關注概念生成過程 提升數學抽象素養
——以“任意角的三角函數”為例

(江蘇省蘇州工業園區星海實驗中學 215100)

著名心理學家克魯捷茨基等通過實證研究證實：抽象概括能力是數學能力的核心，具有較強抽象概括能力的學生在數學學習中很容易體驗成功．[1]數學抽象作為數學學科核心素養之首，是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養．主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征．[2]數學抽象是獲得數學概念、提出數學命題、形成數學思想的主要表現形式．在數學抽象核心素養的形成過程中，學生能進一步發展數學抽象能力，能積累從具體到抽象的活動經驗，能夠運用數學抽象的思維方式思考并解決問題．

中學教學中，教師往往過于強調題型與解題的技巧，卻忽視了對數學抽象素養的提升．培養學生的數學抽象能力是個循序漸進的過程．因此，在我們日常的教學中，應將培養數學抽象能力有意識、有計劃、有目的地貫穿于課堂教學，慢慢滲透和灌輸，把發展學生的數學抽象能力與課標要求有機結合，逐步提升學生的數學抽象素養．本文以“任意角的三角函數”為例，談談在概念教學中引導學生開展數學抽象活動，展現數學思維過程，并提升學生數學抽象素養．

1 教材分析

“任意角的三角函數”是蘇教版必修4第二章第一節中的內容，本節課具有承上啟下的重要作用．一方面是對函數概念的加深，從數到數的映射“升級”為數到比值的映射；另一方面，也為后續學習同角三角函數關系、誘導公式等做好鋪墊．本節課的重點是任意角三角函數概念的抽象過程，引入概念的必要性和合理性是教學的關鍵，從函數的概念理解三角函數的定義是教學的難點．下節將通過有向線段和數量的概念來研究任意角三角函數定義的幾何表示．

教學目標(1)掌握任意角三角函數的定義，理解三角函數是以實數為自變量的函數，并通過定義明確正余弦、正切的定義域以及在各象限的符號；(2)通過銳角三角函數定義到任意角三角函數定義的推廣，體會概念的抽象過程；(3)制造矛盾情境，培養學生分析問題、解決問題的能力．

教學重點任意角的三角函數的定義．

教學難點任意角的三角函數定義的抽象過程．

2 教學過程

2.1 引申鋪墊，創設情境

師：在初中，我們學習過銳角的正弦、余弦、正切值，下面我們任意畫出一個銳角(圖1)．

問題1你能求出該銳角α(圖1)的正弦、余弦、正切值嗎？

師：也就是說我們通過構造直角三角形，然后量出它的對邊、鄰邊以及斜邊的長度，這樣就可以求得該銳角的正弦、余弦、正切值了．

圖1 圖2

問題2當點P在射線OA上變化時，銳角α的正弦、余弦、正切值是否會發生改變？

學生思考，小組討論．

教師先通過幾何畫板在圖形上直觀地加以演示．不難發現，當點P在射線OA上變化時，正弦、余弦、正切值均不發生改變．

問題3再請同學們思考，能否從數的角度加以證明？

生：可以通過三角形相似來證明.在射線OA上再取一點M，不同于點P，過點M作MN⊥OB，垂足為N，則可以得到△OPQ∽△OMN，所以角α的正弦、余弦、正切值均不發生改變．

問題4當銳角α的大小發生變化時，這三個比值是否會隨之改變？

學生思考后，匯報小組討論成果．

教師先通過幾何畫板演示，發現當銳角α的大小發生變化時，這三個比值隨之改變．即當α為銳角時，三個比值隨α的變化而變化，且對于α的每一個確定值，這三個比值都唯一確定，不會隨點P在射線上的移動而變化．

設計意圖引導學生從函數的觀點來認識這三個比值，即它們分別是以角α為自變量、以比值為函數值的函數．

問題5若α為任意角，怎樣定義任意角α的三角函數呢？

師：前面我們學習過銳角、直角、鈍角、平角以及周角，并借助直角坐標系推廣到任意角，即當角的頂點在坐標原點，角的始邊在x軸的非負半軸，通過角的終邊位置給出了任意角的概念．那么，我們能否在直角坐標系下定義任意角的三角函數？

師(追問)：首先我們一起在直角坐標系下，重新研究一下銳角三角函數的定義．

圖3

設計意圖為了實現銳角到任意角的推廣，在學生的最近發展區構建橋梁，既與初中的定義相符，又能自然而然地實現知識的遷移，此處是突破任意角三角函數概念的難點之一．

圖4

問題6若角α的終邊落在了第二象限(圖4)，能否用類似方法定義α的三角函數呢？

師：如果角α的終邊落在了第三象限、第四象限呢？

設計意圖從知識沖突中尋找研究問題的新方向，讓學生經歷在知識的生成中所產生的問題，參與新問題的思考與解決，在思維的碰撞中獲取新的靈感．

師：那么請大家驗證一下，此時是否符合函數的定義呢？

設A，B是兩個非空的數集，如果對于集合A中的任意一個元素，在集合B中都有唯一的元素與之對應，則稱為從A到B的函數．

師：角的終邊一定落在四個象限嗎？

2.2 知識建構，形成概念

2.3 數學運用，演練提升

例2已知角α的終邊經過點P(2,-3)，求角α的正弦、余弦、正切值．

師：能否改變題中的條件，再求解角α的三角函數值？

生1：可以讓角α的終邊落在坐標軸上.

