鋪設探究之路 彰顯育人之道
——“完全平方公式”教學實錄與反思*

(江蘇省宿遷市實驗學校 223800)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自連云港新海實驗中學蒼梧校區，基礎較好，有一定的自主學習能力、運算能力、分析問題能力及獨立思考能力．

1.2 學情分析

七年級學生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數學化能力有限，理解完全平方公式的幾何解釋、推導過程、結構特點還有一定的難度．所以教學中應盡可能多地讓學生動手操作、互動交流，突出完全平方公式的探索過程，讓學生自主探索出完全平方公式的基本形式并用語言表述其結構特征，進一步發展學生的推理能力、合作交流能力和數學化能力．

1.3 教材分析

所用教材為《義務教育教科書·數學七年級下冊》(蘇科版)．其具體內容為第9章第4節乘法公式第一課時“完全平方公式”.完全平方公式是初中代數中的重要內容，它是學生在已經掌握單項式乘法、多項式乘法等的基礎上的進一步抽象與提煉，是多項式乘法中的特殊情形．本節課通過學生自主思考、合作交流、展示評價等學習方式，利用計算圖形面積導出完全平方公式，并利用多項式乘法法則進行推導，進而理解和運用完全平方公式，對以后學習因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及圖形面積計算都有舉足輕重的作用．此外，在教學過程中力圖向學生滲透數形結合、換元、化歸、特殊與一般等思想方法，有助于學生更好地理解和領悟公式之間的內在聯系，為熟練運用公式進行代數式的化簡、求值、恒等式變形打好堅實基礎，更好地發展學生的運算能力及抽象建模能力．

教學目標 (1)探索并推導完全平方公式，能運用公式進行簡單的計算；(2)通過圖形面積的計算，感受乘法公式的直觀解釋；(3)經歷探索完全平方公式的過程，感受轉化的數學思想以及知識間的內在聯系，發展符號感和推理能力．

教學重點 引導學生通過自主探索和合作討論，推導出完全平方公式并能運用公式進行計算．

教學難點 公式的直觀解釋及公式特征的把握．

2 教學過程

2.1 情境引學，啟發探究

師：在有理數這一章我們學習過乘方運算，請同學們想一想2012是多少呢？(邊說邊在黑板上寫出2012= ？)

教師稍作停頓后，請一名學生說出結果．(教師板書)

生：2012=40 401．

師：這位同學很快得出了答案，那你是怎么得到的呢？

生：我是用計算器按出來的．(有的學生笑了起來)

有的學生說根據乘方的意義，用豎式計算出來的；還有的學生說根據多項式乘法計算，即2012= (200 + 1)2= (200 + 1)(200 + 1) = 40 401．

師：同學們表現得很好，說出了不同的方法．是否還有更為簡單的計算方法呢？現在我們一起回到最后那位同學的算法，咱們不妨將剛才的數換成字母，進行“一般化”轉化，就可得到(a+b)2，你將如何計算呢？(板書于黑板的右上方：從特殊到一般)

2.2 互動研學，分層探究

·從“數”的視角探究

師：同學們已經知道(a+b)2= (a+b)(a+b)，要想正確計算出(a+b)2就需要回歸到根本，即多項式乘法(a+b)(c+d).你是如何計算的？

生：用多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，結果為ac+ad+bc+bd．

師：計算的依據是什么？

生：乘法分配律．

師：回答正確．能明白算理，說明對法則的理解和掌握是很到位的．接下來，請同學們計算(a+b)2．(讓一位學生在黑板上展示，其余學生在座位上獨立完成)

師(引導)：我們把計算2012推廣到一般情形，可得出(a+b)2=a2+ 2ab+b2．回過頭來，請你再用這個式子來算算2012(停頓片刻)，大家有何感受呢？

生：比較簡單．

師：對的，數學之美在于簡潔，用這個式子計算起來較為簡便．善于觀察的同學會發現，這個式子還比較特殊.請前后四位同學為一組，交流一下，從形式上看式子的特殊方面表現在哪里？

生：從左邊看，是兩數和的平方，也就是兩個完全相同的二項式相乘；從右邊結果看，合并后只有三項，少了一項，所以看起來簡潔了．

師：說得非常好，不僅觀察仔細，而且表述有條理，也很嚴密．這其實就是多項式乘法中的特殊情況，我們稱之為乘法公式．那么你能根據剛才同學的分析，給公式起一個貼切的名字嗎？同時說出你命名的根據．

接下來，教師板書課題于黑板左上方(9.4乘法公式——完全平方公式)．

·從“形”的視角探究

師：同學們，剛才大家通過“式”的運算得出了完全平方公式，那么我們能否用“形”同樣得到這樣的式子呢？

小組交流，操作探究，并選兩位學生將所作的圖形展示在黑板上(如圖1、圖2)．

圖1 圖2

師(評價)：兩位同學畫得很好，大同小異，第一個同學還用陰影表示出來，顯得更為醒目，為你點贊．(學生們表示贊同)

