高考試題中的數學文化內容類型研究
——基于近5年高考試卷的量化分析*

(浙江師范大學教師教育學院 321004)

隨著課程改革的推進，人們對數學文化的認識不斷深化，越來越多的人認同“數學文化在數學與數學教育中起著重要作用”．由于數學文化獨特的教育價值，自2003年起，無論是全國卷還是自主命題的地方卷都逐漸開始考查數學文化相關內容，2017年高考考試大綱更是增加了對數學文化考查的要求[1]．高考上接高等教育，下連基礎教育，融入試題中的數學文化內容關系到人才的選拔與培養．為明晰當前高考試題中滲透了哪些數學文化，我們以近5年全國卷、北京卷、浙江卷、江蘇卷、上海卷、天津卷等高考數學試題為文本對象進行統計分析與討論，以期為試題編擬提供啟示與建議．

1 分析框架

“數學文化”尚無明確的界定．一般來說狹義的“數學文化”是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展；廣義的“數學文化”還包括數學史、數學家、數學美、數學教育、數學與人文的交叉、數學與各種文化的關系，等等[2]．考慮到可操作性，在過去的研究中，對于數學課程教材文本中的數學文化的研究多借鑒廣義的數學文化界定．例如，汪曉勤為對各國高中教材中的數學文化內容進行梳理，將數學文化的內涵界定為數學史、數學與生活、數學與科學、數學與人文、數學與藝術、趣味數學六類[3]．王建磐等在此基礎上，將數學教科書中的數學文化內容類型整合為數學史、數學與現實生活、數學與科學技術、數學與人文藝術等四個方面[4]．唐恒鈞、張維忠對澳大利亞數學統一評估試題進行文化研究時，將數學文化內容類型分為數學史、數學與生活、數學與科技、數學與人文社會、數學游戲、數學與藝術體育等六類[5]．

基于對上述數學文化內涵的理解，本文將高考試題中的數學文化內容類型分為數學史、數學與生活、數學與科技、數學與人文藝術四類．為使分析更細致，借鑒祁平[6]與王建磐[4]的研究，對各類型進一步劃分，具體界定不再贅述．由此，形成本文對高考試題中數學文化內容類型分析的框架(表1)．

表1 數學文化內容類型分析框架

2 研究設計

將全國卷、北京卷、浙江卷、江蘇卷、上海卷、天津卷近5年的文理科高考數學試題作為文本分析對象，即2015—2019全國卷Ⅰ(文理)、2015—2019全國卷Ⅱ(文理)、2016—2019全國卷Ⅲ(文理)、2015—2019北京卷(文理)、2015—2016浙江卷(文理)、2017—2019浙江卷、2015—2019江蘇卷、2015—2016上海卷(文理)、2017—2019上海卷、2015—2019天津(文理)，共67份試卷．其中，全國卷涉及的省份廣，北京卷、浙江卷、江蘇卷、上海卷、天津卷堅持自主命題，已逐漸形成自身的命題特色．對它們進行研究，有利于較為全面地明晰我國當前數學文化在高考試題中的命制情況，提高數學文化考題的命制質量．

在統計過程中，遵循以下操作標準：首先，以數學文化元素與高考試題的設置為共同的分析單元，即對試卷中出現不同的數學文化元素分別計數，同一數學文化元素出現在不同試卷中也分別計數．其次，當一道試題中包含若干小題，仍記為一道．第三，當試題同時符合多個類型的情況，選取最能體現試題特點的分類．比如2019年全國Ⅰ卷文理科題4出現了數學史料“黃金分割”，還論述到“斷臂維納斯”以及人體器官之間的比例，考慮到試題偏向“最美人體”，因而被視為“數學與人文藝術”類試題．

數據分析由兩位數學教育研究者分別按照數學文化內容類型的分類說明，對近五年高考試題獨立編碼，對比分析結果，對其中不一致的條目通過討論達成一致意見．

3 研究結果與討論

近五年高考試卷中共出現168道數學文化試題，按照分析框架對四種內容類型出現的次數進行統計，具體結果如圖1所示．

圖1 數學文化內容類型分布

統計分析后得到，四種數學文化內容類型的基數分別為數學史15道，數學與生活120道，數學與科技17道，數學與人文藝術16道．數學與生活類試題所占比重最大，占比達71.43%．可見試題比較重視數學與生活的聯系，強調學生在生活中解決問題的能力，同時也關注其余三種數學文化類型，其中數學史的相關試題出現得最少，為15道，僅占8.93%．

