STEM理念下的數學教學實例分析

(江蘇省太倉高級中學 215400)

STEM是科學、技術、工程和數學這四門學科的英語首字母的縮寫.STEM理念是培養個體在科學、技術、工程和數學領域以及相關交叉領域中,運用個人關于現實世界運行方式知識和能力的新型理念.主張學習是建構而不是接受的過程，提出教學實踐是為學習者提供學習情境，讓他們在情境下建構知識，強化對知識的理解，促進知識的遷移，提高學習者把學習到的零碎知識與機械過程轉變成探究真實世界相互聯系的不同側面的綜合能力.STEM理念主張以團隊合作為基礎、以小組為活動單位、以探究作為主要方式的應用模式.它并不是簡單的“應知應會”，也不是活躍課堂氣氛的形式點綴，更不是科學、技術、工程和數學四門學科的分類開發，而是一種基于創新理念的課程重構，是對學生創新思維的系統訓練，彰顯新課程的教育本質.

與傳統的教育形式想比，STEM理念下的數學課堂更加注重學生的學習體驗，它以數學實驗為載體，以解決實踐中遇到的問題為主線，實施過程中更加重視團隊的協作.在STEM教育理念下利用現代信息化的教育手段，將科學、工程、技術與數學有機結合在一起，讓學生感受到數學教學帶來的趣味性、跨學科性、情境性及設計性等特點，同時讓他們能夠進行創造、設計、建構、發現、合作并解決問題，培養學生的數學核心素養.

本節課筆者以蘇教版數學教材選修2-1第二章“圓錐曲線與方程”中的第33，43，54頁的三道操作題為探究實例，通過折紙實驗，讓學生經歷“發現問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程，培養學生的數學建模能力及數學探究思想.

1 教學內容預設

本節課通過學生折紙實驗，觀察折痕圍成的輪廓，借助信息技術提出輪廓曲線類型的假設，建立數學模型論證自己的猜想.通過“實驗—觀察—分析—假設—論證”等過程，鍛煉學生的自主探究、動手實踐和團隊合作等能力.通過體驗實驗的直觀感受及推理的嚴密論證，進一步鞏固三種圓錐曲線(橢圓、雙曲線及拋物線)的定義及方程結構，體會三種圓錐曲線之間的聯系與區別，感受數學實驗的直觀感受與邏輯推理的嚴謹思維帶來的相輔相成的數學之美.

2 學生課前預習

圖1

課前布置如下操作題：準備一張圓形紙片，在圓內任取不同于圓心的一個點，將紙片折起，使圓周過該點，然后將紙片展開，就得到一條折痕(為了看清楚，可把直線畫出來)(圖1).這樣繼續折下去，得到若干折痕.請同學們觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

設計意圖洛克的學習經驗論認為，“知識歸根到底來源于經驗”.折紙實驗讓學生獲得感性的數學經驗契機，促進學生將折紙的“經歷”轉變為“經驗”，引導學生經歷觀察—辨析—思考的過程.

學生們課前以小組為單位，由組長安排好分工，相互協作，認真做實驗，小組內相互交流討論，氣氛十分熱烈.(出乎意料)

3 課堂探究

3.1 成果展示

師：請兩個小組的代表(一個折痕少一些，一個折痕多一些)利用實物投影儀展示自己的折紙成果，并談談自己小組的發現.

生1：折痕圍成了一個區域.

生2：折痕圍成的區域好像是一個橢圓.

3.2 軟件操作

圖2

師：折的次數多一些對結果的呈現有沒有優勢？

生3：有優勢，折痕越多，折痕圍成的區域越明確.

師：請同學們借助電腦演示折紙過程，有何新的發現？

生4：折痕圍成的輪廓應該是橢圓.

生5：好像定點和圓心應該是這個橢圓的兩個焦點.

生6：感覺每條折痕都與橢圓相切.

