啟發式數學教學的探索與實踐
——以“弧度制”概念教學設計為例

(淮北師范大學數學科學學院 235000)

數學教學是科學性與藝術性的有效結合，并且更偏向于藝術性．教學藝術是以教師的教學天賦、技能技巧、個性經驗、興趣、體悟、想象力、心向等要素的融合與平衡為基礎，在數學教學實踐中分享其他數學教師的教學精華而發生的．[1]因此，好的數學教學的產生是一個領悟、反思與實踐相結合并相互作用的過程．數學教學的這種藝術性展開所聚焦的一項重要目標就是啟發學生思考．

1 啟發式數學教學的目標及其手段分析

數學教學是有目的、有計劃、有準備的實踐活動．通過教材分析與學情分析，尋獲學生接納新知時的一系列心理線索，從而設置教學目標，進而設計一系列與心理線索一一對應的數學問題來啟發學生思考．除此以外，教師還要通過烘托課堂氣氛，鼓勵學生帶著問題進行探究發現活動，以此調動學生學習數學的積極性與主動性．當然，教師的問題設計得好，學生的活動參與度和思維參與度也自然都高漲起來，那么課堂便活了起來[2]，知識也就自然生長了．這種目標與手段大致分為以下幾個方面：

其一，以促進學生發展數學學科核心素養為目的．王策三先生說：“知識好比一個百寶箱，里面藏了大量的珍寶，不僅含有關于客觀事物的特性與規律，而且含有人的主觀能力、思想、情感、價值觀等精神力量、品質與態度．”[3]這些都是組成數學學科核心素養的主要元素．但是，學生自己很難將知識中的這些價值移植到自己的認知結構中去，需要教師通過教材分析，將這些發展學生數學學科核心素養的要素提取出來，通過合乎學生心理認識的途徑，投射到學生的認知結構中去．

其二，以教學目標為大方向組織課堂教學活動．教學目標在教學過程中發揮引領作用，在進行教學設計時，要將教學目標具體化，根據具體目標設計具體的數學問題，由問題生成教學設計預案中的“問題串”，進而整合出課堂教學活動．“問題串”要體現思維的邏輯性、問題的深入性和啟發的漸近性，以實現在知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀這三方面的教學目標．

其三，以“通過問題啟發學生積極思考”作為課堂實施的核心．數學問題是數學的心臟，也是數學教學和數學學習的心臟．數學教師要啟發學生從數學的角度發現問題和提出問題，引導學生分析問題，形成解決問題的思維策略．數學教師要以“問題”為載體，以問題背景的創設為出發點(如本課例以高中三角函數的學習為出發點)，以教學內容提出的具體問題為主線，引導學生獨立思考、主動探索、合作探究來分析問題并解決問題．[4]

其四，注重思想滲透，幫助學生汲取數學思想方法的豐富營養．數學思想方法是從具體數學認知過程中提煉和概括出來的，具有可遷移和可推廣的價值．在啟發式數學教學的過程中，教師必須重視對數學基本思想方法的滲透，從而加深學生對數學概念、公式、定理的理解，提高學生的數學思維品質；同時，教師應當把學生的思維探究引向深處，從而最大限度地激發他們體驗和理解數學內容的本質．[5]

由此可見，啟發式數學教學的落腳點在于通過數學提問調動學生學習數學的積極性，引導學生主動參與數學學習.而數學學習心智活動的核心就是數學思維活動，教師正是要圍繞學生學習數學的思維活動的這一核心來設計具有啟發性的問題．如此說來，教師啟發學生進行數學思考是實現數學課堂教學目標最為關鍵的要素，而數學問題是啟發學生數學思考的有效工具．

2 使用問題驅動啟發學生數學思考示例

一切科學研究毫無例外地都要經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程．也就是說，科學研究是由問題驅動的．同樣，數學教學也離不開數學問題的驅動．數學教師要運用數學被發現時的本真問題，加以提煉、加工、呈現給學生，引導他們進行火熱的思考，以達到啟發式教學的目的．這里的數學問題并不是習題或實際問題，而是具有啟發性的、本原性的、觸及數學本質的、能夠在教學中起統帥作用的問題．[6]

在基于“問題驅動”的啟發式數學教學課堂中，筆者以問題串和真實課堂為載體，將教學內容設計成問題串，通過層層遞進、環環相扣的數學問題來驅動課堂教學，啟發學生思考，引導學生自己發現數學知識．本節課是高中弧度制的教學，由初中的三角函數引入，從已有的角度制的定義中獲得啟發，即從已學過的知識中尋得解決問題的靈感和思路，將角的概念進行推廣，而“將初中所學的三角函數放在高中所學的函數定義中，此三角函數是否仍然成立”是角度制向弧度制轉化的突破口．具體設計如下.