師：(追問)這么快就表示出來了，請問你是怎么想到的呢？

生：(畫第2個圖的學生迅速搶答)這個很好想的，大家看到(a+b)2就會很自然聯想到邊長為a+b的正方形，對吧！然后在大正方形邊長中分出長度為a與b就可以了．

生：(補充)再通過整體與部分兩個角度計算大正方形面積，就能很快得出公式．感覺從圖形方面得出公式比剛才的計算更直觀、更方便．

師：同學們的表現真的不錯，學會了從不同視角分析思考問題，這里體現了數形結合思想的應用．(接著板書課題：完全平方公式；并在黑板的右上方板書：數形結合)

2.3 自主立學，類比探究

·由此及彼，類比遷移

師：我們已經知道了(a+b)2，其實在實際應用中也會經常用到(a-b)2.目前你有幾種方法可以得到(a-b)2的結果呢？(放手讓學生自主探究與討論交流，探究結果)

巡視后，發現主要有以下幾種方法：

方法1 用多項式乘法法則，即(a-b)2= (a-b)(a-b) =a2- 2ab+b2．出于習慣，使用原有知識．

方法2 使用公式，即把a-b看成a+ (-b)，得(a-b)2= [a+ (-b)]2=a2- 2ab+b2．現學現用，轉化后套用公式．

方法3 運用圖形得出公式(如圖3、圖4)．

圖3 圖4

由此，派生出完全平方公式的另一種形式，即兩數差的完全平方．因為減法可以統一成加法，所以通過轉化可以看成是一個式子，但為了使用的方便，我們把它單獨列出來.(教師在黑板右上方接著板書：學會類比，學會轉化)

·特征比較，本質探究

師：目前，我們知道了完全平方公式的兩種形式.接下來咱們來探究公式的特征，哪位同學能說說你的看法？

生：我們先來看公式的左邊，是兩項式的完全平方，一個是兩數和的完全平方，一個是兩數差的完全平方，都要記得加括號；再看公式的右邊，都是二次三項式，有所不同的是中間符號，一個“加”，一個“減”．

師：通過剛才同學的回答，其實這里把公式由符號語言轉換成了文字語言，而且比較了異同……

生：(一位學生舉手)老師，我感覺這個公式運用時會出現錯誤(a+b)2=a2+b2，因為我以前就犯過這樣的錯誤．(少數學生點點頭)

師：是的，受積的乘方的影響，即(ab)2=a2b2，同學們會出現上述常見錯誤(讓學生用兩個數代入計算一下，左右兩邊明顯不等)，而完全平方公式中前面兩項不是積的形式，同學們要把握住它們之間的聯系和區別，樹立“模型思想”．(板書)

·模型引路，深化探究

教師出示兩個問題，讓學生再次深化對公式的認識，積累模型經驗．

運用完全平方公式計算：(1)(x+ 3)2= ( )2+ 2( )( ) + ( )2=__________．

↑ ↑

a-b

由學生分組完成，并指出這里哪個代數式相當于公式中的a和b．

2.4 展示評學，應用探究

學生的認知水平和思維能力是有差異的，為此選編了一組例題、反饋練習題及拓展應用問題，以保證不同層次的學生在已有模型經驗的基礎上都能得到相應的發展.顯然，問題設置有一定的意圖及代表性，讓學生獨立完成并展示出來，要求指出題目特點、解題思路或過程、困惑等．

例用完全平方公式計算：

(1)(2x- 7y)2；(2)(-2a+ 5)2；

(3)(-2a- 5)2．

展示評學中，發現學生能較好地掌握公式，但仍然出現丟掉“積的2倍”這一項，同時更多地會出現符號的錯誤．

師：(指出)第一，學會回頭查，積的2倍在中央，中間符號看前方；第二，對于底數中首項帶有“-”號的，通常先化成“+”的，再用公式計算，可大大降低錯誤發生率！

巡視中發現多數學生很快完成了，而且正確率很高．對于第(4)題學生中有不同解法，用實物投影展示不同解法策略．

師：同學們解答正確、書寫規范，希望大家能養成分步有序、言之有理的思考與書寫習慣．通過比較，可以看到解法1簡潔明快，這里進一步體現了“能正不負”的優越性．

拓展延伸，計算：(m+n+p)2．

教師順應學生的探究路徑給予適當的提示、點撥，讓學生少走彎路(還有學生畫圖探究的，適當給予鼓勵，但指出比較繁瑣)，把功夫花在關鍵處．爾后指定各組代表展示本組的研究結果，教師隨機點評．