3.1 數學史

從統計數量看，與數學史相關的試題量最少，平均每年3道，這并未較好地落實高考數學文化命題的理念——考查我國古代優秀數學成果和數學史的內容．從試題涉及的具體史料內容來看，素材比較豐富，涉及古今中外的一些典型內容，如中國古代著作《九章算術》、樂律學經典“十二平均律”、著名數學家陳景潤、希波克拉底月牙形等．史料主要以古代數學史料為主，將數學史進一步細化，統計結果如圖2所示．

圖2 數學史細化分布

數學史素材的選擇偏向于數學名著.15道基于數學史的試題中有8道關于數學名著，而這8道試題，或是選自《九章算術》，或是選自《算法統宗》，或是選自《張邱建算經》，或是《周易》．其中出自《九章算術》的題最多，達到5題，超過半數．2015年全國卷Ⅰ理題6，結合《九章算術》中球體積、圓錐體積等立體幾何知識，融合數學史與古代生活情境，讓學生體會到從古至今數學都是來源于生活并且應用于生活．以數學名著為背景的試題弘揚了中國數學文化，有利于激發學生的興趣，但選題范圍比較狹窄．我國古代有非常多的數學著作，《九章算術》《算法統宗》《張邱建算經》《周易》只是其中的典型代表，此外，還有《數書九章》《孫子算經》《緝古算經》《海島算經》《楊輝算法》等著作．很多中國古代著作的名字中帶有“算”字，這在一定程度上體現出中國古代數學的重要特征——算法化傾向．因此，可以抓住“算法”這一核心命題，反映中國古人的智慧．同時，國外的一些著作、現代的一些著作中也有很多材料可以命題，取材的范圍可以進一步擴大．

數學名題在數學發展、數學應用、數學教學等方面起著或起過重要作用，在數學史與數學教育史上有著舉足輕重的作用．以數學名題為素材的試題僅有2016年全國理科卷Ⅱ題8和2016年全國文科卷Ⅱ題9兩道(實為同一試題)．此題以秦九韶算法為背景，連接了古代與現代，把秦九韶思想與算法的程序框圖結合起來進行再創造，值得借鑒．但試題并沒有考查到秦九韶算法的根本，只要求學生理解程序框圖求解，還有一定的改進空間．

有4道試題的選材出自數學家及其生平故事，出現的數學家有我國古代的劉徽(2017年浙江卷題11)、我國現代數學家陳景潤(2018年全國理科卷Ⅱ題8)、古希臘數學家希波克拉底(2018年全國理科卷Ⅰ題10)、我國古代數學家祖暅(2019年浙江卷題4)．根據歷史相似性原理，學生在很大程度上也會經歷數學家相似的探索過程．因此，以數學家及其生平故事為背景進行命題，可以考查學生的思維，幫助學生認識數學的發展性，培養學生崇尚真理的精神．近5年試題中對數學家的選擇偏向于我國，尤其是我國古代的數學家，這有利于激發學生的民族自豪感，但數學是數學家共同體的產物，外國的數學家，如畢達哥拉斯學派、歐拉、高斯、笛卡爾等也可以選擇，這樣有利于進一步促進中西方數學的交流與整合．另外，數學家的研究成果一般不是獨立的，會與其他數學家的成果相聯系，在編擬試題時可以考慮融入多位數學家及其研究成果，讓題干更豐富，體會數學家繼往開來不斷探索解決問題的過程．

3.2 數學與生活

隨著新課程改革的不斷深入，國家對學生的數學文化素養、應用意識與創新能力等提出了更高的要求．反映學生生活、社會問題的試題已成為高考試題的重要組成部分．這些試題的數學素材豐富，既有投籃、考試、上學等個人生活問題，也有新農村建設、公司企業發展決策、交通方式等公共生活問題，具體數量如圖3所示．

圖3 數學與生活細化分布

在個人生活方面，試題情境比較單一，考查的難度不高，學生對于做什么和怎么做是比較明確的．比如2017年浙江卷題16要求學生回答：從6男2女共8名學生中挑選至少有一名女生的4人服務隊，有多少種不同選法．

在公共生活方面，特別是近兩年的高考命題把握時代的脈搏，設計出了一些情境鮮活、構思巧妙的好題．如2018年上海卷題19，抓住“人均通勤時間”這一真實又貼近生活的問題，給出了自駕通勤時間的模型，希望學生學會分析這一實際問題，根據所給分段函數，選擇合適的交通方式，說明現實意義．試題引導學生從生活中發現數學，用建模思想、函數思想解決問題．