……

設計意圖課堂展示的過程是學生將原有經驗歸納、整理、再造的過程，通過小組的交流，組內成員共享自己的經驗，并不斷整合；學生經歷了原有經驗的再認識、再生長，并將這些經驗概括、提升，為后續學習奠定基礎.信息技術的使用過程，是學習者不斷提高自身認知水平的過程.軟件的演示絕不僅僅是一個技術性的操作問題，而是一個讓學生不斷學會觀察思考的過程：“為什么會是一個橢圓？”“是怎樣的一個橢圓？”“這些折痕和橢圓是怎樣的位置關系？”并猜測結論的可能性.

3.3 推理證明

師：剛才同學們的回答中都包含了“應該”“好像”“感覺”等不確定的詞語，說明我們的這些結論暫時還只能是一個猜想.

(學生表示贊同)

師：那我們能夠證明一下我們的發現嗎？

(學生剛開始竊竊私語，慢慢地有人開始去證明……)

生7：我可以證明折痕圍成的圖形是以定點F和圓心O為焦點的橢圓.

證明任意給定圓上一點M，連結MF，OM，設線段MF的中垂線為l，設l與直線OM的交點為點P，則點P的軌跡即為折痕圍成的輪廓.

設圓O半徑為r.連結PF，因為PM=PF，所以PF+PO=PM+PO=r>OF.

由橢圓定義可知，點P的軌跡為以點F,點O為焦點、r為長軸長的橢圓.

師：(追問)你是如何刻畫這個輪廓的呢？

生7：通過輪廓上的點的軌跡來證明它是一個橢圓.

師：(追問)每一條折痕與輪廓有怎樣的位置關系？每一條折痕上有幾個點在輪廓上？

生7：折痕上的點會在輪廓上或者在輪廓外，但只有一個在輪廓上.

師：(追問)那這個既在折痕上又在輪廓上的點有什么特點呢？

圖3

生7通過幾何畫板的操作與演示，讓同學們看出中垂線l與半徑OM的交點P即為橢圓與折痕的公共點(圖3)，進一步通過跟蹤點P，發現其運動軌跡與已知橢圓完全重合，即點P的軌跡就是所求的橢圓.

師：非常好！從而我們得到了結論1：在半徑為r的圓O內任取不同于圓心的一定點F，設M為圓周上任一點，線段MF的中垂線為l，則OM與l的交點P的軌跡是以點O,點F為焦點、r為長軸長的橢圓.(在黑板上板書)

生8：我可以證明任意一條折痕l與該橢圓相切.

證明設點P是l與橢圓的一個公共點，點M為點F關于直線l的對稱點，則M在圓O上.設點N為直線l上異于點P的任意一點，則NO+NF=NO+NM>OM=r，所以點N不在橢圓上.因此，直線l與橢圓只有一個公共點，即直線l與該橢圓相切.

設計意圖多媒體軟件演示的過程是數學感知的過程，讓學生去發現結論；當有“猜想”時，就需要學生抽象概括及推理論證自己的猜想是否正確，需要經歷數學推理和計算活動，形成基本的活動經驗，并且對這些活動進行體會、反思和總結.

3.4 類比探究

師：請同學們分小組繼續探究以下問題：

(1)如果點F與圓心重合，得到的折痕圍成的曲線是什么？

(2)如果點F落在了圓上，得到的折痕圍成的曲線又是什么？

圖4

圖5

(3)如果點F在圓外，又會有什么樣的結論呢？

組1：(1)圍成的曲線為圓的同心圓(如圖4).

組2：(2)中所有的折痕經過圓心(如圖5).

組3：(3)中折痕圍成的輪廓變成了以點O，點F為焦點、半徑r為實軸長的雙曲線(如圖6).

圖6

設計意圖類比是提出新發現和解決新問題的一個重要源泉，是一種較高層次的知識遷移.通過折痕轉化為橢圓的認知過程，將數學經驗遷移到其他曲線上，不僅是對數學經驗的再造，更是對整個數學活動的再認識，加深了對所學知識的理解.