教師點撥：(1)這里關鍵是把什么看作a和b．從同學們的展示來看，有兩種情況，即把m看成公式中的a或把m+n看作公式中的a，兩種視角都是可以的；

(2)不難看出，這里體現“整體思維”及“算兩次”的思想，希望同學們能正確運用．

2.5 反思悟學，歸納探究

學貴于思，學而不思則淺．課堂反思是一節課的有機組成部分．反思悟學不僅有利于培養學生的概括歸納能力，深化對知識的消化與內化，而且能夠升華對學習目標的進一步理解與把握，可收到余音繞梁、回味悠長的教學功效．[1]

(1)本節課探究學習了哪些新知識？(完全平方公式)

(2)問題探究與問題解決過程中，使用到了哪些數學思想方法？(數形結合思想、模型思想、轉化與化歸思想、算兩次思想等)

(3)探究活動中，獲得了哪些數學活動經驗或感受？(圖形直觀驗證，由具體到抽象，由特殊到一般，由簡單到復雜，有序有理有據表達等智慧與經驗)

3 回顧與反思

3.1 教學設計的立意

根據數學是培養和發展人的思維的學科特點，教學設計時著力從為什么要學、學什么、怎樣學、學得怎樣等問題立意．讓學生不僅“知其然”而且要“知其所以然”，更要讓學生明白“何由以知其所以然”．具體教學時，依據“最近發展區”理論，遵循以舊引新的發展原則，創設一個簡單問題情境，“一石激起千層浪”，以問題引發學生思考；接下來順勢而為，用啟發思維的問題引領教學，逐步探究，知識自然生成，探究之跡步步呈現．為了體現以生發展為本理念，要遵循學生的認知規律，依照循序漸進與啟發式的教學原則，進行有序的分層探究活動，讓不同層次的學生都能主動參與并能得到充分的發展．邊啟發，邊探索，邊歸納，邊反思，邊感悟．突出以學生為主體的探究性學習活動，引導學生積極思考，鼓勵學生交流合作學習，讓每個學生動口、動手、動腦，自主歸納出公式，激發學生學習的主動性和積極性，讓學生學會思考、學會學習．

3.2 教學反思

課堂是培育學生數學核心素養的肥沃土壤，學生在數學學習過程中逐步形成數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等核心素養．而這關鍵在于教師能將其在每一節數學課“落地生根”，并能抓住每一個環節之間的整體聯系，將學生的思維從形象思維逐漸向抽象思維延伸．通過鋪設學生樂于探究之路，以此發揮數學學科育人功能，在探究過程中培養學生的邏輯思維能力，并能有效表達．在運算中培養運算能力和建構能力，為學生發展核心素養搭建平臺，鋪設“腳手架”．

(1)行于簡約問題，讓學生想學

設置有效的問題是探究的載體，通過簡約易行、靈活多元(一題多問、多思、多解、多圖等)的問題設計，引導激活學生思維，啟發學生探究欲望，實現“一吐為快”的滿足感．課例中通過一個簡單的計算“2012”進行啟思、關聯、探究、抽象、建構、應用，整個教學過程沒有大量的機械訓練；在反饋時，設置三組有層次的代表性問題(變符號、變系數、變項數)實現學以致用，整個教學自然生成，一氣呵成，育人無痕．為學生感知數學好玩、主觀上想學創設良好的探究準備．第一，營造和諧的學習氛圍，讓學生在輕松愉快的環境中躍躍欲試；第二，問題設計簡約而不簡單，關注整體性、靈活性、聯系性，做到啟思提升；第三，符合學生的最近發展區特點，突出教師主導、學生主體、問題主線的“三主”原則，讓學引思等．

(2)動以操作探究，讓學生樂學

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：“數學活動經驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的.”長期以來，教師習慣于講、學生習慣于聽，而忽視探究或懶于“做”，學生充當課堂上的看客或聽眾，學習被動、被迫，效果可想而知．上述教學中，通過精心設計有挑戰性的動手計算、動手畫圖等操作性問題，讓學生動口、動手、動腦，在畫圖時學生通過割補、計算驗證等過程，加深了知識的理解，獲得了直觀感知，引發積極思考，在“做數學”的主動探究過程中培養學生的動手能力、解決問題能力，進而培養創新精神．[2]讓學生在探究中經歷過程，積極參與，經歷“思維旅行”，欣賞數學美景，在建模解決問題過程中不斷“攀登”，品評探索過程的艱辛并獲得成功的快樂．

(3)融以思想方法，讓學生會學

授人以魚，不如授之以漁．作為教師，要深入領悟所教內容的用意與方向．教學時既要關注顯性的教學內容，更要關注內容背后隱藏的數學思想方法．課例開始就從特殊到一般進行“抽象”，不斷滲透數學思想方法，始終以建立公式模型這一核心指向進行探究與運用，通過“變符號、改問法、變問題”等方式讓問題自然生長，聚焦聯系，使問題內容不斷豐富提升；同時觸及數學的精髓內容即數學思想方法，其間體現了數形結合、分類討論、類比、轉化與化歸、換元、特殊與一般、建模、整體、算兩次等重要的思想方法．[3]從而達成讓學生會學的目的．