃氣消耗流量的。 燃氣消耗流量隨著旋轉位置變化而變化， 故燃氣消耗量與按鈕位置是函數關系。 因此問題就是：燃氣灶旋轉按鈕在什么位置時， 燒開一壺水的燃氣消耗量最少？

問題分析： 一般來說， 關閉燃灶時旋轉按鈕是豎直方向的， 隨著按鈕旋轉角度逐漸增大， 燃氣消耗流量也逐漸增大， 火也就越旺盛。當按鈕旋轉角度非常小時， 燃氣消耗流量也非常小， 甚至點火后的熱量不足以將一壺水燒開時;當旋轉角度逐漸增大時， 燃氣消耗流量也會逐漸增大， 燒水所需消耗的燃氣量就會減少。但是， 當旋轉角度很大（甚至最大時）， 燃氣不一定都能充分燃燒提供熱量，? 燒開一壺水的燃氣用量也會比較大。

那么，按鈕旋轉多大角度時，燃氣消耗量最少呢？

我們不能測出所有旋轉角度對應的燃氣消耗量。于是我們試圖通過實驗給出幾組數據， 然后利用這些數據擬合函數， 從而求出燒開一壺水時燃氣最小消耗量。

一、模型假設

（1）每次實驗環境溫度一樣——（在同一實驗室進行即可）

（2）每次試驗用水量一樣——（用量筒測量即可）

（3）每次燒水時水壺的起始溫度一樣——（燒開的第一壺水舍棄）

（4）每個按鈕旋轉位置都對應一個旋轉角度

（5）關閉燃氣灶的按鈕所在的位置對應的旋轉角度為0°

（6）按鈕旋轉的最大角度為90°

二、模型建立

（1）燃氣灶按鈕旋轉選擇5個不同位置， 旋轉角度分別為18°、36°、54°、72°和90°。

備注：理論上實驗選取位置數越多，實驗結果越精確，但是數據測量也就越復雜。

（2）在選取的5個位置上. 分別記錄燒開一壺水時所需要的燃氣量。

（3）根據收集的數據，畫出散點圖。

三、模型求解

觀察散點圖， 這些點的連線是一個“U”型曲線， 根據這些點的分布情況， 我們可以可以考慮用二次函數y=ax2+bx+c模型來近似刻畫燒開一壺水所消耗燃量y與按鈕旋轉角度x的函數關系式。

設二次函數y=ax2+bx+c取三對數據代入函數即可求出函數表達式。

不妨取（18，0.130）、（36，0.122）和（90，0.172）代入函數得：

則函數表達式為：

y=1.9033×10-5x2-1.4722×10-3x+1.5033×10-1

由二次函數性質知：

因此，當按鈕旋轉到39°時，燒開一壺水所需天然氣最少為0.1218m3 .

四、模型檢驗

用與前面五組實驗相同的條件， 將按鈕旋轉到39°的位置上， 檢測所需消耗的燃氣量。

若測量結果與計算結果基本吻合， 則所求的函數模型是有效的。若兩者結果相差比較大， 那建立的模型就不是最優的， 我們要返回“建立函數模型”部分， 重新選擇新函數。

結論：實驗檢測結果與函數計算值基本吻合， 誤差很小， 幾乎可以忽略不計， 因此我們建立的函數模型很好。

五、模型應用

通過這個實驗結果， 我們知道以后燒水做飯時， 為了節約天然氣資源， 盡量將燃氣灶按鈕旋轉到39°左右的地方。

總結數學建模過程：

根據這節課的內容，我寫了一句話送給大家：數學無處不在，模型到處都有，建模是數學的靈魂。

【注：本文系廣東教育學會教育科研規劃小課題“新疆班學生平面向量學習障礙及其解決策略研究”成果（課題編號：GDXKT23597）】

【參考文獻】

[1]賀君明.高中數學建模與教學設想設 [J].讀寫算：教育教學研究， 2011（14）：149-151.

[2]童玉峰. 初中數學常用概念問題鏈教學的課例探究[J]. 吉林教育， 20l5 （25）： 59-60.