激活思維 創(chuàng)新思考 追求高效
——例談高考數(shù)學(xué)選擇題和填空題速解策略

(江蘇省邳州市第二中學(xué) 221300)

縱觀近年高考數(shù)學(xué)選擇題和填空題，一個明顯的特征是在重視考查“雙基”的同時，能夠把多樣的數(shù)學(xué)思想方法置于平凡、簡潔的數(shù)學(xué)問題之中，絕大多數(shù)題目都可以用通性通法直接求解，但也有許多題目需要激活思維、創(chuàng)新思考，挖掘其特殊內(nèi)涵，才能夠又快又準(zhǔn)地得到答案，從而為后續(xù)的答題贏得寶貴時間．本文以全國各地高考數(shù)學(xué)試卷中比較典型的選擇題和填空題為例，談?wù)勥@兩大題型的速解策略．

1 特殊化思維策略

一般性寓于特殊性之中，特殊問題又往往比一般性的問題簡單易解.因此，我們面對一個抽象或復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，不妨先考慮其特例，這就是數(shù)學(xué)中常說的特殊化思維策略．“特殊化思維”是高考數(shù)學(xué)選擇題、填空題的一種常用解題策略，其實質(zhì)是把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，實現(xiàn)快速、準(zhǔn)確求解的目的．用特殊化思維策略解高考數(shù)學(xué)選擇題和填空題有如下幾種常用的方法.

1.1 取特殊數(shù)值

例1(2007·江蘇卷)若對于任意的實數(shù)x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，則a2的值為( )．

A．3 B．6 C．9 D．12

分析 可對實數(shù)x取四個具體數(shù)值，代入已知等式中得到方程組，即可求出a2的值；也可以先對等式兩邊求導(dǎo)，減少參數(shù)，再對x取特殊值求出a2．

解法1當(dāng)x分別取2,1,0,-1時，得a0=8，a1-a2+a3=7，a1-2a2+4a3=4，a1-3a2+9a3=3．從而解得a2=6，選B．

解法2等式兩端對x求導(dǎo)，得3x2=a1+2a2(x- 2) + 3a3(x- 2)2．再一次求導(dǎo)，得6x=2a2+6a3(x-2)．令x= 2，得2a2= 12，a2= 6，選B．

點評求導(dǎo)數(shù)、取特值、建方程是解本題比較簡捷的方法．本題也可以將等式右邊展開整理，然后對照等式兩邊的系數(shù)得到方程組求解，這是解本題的一般性思路，但此思路運(yùn)算較繁瑣．

1.2 選特殊函數(shù)

例2(2007·江西卷)設(shè)函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線y=f(x)在x=5處的切線的斜率為( )．

分析 已知的是一個抽象函數(shù)，若直接計算比較復(fù)雜、思維量較大，我們可以選擇一個滿足題設(shè)的具體函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求解．

點評本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)、求導(dǎo)運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義．通過一個符合題設(shè)的特殊函數(shù)，使問題變得簡單、具體，容易求解．

1.3 用特殊方程

分析 如果按照已知直接運(yùn)算，由于含有參數(shù)，所以會很麻煩.不妨取一個具體的雙曲線(特例)來解決．

點評本題主要考查雙曲線和拋物線的定義，以及能利用相關(guān)的幾何知識解決問題的能力．

1.4 設(shè)特殊數(shù)列

A．2 B．3 C．4 D．5

分析 根據(jù)已知的比例式，我們可以選定滿足比例式的特殊例子來研究問題．

點評本題主要考查等差數(shù)列的定義和有關(guān)性質(zhì)，掌握通項與前n項之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

1.5 作特殊圖形

分析 最后一個條件告訴我們線段垂直的關(guān)系，再由前面兩個條件(線段長度關(guān)系)，我們很容易作出符合條件的特殊圖形，通過這個特殊圖形進(jìn)行計算就很簡單了．

點評本題通過已知條件也能夠推出圖形應(yīng)該是我們所作的特殊圖形，但是推導(dǎo)很麻煩，而作特殊圖形的方法能很輕松地計算出結(jié)果，體現(xiàn)了特殊化這一思想方法的特有功效．