總體來說，以數學與生活為背景的試題素材較為豐富，特別地，以公共生活為背景的試題較為成熟，反映在既能很好地把握時代的脈搏，體現國家經濟社會發展，又能從多方面考查學生的能力(閱讀理解能力、數學分析能力、數學建模能力、理性思維等)．“數學回歸生活”的理念已滲入到高考數學試題的編擬中，命題專家選擇的內容是與學生生活緊密相關的，嘗試喚醒學生對生活“真善美”的認識、理解和尊重．但是，部分試題要求學生解決的問題卻不一定有實際意義，這與內容選取的不夠真實與自然有一定關聯．如何在文化內容選擇與提出的問題之間架起橋梁，讓文化內容真正發揮作用，讓學生將所學的知識應用于日常生活，去解決歷史的、當下的甚至是未來的實際問題，切實感受到數學廣泛的應用性，提升科學文化素養，還有待于進一步研究．

3.3 數學與科學技術

數學是科技的基礎，在人類的發展過程中發揮著越來越重要的作用．李大潛院士指出，數學技術可以轉化為先進的生產力，高技術本質上是一種數學技術．[7]近年來，數學逐步從幕后走到臺前，高考試題嘗試以科技為背景命題，在168道試題中，以數學與科技為背景的試題共17道，具體數量如圖4所示．

圖4 數學與科技細化分布

不過，這17道題僅占數學文化試題總數量的10.12%，說明數學與科技的聯系體現得還不夠緊密，對前沿科學的關注有待提高．具體地，數學與科技內容兼顧生命科學、地球科學、物質科學等方面，其中生命科學所占的比例相對較高，說明試題較重視數學與生命科學的聯系．

可喜的是，這些試題所反映的數學應用較好地聯系當今科技發展的現狀，體現時代性，而且這些試題要求學生解決的問題大多伴有非文本語言，需要學生在理解數學知識和思想的基礎上解答，并且解答的問題在實際生活中具有一定的遷移性，能引發學生在數學觀指導下的深度學習．如2017年全國卷Ⅱ理題18以現實生產中的“水產品”為入手點，反映了當前國家對海洋產業發展的重視，緊扣時代發展脈搏，突出科技在生產生活的應用；圍繞新舊養殖方法的比較設計了逐步遞進的三個小問題．受第二小題獨立性檢驗的啟發，學生可以在日常生活中對類似的實際問題作出判斷．試題讓學生感受數學對于科技發展重要作用的同時，考查了學生的數據處理能力、數學建模能力、數學抽象能力等，這是數學在新時代背景下對學生的要求．

3.4 數學與人文藝術

將數學與人文藝術相結合能夠改變學生對數學嚴肅、嚴謹的刻板印象，增加數學學習的興趣，為后期培養數學人才奠定基礎．以數學與人文藝術為背景的試題共16道，這些試題改變了對傳統單純知識技能的考查，讓學生體會到數學富有人文性的一面，涉及到的文化素材有人文、美術、音樂、建筑方面，內容不多并且各子類型分布不均衡，具體數量如圖5所示．

圖5 數學與人文藝術細化分布

數學與人文藝術相聯系的試題很少，平均每年3道．美術類相對較多，共10道，人文類、音樂類、建筑類都為2道．

試題選擇的數學文化素材大多較為經典.如2018年北京卷理題4選用的“十二平均律”是中國歷史上將數學與音樂有機結合的典范，是中國樂律學引以為驕傲的成果．明代王子朱載堉通過艱苦的探究，提出“根號2開12次方”為“十二平均律”奠基．可以說，沒有對數的科學理性的認識與應用，朱載堉很難創立十二平均律． 再如，2018年全國卷Ⅲ理題3給出榫卯的構件圖，從中可以看到中國古人將幾何與生產生活巧妙結合起來的智慧．這能使學生對中華民族的傳統文化有進一步的認識，增強學生的民族自豪感，認可數學文化的價值，既表明了數學來源于生活，應用于生活，也反映了數學的美．