生2：讓角α的終邊經過點P(2a,-3a)(a≠0).

生3：讓角α的終邊落在直線3x+ 2y=0上．

設計意圖通過例題及開放性問題的探究， 讓學生在變與不變中深刻理解概念的本質，重現概念的抽象過程；再利用投影展示學生的解題過程，在示范與糾錯中深化對概念內涵的理解和外延的辨析．

例3利用提供的量角器、尺規、計算器完成下列操作：

設計意圖通過設計活動和實驗，讓學生分組操作、交流互動、動手探究，旨在通過一正一反的應用讓學生深刻體會“長度比”與“坐標比”的區別與聯系，同時也為后續學習任意角的三角函數定義的幾何表示做好鋪墊．

2.4 課堂小結，回顧提煉

(1)本堂課學習了什么概念？解決了什么問題？

(2)從中體會到了哪些數學思想方法以及研究問題的方法？

設計意圖引導學生從知識結構、研究思路、數學思想等方面對本節課的內容進行回顧總結．三角函數的定義簡單易記，但更重要的是掌握概念的抽象過程以及獲取新知識的方法，這樣才能真正地理解概念．

2.5 課外作業，鞏固提高(略)

3 教學思考

3.1 關注概念自然生成

概念的生成過程不僅能完善知識結構，更能培養學生運用數學的抽象思維方式思考并解決問題．在“任意角的三角函數”一課的概念建構過程中，筆者利用學生原有的認知結構與新概念之間的矛盾去制造一種恰當的教學情境，激發學生的認知沖突并不斷提出問題，引導學生解決問題，并留有時間讓學生獨立思考、合作探究，將所得到的結論用數學語言、符號語言、圖形語言加以表示，讓學生體會概念的合理性，從而在思維碰撞的過程中促進思維的深度參與，完成概念的自然生成．

3.2 關注變式探究模式

所謂變式，是指教師引導學生對所給的條件進行觀察、分析，進行恰當的改編、推廣，將原題與變題的條件與結論進行對比，抽象概括為同一解題方法，在變化中找尋數學規律，展示知識的發生發展過程，它有利于學生構建數學體系，理解概念本質．課堂教學中，教師應不失時機地讓學生參與題目的探究活動，通過改編題目、解答題目來發現規律，有利于培養學生的探索精神和創新意識，提升數學抽象素養．筆者在例2直接利用概念求解任意角的三角函數后，設計了這樣一個探究點：讓學生適當改變條件來求解三角函數．學生分組討論，最后給出了三個變式及其解答．通過這樣的變式教學，學生再次經歷了知識的生成過程，理解了概念的本質屬性，也只有掌握了規律性的知識才能實現知識的遷移，才能在變與不變中發現本質、觸類旁通，真正提升抽象能力．

3.3 關注學習內化過程

內化，是將看、聽、想等思維觀點經內證實踐所領悟出的具有客觀價值的認知體系．而內化的過程正是學生自我反思、自我提高、自我升華的過程．作為教師，我們追求的不僅僅是讓學生掌握教材中的概念定理等，更要引領學生去探究背后所隱藏的數學思維，當把這種思維真正內化為自己的思維方式的時候，學生思考問題就會全面而縝密．

學習的內化過程是提升數學核心素養的最終體現．課堂上，教師要關注學習的內化過程，要根據探究目標有效地安排活動流程、展示成果與評價，讓學生積極主動地參與，通過實驗與交流互動有效地促進學習內化．數學不僅僅是知識的簡單累積，更是一種創造性的活動．因此，教師要有足夠的耐心，要給與學生充分的思考，讓學生經歷“再創造”的過程．本節課中，筆者在“任意角的三角函數”的概念抽象出來之后，讓學生利用量角器、尺規、計算器任意作出一個角并估算三角函數值，以及已知三角函數值畫出該角，這樣的設計旨在通過自主動手實驗，讓學生再次體驗任意角三角函數概念的抽象過程，并深刻體會“長度比”與“坐標比”的區別與聯系，加深對概念內涵及外延的理解．學生既增加了學習興趣，又體會到了探究的方法，從而幫助學生多角度地理解概念、多途徑地探索數學，將數學內化成為自己的思維，真正理解數學的本質．