一類三獨(dú)立變量六重和差分不等式中未知函數(shù)的估計(jì)

陳立強(qiáng)，王五生

(河池學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 宜州，546300)

Gronwall-Bellman[1-2]在研究微分方程的解對參數(shù)的連續(xù)依賴性的論文中，提出了線面的積分不等式

其中c≥0是常數(shù)，并給出了未知函數(shù)的估計(jì)

(1)

因Gronwall-Bellman型積分不等式及其推廣形式是研究微分方程、積分方程和微分-積分方程解的存在性、有界性、唯一性等定性性質(zhì)的重要工具，數(shù)學(xué)工作者不斷地研究它的各種推廣形式[3-8]，使它的應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大.另一方面，隨著差分方程理論的發(fā)展，許多學(xué)者更關(guān)注Gronwall-Bellman型不等式的離散形式及其推廣形式[9-15]，Pachpatte和Singare[16]研究了三變量和差分不等式

u(x，y，z)≤a(x)+b(y)+c(z)+

(2)

劉偉華和黃海松[17]研究了和號外具有非常數(shù)因子的三變量線性差分不等式

φ(u(x，y，z))≤a(x，y，z)+

(3)

φ(u(x，y，z))≤a(x，y，z)+

(4)

本文受文獻(xiàn)[16-17]的啟發(fā)，研究了和號外具有非常數(shù)因子的三變量六重非線性和差分不等式

φ(u(x，y，z))≤a(x，y，z)+

(5)

不等式(5)把文獻(xiàn)[16]中的線性和差分不等式(2)推廣成非線性和差分不等式，把文獻(xiàn)[17]中的三重和差分不等式(3)和(4)推廣成三變量六重非線性和差分不等式.本文利用分析技巧給出了不等式(5)中未知函數(shù)的估計(jì)，最后舉例說明了本文結(jié)果可以用來研究相應(yīng)類型的差分方程解的性質(zhì)．

1 主要結(jié)果與證明

(6)

在Ω上成立，則有函數(shù)v(x，y，z)的估計(jì)式

(7)

其中,

(8)

Φ-1是Φ的逆函數(shù)，(x1，y1，z1)∈Ω是滿足

(9)

的最大自然數(shù).

(10)

f(x，y，z).

(11)

不等式(11)中x，y保持不變，用r代替z，讓r分別等于z0，z0+1，…,z-1，然后把所得到的不等式兩邊分別相加得到

(12)

(13)

不等式(13)中x，z保持不變，用t代替y，讓t分別等于y0，y0+1，…，y-1，然后把所得到的不等式兩邊分別相加得到

(14)

利用引理?xiàng)l件Δv(x，y0，z)=0和Φ的定義,由不等式(14)可以推出

Φ(v(x+1，y，z))-Φ(v(x，y，z))=

(15)

不等式(15)中y，z保持不變，用s代替x,讓s分別等于x0，x0+1，…，x-1，然后把所得到的不等式兩邊分別相加得到

Φ(v(x，y，z))-Φ(v(x0，y，z))≤

(16)

由不等式(16)進(jìn)一步得到

v(x，y，z)≤Φ-1(Φ(v(x0，y，z))+

(17)

這就是引理要求的估計(jì)式．

定理1假設(shè)u，a，c和fi，gi(i=1，2，…，m)都是定義在Ω上的非負(fù)函數(shù)，a和c對每個(gè)變量都是單調(diào)不減的.假設(shè)φ，ψ，φ∈C(R0，R0)都是不減函數(shù)，且φ是滿足φ(0)=0的嚴(yán)格增函數(shù).假設(shè)L:Ω×R0→R0滿足條件

0≤L(x，y，z，v)-L(x，y，z，w)≤

M(x，y，z)(v-w)，(x，y，z)∈Ω，

(18)

其中v>w≥0，M(x，y，z)≥0.如果不等式(5)成立，則有未知函數(shù)的估計(jì)式

(19)

其中,

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Φ-1是Φ的逆函數(shù)，(x2，y2，z2)∈Ω是滿足

Φ2(a(x2，y2，z2))+

(25)

定義函數(shù)θ1如下：

(26)

u(x，y，z)≤φ-1(θ1(x，y，z))，

(27)

不等式(26)兩邊關(guān)x求差分得到

Δθ1x(x，y，z)=

(28)

由(28)可以看出Δθ1x(x，y0，z)=0求二階差分Δθ1xy得到

(29)

(30)

定義函數(shù)θ2(x，y，z)如下,

θ2(x，y，z)∶=θ1(u(x，y，z))+

(31)

由上式可以看出,函數(shù)θ2(x，y，z)對于每個(gè)變量都是不減非負(fù)函數(shù)，并有

且有

(32)

對函數(shù)θ2(x，y，z)進(jìn)行類似于對函數(shù)θ1(x，y，z)實(shí)施的(28)到(30)運(yùn)算得到

(33)

(34)

把(34)代入(30),

(35)

不等式(35)兩邊同除φ(φ-1(θ1(x，y，z)))得到

(36)

(37)

利用φ，φ，θ，由不等式(37)可以推出

Φ2(θ1(x+1，y，z))-Φ2(θ1(x，y，z))=

(38)

不等式(38)中y，z保持不變，用s代替x，讓s分別等于x0，x0+1，…，x-1，然后把所得到的不等式兩邊分別相加得到

Φ2(θ1(x，y，z))-Φ2(θ1(x0，y，z))≤

(39)

由關(guān)系式(27)和(40),

(41)

(42)

(43)

這就是定理要求的不等式(5)中未知函數(shù)u(x，y，z)的估計(jì)．

2 應(yīng)用

本文結(jié)果可以用來研究相應(yīng)類型的和差分方程解的性質(zhì)，現(xiàn)在考慮具有初始條件的差分方程

(x，y，z)∈Ω，

(44)

u(x0，y，z)=e1(y，z);u(x，y0，z)=e2(x，z)，

u(x，y，z0)=e3(x，y)，

(45)

e2(x0，z)=e3(x0，y)=0，

e1(y0，z)=e3(x，y0)=0，

e1(y，z0)=e2(x，z0)=0.

(46)

推論1假設(shè)F:I×J×K×R×R→R和H:I×J×K×R→R滿足下列條件:

F(x，y，z，υ(x，y，z)，h)|≤

φ(υ(x，y，z)|)(υθ(x，y，z)|+h|)，

(47)

H(x，y，z，υ(x，y，z))|≤

(48)

(49)

其中θ>0，υ|，a，φ，ψ，L，fi，gi滿足定理1的要求.如果υ(x，y，z)是方程(44)滿足初始條件(45)和(46)的解，那么對任意(x，y，z)∈Ωx3y3z3有方程解的模的估計(jì)式

(50)

Φ2(a(x3，y3，z3))+

證明滿足初始條件(45)和(46)的差分方程(44)等價(jià)于下面的和差分方程

(x，y，z)∈Ω,

(51)

利用條件(47)～(49)，由(51)可以推出

vθ(x，y，z)|≤a(x，y，z)+

(52)

對任意(x，y，z)∈Ω成立.由于(52)具有不等式(5)的形式，利用定理1中的相應(yīng)條件，就可以得到所求的方程解的模的估計(jì)式(50).