1.6 尋特殊點

圖3

分析 顯然本題中無論頂點B在橢圓的什么位置，只要與A,C構(gòu)成三角形，那么所求式子的值一定為定值．因此可以對動點B取一個特殊位置(如取橢圓與y軸交點)來計算．

點評利用動點B的一個特殊位置使問題易于思考，過程簡捷，運(yùn)算量?。绢}如果用常規(guī)方法求解，需要利用正弦定理將比值化成三角形邊長的比，再利用橢圓的定義、性質(zhì)求出結(jié)果，這種方法思路復(fù)雜、運(yùn)算量大．

1.7 找極端位置

例7(2007·浙江卷)設(shè)m為實數(shù)，若{(x,y)|x-2y+5≥0,3-x≥0,mx+y≥0}?{(x,y)|x2+y2≤25，則m的取值范圍是__________．

圖4

分析 如圖4，已知的區(qū)域是圓x2+y2=25內(nèi)一個動態(tài)三角形，這個三角形區(qū)域的范圍是由動直線mx+y=0決定的.因此我們可以找出這條動直線運(yùn)動變化的兩個極端位置，求出對應(yīng)的m值，即可寫得其取值范圍．

點評通過圖形找出動直線運(yùn)動的極端位置，求出動直線到達(dá)極端位置(或趨近極端位置)時參變量的值，從而寫出參變量的取值范圍．極端位置法是探求參變量取值范圍常用的一種快捷方法．

2 數(shù)形結(jié)合策略

“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微．”以形助數(shù)，給抽象的問題以形象化的原型，從而給人們以形象思維的啟示；反過來，以數(shù)助形，則給直觀問題以數(shù)理推證和精確刻劃．?dāng)?shù)形結(jié)合思想實際上就是把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機(jī)地結(jié)合起來，相互轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)形象思維和抽象思維的優(yōu)勢互補(bǔ)．一方面，借助于圖形的性質(zhì)使許多抽象概念和關(guān)系直觀而形象，以利于探索解題途徑；另一方面，幾何問題代數(shù)化，通過數(shù)理推證、數(shù)量刻劃，獲得一般化結(jié)論．

2.1 以形助數(shù)

例8(2007·山東卷)與直線x+y-2=0和曲線x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．

分析 根據(jù)題意，我們可以作出直線和圓的圖形.觀察圖形可知，直線與圓都關(guān)于直線y=x對稱，于是不難得出直線y=x與直線和圓的兩個交點構(gòu)成的線段長就是所求圓的直徑．

圖5

點評根據(jù)已知條件作出圖形，能夠很直觀地看出未知與已知之間的關(guān)系，減少了思維障礙．

2.2 以數(shù)輔形

例9(2007·全國卷Ⅰ)一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上．已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為__________．

分析題設(shè)是一個動三角形，增加了求解的困難，如果用傳統(tǒng)的立體幾何方法求解，難度很大，需要有較強(qiáng)的空間想象能力和運(yùn)算能力．我們可以建立坐標(biāo)系，設(shè)出某些點的坐標(biāo)，運(yùn)用圖形中的幾何關(guān)系和向量之間的聯(lián)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題加以解決，既簡單又快捷．

圖6

點評對幾何中的問題，通過建立空間直角坐標(biāo)系，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算，通過數(shù)的運(yùn)算來解決幾何問題．這種把幾何問題代數(shù)化去解決的數(shù)形結(jié)合思維策略是“以數(shù)輔形”的經(jīng)典范例．

2.3 作出圖象

例12(2007·江蘇卷)設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)x≥1時，f(x)=3x-1，則有( )．

圖7

分析 根據(jù)已知條件作出函數(shù)的大致圖象，再根據(jù)圖象的特征作出判斷．

解將函數(shù)y=3x(x≥1)的圖象向下平移1個單位得函數(shù)f(x)=3x-1(x≥1)的圖象，再根據(jù)圖象關(guān)于x=1對稱，即可畫出函數(shù)f(x)的全部圖象(圖7)．從圖象中容易看出，應(yīng)選B．

點評從已知條件出發(fā)作出函數(shù)圖象草圖，觀察比較縱坐標(biāo)，使問題輕松地獲得解決，體現(xiàn)了圖象的妙用和“以形助數(shù)”的強(qiáng)大威力．