4 研究結論與啟示

基于近5年高考數學試題中數學文化內容類型的分析，得出如下結論：

其一，數學文化試題數量不多，各內容類型分布不均衡．初步估計近5年高考數學試題總量達1 300道，而數學文化試題僅168道．這168道試題中，超過七成的試題來自數學與生活，可見，“數學史”“數學與科技”“數學與人文藝術”的相關文化內容不足．此現象的出現與可納入試題中文化素材的多寡、難易等有關聯．

其二，數學文化內容的素材不夠豐富，各子類型分布不均衡．數學史內容取材主要圍繞《九章算術》《算法統宗》《張邱建算經》《周易》等名著，數學名題、數學家等相關文化內容涉及較少．試題忽視數學與地球科學、人文、音樂、建筑等方面的聯系，這些子類別下的試題數量僅各2道，各子類型分布不均衡．

最后，部分高考數學試題中數學文化內容的素材不夠真實自然，缺乏時代性，主要體現在數學與個人生活類試題中．如2017浙江卷題16停留在挑選學生組成服務隊的舊背景之中，這可能直接影響試題命制的質量．

基于以上研究結論，本文提出如下改進建議：

第一，適當均衡各數學文化內容.目前融入數學文化的高考試題中，超過七成來自數學與生活.事實上，數學不僅和生活息息相關，也和數學史、數學與科技、數學與人文藝術息息相關．在數學史方面，古今中外涌現了一大批優秀的數學家，數學家的研究結晶濃縮成專著和名題等流傳下來，使得數學歷久彌新．如劉徽為《九章算術》作注，對古代算數體系做了理論整理；李善蘭創立了“尖錐法”、證明了費馬小定理；祖沖之與祖暅合著《綴術》，對圓周率做出了杰出貢獻；歐拉由“七橋問題”創立了圖論，等等．在數學與科技方面，如數學家維納通過研究濾波理論與火炮自動控制問題提供準確的數學模型使得火炮的命中率大大提高；再如Nagatani首先提出格子模型這一數學模型來研究道路車輛狀況，為道路建設提供一定的理論基礎，等等．在人文藝術方面，如雕塑繪畫作品中通過黃金分割、對稱等體現美；音樂作品中聲波和函數相關聯，正弦函數可以用來表達純音；數字技術融入電影電視中，影視作品的高潮點、轉換點與黃金分割緊密聯系[8]，等等．數學已經融入到生活的各個角落、各個學科中，諸多領域的突破是以數學的進步和發展為基礎的．數學文化的選材可以適當均衡，讓學生充分體會到數學的重要性．

第二，圍繞“立德樹人”的根本任務，豐富數學文化素材．“數學文化”融入試題時可以以立德樹人為立足點，從德智體美等方面選擇命題素材，這不僅可以豐富數學文化內容，不斷嘗試喚醒學生對“真善美”的認識、尊重和理解，還可以促進學生科學文化素養、人文和審美素養的提升．具體地，在選擇文化內容時可以從以下這些角度考慮．一是發揮數學特點，展現德育要求，如2019年全國卷

Ⅱ文科題5以“一帶一路”為文化背景，引導學生關注社會經濟；二是結合數學知識，展示數學之美，如2019年北京理科題8的心形線；三是創設合理情境、體現體美勞，如2019年全國卷Ⅲ題16，提供讓學生利用3D打印技術制作模型的背景，引導學生尊重勞動、熱愛勞動．試題編擬者可以借鑒這些真題繼續研究，圍繞“立德樹人”的根本任務，豐富數學文化素材．另外，對內容的選擇不應局限在中國，可以通過國外的一些內容引導學生立足中國、放眼世界．

第三，注重體現數學文化內容的時代性．處于快速發展的經濟社會中，社會對于培養的人才要求也在改變，教育需要與時俱進，高考試題需要契合時代背景進行變化，不能停留在分卡片、投骰子、種花植樹等舊背景中，而應該結合當前時代發展的熱點問題命制素材新穎、設問巧妙的試題．在過去十年間，中國的科學技術迅速發展，廣泛應用于人工智能、航空航天、天氣預報、環境監測、醫療衛生等方面．這可以提供值得研究和轉化的數學文化背景．盡管近兩年真題中有過這方面的嘗試，但仍有相當一部分試題停留在舊背景之中，因此，數學文化內容的選擇可以進一步體現時代性．

總之，從內容類型的視角看高考試題中的數學文化還存在一些有待完善的問題，但總體上展現了多樣的數學文化類型，較為豐富、新穎的數學文化內容．當然，對高考試題中數學文化的分析，不應局限于內容類型，在其他方面有何特點，值得進一步分析與討論．