時間尺度上非完整系統相對于非慣性系的Lie對稱性

彭 姣，朱建青

(蘇州科技大學數理學院，江蘇 蘇州 215009)

1961年Lur’e給出完整力學系統相對于非慣性系的方程，根據分析力學方法給出了相對于非慣性系各類動力學方程，同時對相對于非慣性系系統的Noether對稱性[1-3]等進行了相關探究.1979年，Lutzky在力學系統上從全新的角度來探究Lie對稱性和守恒量[4-7]，緊接著這一研究方法被迅速傳播，取得了很多顯著成果[8-10].同時，關于相對于非慣性系Lie對稱性的研究，已有了許多工作，梅鳳翔在分析力學專題[11]中研究載體與被載體相對于非慣性系的運動微分方程.他又在非Chetaev型非完整系統[12]中建立了相對于非慣性系的Lie理論.岳楠和張毅則對關于相對于非慣性系的Lie對稱性及其逆問題在事件空間中進行了研究[13].

1988年，德國學者Stefan Hilger在他的博士論文中第一次提到時間尺度理論[14]，是為了同時解決連續和離散分析并且將它們的理論擴展到“介于兩者之間”的案例[15].近年來時間尺度理論上關于數學研究應用于統計學、金融學、工程學等科學分支，同時關于對稱性與守恒量的探究在動力學系統中也得到了一些重要成果[16-25].2012年，蔡平平運用時間尺度理論對約束力學系統的對稱性進行了詳細的研究，給出了計算約束力學系統第一積分方法[26].然而關于時間尺度上相對于非慣性系Lie對稱性研究還較少，本文基于時間尺度理論研究非完整系統相對于非慣性系的Lie對稱性及守恒量.

1 時間尺度上非完整系統相對于非慣性系的運動方程

若相對于非慣性系的運動受g個理想雙面非完整約束

(1)

(2)

時間尺度上相對于非慣性系系統的Hamilton原理為

(3)

(4)

由(2)式，則原理(3)可表為

其中γβ為Lagrange乘子.

根據Dubois-Reymond引理，可得

(5)

對上式求Δ導數可得

(j=1，2，…，n;β=1，2，…，g)，

(6)

方程(6)稱為時間尺度上Lagrange方程非完整系統相對于非慣性系的運動方程.

假設系統非奇異，即

(7)

由方程(1)和(6)可求出γβ的函數，并將其代入方程(6)可得

(j=1，2，…，n)，

(8)

其中，

(9)

通過(8)式可進一步求解出所有廣義加速度

(10)

2 時間尺度上非完整系統相對于非慣性系的Lie對稱性與守恒量

引入無限小變換

t*=t+εζ0(t，κ)，

(11)

取生成元向量[28]

(12)

它的一次擴展

(13)

以及它的二次擴展

(14)

即方程(10)在時間尺度上的無限小變換(11)下的不變性可表為

(15)

進而歸結為如下確定方程

(16)

定義1對于符合確定方程(16)的生成元ζ0，ζj，則對稱性為時間尺度上非完整系統相對于非慣性系的Lie對稱性.

約束方程(1)由(11)式性質可得限制方程

Ζ(1)(ψβ(t，κσ，κΔ))=0 (β=1，2，…，g).

(17)

考慮到方程(2)對ζ0，ζj的限制，得到附加限制方程

(18)

定義2對于同時符合確定方程(16)、限制方程(17)和附加限制方程(18)的ζ0，ζj，則對稱性為時間尺度上非完整系統相對于非慣性系的強Lie對稱性.

定理1如果生成元ζ0，ζj在確定方程(16)中成立，并且存在符合結構方程

(19)

的規范函數R=R(t，κσ，κΔ)，則時間尺度上非完整系統相對于非慣性系的守恒量

(20)

證明由文獻[29]可推得時間尺度上公式如下

(21)

定理2如果生成元ζ0，ζj在確定方程(16)、限制方程(17)和附加限制方程(18)中同時成立，并且存在符合結構方程(19)的規范函數R=R(t，κσ，κΔ)，則時間尺度上非完整系統相對于非慣性系存在形如(20)的強Lie對稱性守恒量.

(22)

相應式(20)為經典的非完整系統相對于非慣性系的Lie對稱性守恒量

(23)

3 算例

設時間尺度

(24)

相對于非慣性系的Lagrange函數為

(25)

Τ3=0 (j=1，2，3)，

(26)

其中載體以勻角速度ω繞某鉛垂軸轉動，被載系統為一單位質量的質點.所受非完整約束為

(27)

研究系統的對稱性與守恒量.

首先，由(6)式可得系統的運動方程為

(28)

由方程(27)、(28)求得約束乘子

(29)

將(29)式代入方程(28)可得

(30)

其次，根據(16)式建立Lie對稱性的確定方程可得一組解為

ζ0=1，ζ1=ζ2=ζ3=0.

(31)

然后，判斷是否是強Lie對稱性，由(17)式和(18)式可得

(32)

(33)

顯然，生成元(31)滿足(32)式和(33)式，于是它相應為該系統的強Lie對稱性.

最后，由結構方程求解規范函數及其相應守恒量，將(31)式代入(19)式可得

R=0，

根據式(20)可得時間尺度上非完整系統相對于非慣性系的守恒量

4 結論

本文基于Hamilton原理和Dubois-Reymond引理，研究了時間尺度上Chetaev型非完整系統相對于非慣性系的Lie對稱性與守恒量.通過不變性原理推導出了確定方程和限制方程，進而得出了結構方程和相應的守恒量，并通過算例說明了結果的應用，其思想方法可推廣研究到相對于非慣性系的非Chetaev型非完整力學系統.