師：初中時我們學習了直角三角形中銳角的三角函數．在高中，我們還要繼續學習三角函數．同學們還記得初中時學習了哪些三角函數嗎？

生1：正弦函數sinA，余弦函數cosA，正切函數tanA．角A可以取30°, 45°, 60°，…

師：當時根據什么來定義它們為函數的呢？

生：根據初中的函數定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數．對于A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數．同樣地，cosA, tanA也是A的函數．

師：也就是說，初中所學的三角函數滿足初中的函數定義．在高中我們也學習了函數定義，可否把初中定義的三角函數直接移植到高中所學的函數中來呢？

生：……

師：我們先來回憶一下高中函數是怎么定義的．

生：一般地，設A,B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．

師：據此，同學們能夠提煉出滿足高中函數定義的幾個重要條件嗎？

生2：①兩個非空實數集A,B；②對于A中的任意一個數，B中都有唯一確定的數與其對應；③對應關系f．

師：很好！我們如何判斷初中所學的三角函數在高中函數概念中是否為函數呢？

生3：可以看初中所學的三角函數是否滿足高中函數定義的這三個條件．

師：很好！同學們一起來判斷一下，正弦函數f(x)=sinx,x=30°, 45°, 60°,…在高中的函數定義下是否仍為函數呢？

生4：f(x)=sinx,x=30°, 45°, 60°,…在高中的函數定義下不是函數．因為自變量x的取值為30°, 45°, 60°,…,這是一些帶有單位(度)的“量”，而不是一些“數”，不滿足上述的第一個條件(x的取值范圍A為非空實數集)．

師：既然初中所學的三角函數在高中函數概念中不能稱之為函數，那么如何利用高中函數來定義三角函數以便繼續研究呢？

生5：高中函數要求自變量x和因變量y的取值范圍A,B為非空實數集，而不像初中函數定義的那樣，x與y為變“量”即可，不要求其為“數”．那么我們是否可以將f(x)=sinx中的自變量x由一些“量”變為一些“數”呢？也就是將角A的度數由量轉換為數．

師：這個想法很奇妙，也符合我們問題解決的方向．如何進行這種轉換呢？

生：……

師：在初中，我們如何度量角的大小的呢？

師：這位同學將初中學的“角度制”解釋得非常清楚．現在我們就是要想辦法將這種以“度”為單位來度量角的角度制轉化成一種以“數”為單位的度量角的單位制.如何轉化？

師：如何將這個“量”變為“數”？

生：……

師：回想一下，我們曾經用過的單位量通常是多少？或者說我們通常設單位量為多少來解決問題呢？

生10：這讓我想到了單位1，因為作為單位，我們總想使用“1”．

師：非常好！我們終于得到了想要的結果——以一個簡潔的數作為單位角來度量角．這就是我們今天要學的另外一種度量角的單位制——弧度制．同學們能試著說出弧度制的定義嗎？

生：長度等于半徑長的圓弧所對的角叫做1弧度的角．

圖1

師：總結得很好！長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角(圖1)，弧度制單位用符號rad表示，讀作“弧度”．那么弧度制下的角如何表示呢？

師：對于這個式子，同學們有疑問嗎？它對任意角都通用嗎？

師：很好！一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0．現在我想問，某圓心角為αrad，此圓心角的單位為rad，那么αrad是一個量還是一個數呢？

生14：αrad帶有單位，是一個“量”，而α才是一個“數”.我們能否只用α來表示角呢？

師：這位同學說出了大家的想法！今后用弧度制表示角時，“弧度”二字或rad通常略去不寫，只寫該角所對應的弧度數．例如，角α=2就表示α是2 rad的角．如此，我們便可以用數來度量角了．既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它們之間應該可以換算．如何換算呢？

師：現在請同學們利用這些換算公式，將本節課開始時給出的角度30°, 45°, 60°，…轉化成弧度．

師：在弧度制下，角的集合與實數集R之間建立起了一一對應的關系.每一個角都有唯一的一個實數(等于這個角的弧度數)與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角(即弧度數等于這個實數的角)與它對應．因此，我們這節課最開始的問題迎刃而解了.有了弧度制，我們就可以繼續研究高中函數概念下的三角函數了．

至此可見，本節課就是通過這一系列的數學問題來啟發學生思考探究、達到數學教學目的的．課堂一開始，教師指出高中要繼續學習三角函數，由此引出一連串的數學問題對話，最后得到角的集合與實數集R之間的一一對應關系，使得三角函數滿足高中函數定義，解決了在高中函數定義下繼續研究三角函數的問題．

3 結語

在啟發式數學教學課堂中，學生通過一連串數學問題的提出和解決，認識到數學概念的發現、形成和發展，學會用數學思維來思考數學問題．這不僅激發了學生學習數學的興趣，還培養了學生良好的數學素養，也正好符合數學自身的發展規律．啟發式數學教學實質上也就是問題的提出、探索和解決的全過程[7]，啟發式數學教學的探索與實踐也是以問題驅動教學為基礎的．因此，在今后的數學教學中，數學教師要學會利用數學問題來驅動數學教學，發動數學思維，觸動數學靈感[8]，更好地做到啟發學生思考．