例談高考拋物線解答題的解題方法與策略

(江蘇省錫山高級(jí)中學(xué) 214174)

縱觀近年來高考解析幾何解答題考查的內(nèi)容，不難發(fā)現(xiàn)，全國卷橢圓與拋物線交替考查，而江蘇卷(文、理合卷)一直考查橢圓(偶爾考查圓)，已形成定勢(shì)．從2021年起江蘇高考數(shù)學(xué)將參加全國統(tǒng)一命題考試,不再單獨(dú)命題．這就意味著江蘇高考數(shù)學(xué)解析幾何解答題一直連續(xù)考查橢圓的定勢(shì)將結(jié)束．從2021年起參加高考的考生，對(duì)于解析幾何解答題，不能再單一青睞橢圓，應(yīng)將拋物線與橢圓并重．本文以近五年高考題為例，分類例析高考解析幾何解答題對(duì)拋物線的考查，揭示解題方法與策略，供大家在教學(xué)中參考．

1 近五年來全國卷及江蘇卷解析幾何解答題考查內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)與分析

1.1 近五年來全國卷及江蘇卷解析幾何解答題考查內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)

20152016201720182019全國卷Ⅰ拋物線圓與橢圓文:拋物線理:橢圓橢圓拋物線全國卷Ⅱ橢圓橢圓拋物線橢圓拋物線全國卷Ⅲ—拋物線拋物線橢圓拋物線江蘇卷橢圓圓橢圓橢圓橢圓

1.2 近五年來全國卷及江蘇卷解析幾何解答題考查內(nèi)容的分析

從統(tǒng)計(jì)情況看，近五年來全國六種(實(shí)際可算三種)試卷考查橢圓7次、拋物線8次，呈現(xiàn)拋物線與橢圓交替考查的態(tài)勢(shì)．如2018年，三種試卷全考橢圓，2019年全考拋物線．江蘇卷(文理合卷)五年中，一次考查圓，其余全是考查橢圓．

2 解析幾何解答題考查拋物線內(nèi)容的分類例析

近五年來全國卷考查拋物線的試題主要考查拋物線的定義、幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用．試題考查的問題主要有以下幾個(gè)方面：弦長(zhǎng)問題、定點(diǎn)與面積問題、最值或參數(shù)范圍問題、軌跡問題、探索性問題、拋物線與圓的綜合問題．下面以近年高考試題為例，分類例析解答拋物線問題的常用方法與策略．

2.1 弦長(zhǎng)問題

(1)若AF+BF=4，求l的方程；

評(píng)注本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用．涉及平面向量、弦長(zhǎng)的求解方法．解題策略是將已知條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等量關(guān)系． 拋物線焦點(diǎn)弦的問題常常可利用拋物線的定義．

2.2 定點(diǎn)與面積問題

(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；

2.3 最值或范圍問題

圖1

例3(2019浙江卷)如圖1，已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記△AFG, △CQG的面積分別為S1,S2．

(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；

2.4 軌跡與證明問題

例4(2016全國卷Ⅲ)已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ；

(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．

評(píng)注本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、兩條直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力．解答證明問題的一般策略是用代數(shù)的方法證明幾何量之間的關(guān)系；軌跡問題常用直接法，即建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、驗(yàn)證．如本題第(2)問，求軌跡中要驗(yàn)證AB與x軸垂直時(shí)的情況，完善軌跡方程．

2.5 探索性問題

(1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求拋物線C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由．

(2)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下.

評(píng)注本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系及邏輯推理能力．探索性問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種．若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立即存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對(duì)參數(shù)的討論．第(2)題是探究條件問題，其解題策略是先假設(shè)點(diǎn)P存在，求出點(diǎn)P(0,-a)，再驗(yàn)證結(jié)論成立，從而肯定點(diǎn)P存在．

2.6 拋物線與圓的綜合

例6(2018全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，AB=8．

(1)求l的方程；

(2)求過點(diǎn)A,B且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144．

評(píng)注本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與圓的方程及邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．涉及焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的問題常可用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系(焦半徑)，求曲線方程常用待定系數(shù)法．對(duì)于圓的問題要注意圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用，如半徑、弦心距，半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形．

高考解析幾何解答題，無論是考橢圓還是考拋物線，其考查的實(shí)質(zhì)都是利用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，即用代數(shù)的方法解決幾何圖形的問題．用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì)是解析幾何的基本思想方法，因此在解析幾何教學(xué)中要始終圍繞這一基本思想方法組織教學(xué).