3.5 課后作業

師：請同學們課后類比橢圓軌跡的證明過程，證明以下命題.

命題 在半徑為r的圓O外任取一定點F，設M為圓周上任一點，線段MF的中垂線為l，則直線OM與l交點P的軌跡是以O,F為焦點、r為實軸長的雙曲線.

設計意圖有猜想就要有證明，這是一個完整的數學認知過程.課堂上類比得出的猜想要能成為結論離不開證明.要讓學生體驗完整的數學認知過程，推理證明必不可少.

4 教學過程分析

本節課，筆者圍繞“圓內異于圓心的一點和圓上一點連線的中垂線，與對應半徑的交點的軌跡是橢圓”這一中心問題設計了一明一暗兩條主線:明線是實驗→證明圓錐曲線的實例探究；暗線則是本節課所蘊含的數學發現→結論猜想→技術驗證→邏輯推理→實際應用的數學知識產生以及應用的完整過程.通過本節課的教學實踐以及同行專家的點評，筆者對于如何在STEM理念下實施數學實驗教學有了新的認識.

4.1 STEM理念注重培養學生的綜合知識與綜合能力

STEM教育的模式通常以項目為引領，學生通過真實世界的問題設計、實驗體驗，借助統整科學、技術、工程與數學等跨學科課程的教學方法，產生直接經驗，從而內化為自己的能力.本節課通過折紙探究輪廓曲線這個項目，讓學生通過科學的實驗獲得了直觀的想象，通過幾何畫板等信息技術工具去驗證自己的猜想，通過嚴謹的數學推理論證自己的猜想.學生在這個教學過程中，體驗了直觀感知—工具驗證—抽象論證的全過程.學生在這個積累經驗的過程中，發展了直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學建模、數據分析等數學學科核心素養，提高了分析問題和解決問題的能力.

4.2 STEM理念注重發揮學生的自主探究與團隊協作能力

高效的數學學習來源于學生自身對數學活動的參與度，新課程強調“學生的數學學習只有通過自身的操作和主動的參與才能是有效的”.STEM理念注重探究式的科學教育，也注重團隊的協作發展，提倡在學生原有經驗的基礎上提出問題—設計實驗—觀察分析—預測猜想—數據收集—歸納推理—得出結論—反思評價—遷移應用，讓學生經歷一個完整的知識認知過程，激發學生的探索欲望，培養學生大膽猜測、細致觀察，嚴謹論證的學習態度，并且讓學生在團隊合作中感受到，個人能力不是重點，隊員之間互補互助才能讓團隊的工作效益最大化.以此促使學生參與團隊活動，交流心得體會，共享經驗成果.

4.3 STEM理念注重學生感受教學帶來的趣味性

古希臘哲學家亞里士多德說:“生命的本質在于快樂.”英國教育家斯賓塞說：“教育的目的是使學生感受快樂.” 保持學習的快樂是學生能夠不斷地堅持學習的動力源泉.STEM 理念注重在教育實施過程中把多學科知識融于有趣、具有挑戰性、與學生生活相關的問題中，激發學習者內在的學習動機，讓學生在輕松愉快的學習中收獲學科知識，在解決問題的過程中獲得成就感.本節課的折紙游戲讓學生充滿了新鮮感，多媒體的動態演示讓學生產生了濃厚的興趣，猜想與質疑讓學生體會到了學習的快樂，推理與證明讓學生獲得了成就.

課堂是提升學生核心素養的主陣地．課堂上，教師如能在STEM理念下設計教學環節，利用生活生產中的直觀資源創設具有挑戰性、趣味性的數學情境，巧設問題，開展自主探究活動，激發學生的學習興趣，引導學生積極思考，積累學生的直觀經驗，將極大地促進學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養的發展，促進學生思維品質的提升.