美英早期解析幾何教科書(shū)中的雙曲線方程*

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

近年來(lái)，隨著HPM課例研究的不斷開(kāi)展和一系列課例的陸續(xù)發(fā)表，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)教師開(kāi)始關(guān)注HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，但數(shù)學(xué)史材料的缺乏始終是新課例開(kāi)發(fā)的障礙．圓錐曲線的歷史與教學(xué)早在十年前就已受到關(guān)注[1]，橢圓定義的教學(xué)案例相繼誕生[2，3]，相應(yīng)地，對(duì)橢圓方程的歷史也有研究[4]．之后，也有人對(duì)雙曲線的歷史與教學(xué)做過(guò)研究[5]，但很少涉及西方早期教科書(shū)．此外，HPM視角下的雙曲線教學(xué)案例也有待于進(jìn)一步開(kāi)發(fā)．

國(guó)內(nèi)現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教科書(shū)大多采用雙曲線的第一定義．人教A版和滬教版都采用“拉鏈法”引入第一定義；人教B版用兩組同心圓來(lái)模擬雙曲線的第一定義．人教A版和滬教版都采用“二次平方法”推導(dǎo)雙曲線方程；人教B版則采用“分母有理化”的推導(dǎo)方法．各版教科書(shū)幾乎都未涉及數(shù)學(xué)史．已有教學(xué)設(shè)計(jì)中，除了個(gè)別教師采用了“和差術(shù)”[6，7]外，很少見(jiàn)到數(shù)學(xué)史的元素．然而，歷史是一座寶藏，翻開(kāi)歷史的畫(huà)卷，雙曲線方程的推導(dǎo)方法精彩紛呈，挖掘、總結(jié)和提煉這些方法可以為今日教學(xué)提供有用的素材和思想養(yǎng)料．

為此，我們針對(duì)雙曲線的定義與方程，對(duì)美英早期解析幾何教科書(shū)進(jìn)行考察，試圖回答以下問(wèn)題：關(guān)于雙曲線，美英早期解析幾何教科書(shū)給出了哪些定義？采用了哪些推導(dǎo)方程的方法？雙曲線方程的歷史對(duì)今日教學(xué)有何啟示？

2 早期教科書(shū)的選取

我們選取1830—1969年間出版的93種美英早期解析幾何教科書(shū)或含有解析幾何內(nèi)容的數(shù)學(xué)教科書(shū)，對(duì)其中的雙曲線引入方式、定義、方程推導(dǎo)方法進(jìn)行考察．在93種教科書(shū)中，83種出版于美國(guó)，10種出版于英國(guó)，各種教科書(shū)的時(shí)間分布情況如圖1所示．其中，對(duì)于同一作者再版的教科書(shū)，若內(nèi)容無(wú)顯著變化，則選擇最早的版本；若內(nèi)容有顯著變化，則將其看作不同的教科書(shū)．

圖1 93種解析幾何教科書(shū)的時(shí)間分布

在所考察的教科書(shū)中，雙曲線定義與方程所在章節(jié)大致可以分為圓錐曲線、雙曲線、解析幾何、軌跡方程、橢圓與雙曲線和二次方程6類(lèi)，具體分布見(jiàn)表1．

表1 雙曲線定義與方程在93種教科書(shū)中的章節(jié)分布

3 雙曲線的定義

93種教科書(shū)中，有11種教科書(shū)采用了類(lèi)比橢圓的方法引入雙曲線，3種通過(guò)追溯歷史來(lái)引入雙曲線：從梅內(nèi)克繆斯發(fā)現(xiàn)圓錐曲線到阿波羅尼奧斯系統(tǒng)研究圓錐曲線并撰寫(xiě)專(zhuān)著，古希臘數(shù)學(xué)家在圓錐曲線的研究上相繼做出了重要貢獻(xiàn)．其他教科書(shū)都采用直接引入的方式．

93種解析幾何教科書(shū)中，共出現(xiàn)雙曲線的四種定義：

第一種是原始定義，即“平面截一圓錐面，當(dāng)截面與圓錐面的母線不平行也不通過(guò)圓錐面頂點(diǎn)，且與對(duì)頂圓錐都相交時(shí)，交線稱(chēng)為雙曲線”.[8]

第二種是第一定義，即“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于這兩個(gè)定點(diǎn)間的距離)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙曲線”．[9]

第三種是第二定義，即“平面內(nèi)到給定一點(diǎn)及一定直線的距離之比為常數(shù)e(e>1)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙曲線”．[10]

第四種是基于方程的定義(作為補(bǔ)充說(shuō)明出現(xiàn))，即在平面直角坐標(biāo)系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0中滿足Δ=b2-4ac>0時(shí)[11]，或F(x,y)=Ax2+By2+C=0滿足AB<0時(shí)[12]，其圖象為雙曲線．

圖2 不同時(shí)間段教科書(shū)中各種定義的分布

這4種定義共出現(xiàn)194次，其中有27種教科書(shū)只給出1種定義，38種教科書(shū)給出2種定義，21種教科書(shū)給出了3種定義，7種教科書(shū)給出了4種定義．圖2給出了不同時(shí)期教科書(shū)中各種定義的分布情況．由圖2可見(jiàn)，4種定義出現(xiàn)在各個(gè)時(shí)期的教科書(shū)中，第一定義和今天一樣最受青睞；而原始定義也受到部分教科書(shū)的關(guān)注，這與今天迥然不同．

4 雙曲線方程的推導(dǎo)

4.1 基于第一定義的推導(dǎo)

·兩次平方法

·洛必達(dá)法

圖3 基于第一定義的雙曲線方程推導(dǎo)

·平方差法

共有14種教科書(shū)采用了平方差法，相較于兩次平方法，其計(jì)算的復(fù)雜性大大降低；相較于洛必達(dá)法，其運(yùn)算技巧性沒(méi)有那么強(qiáng)，較有利于初學(xué)者理解及計(jì)算．

·利用余弦定理

·小結(jié)

圖4呈現(xiàn)了上述四種方法在不同時(shí)期的分布情況．從圖中可見(jiàn)，在19世紀(jì)的教科書(shū)中出現(xiàn)了四種推導(dǎo)方法，而20世紀(jì)教科書(shū)普遍采用“兩次平方法”，方法的多元性不復(fù)存在．

圖4 基于第一定義的雙曲線方程推導(dǎo)方法在不同時(shí)期的分布

4.2 基于第二定義的推導(dǎo)

·以準(zhǔn)線為縱軸

圖5 以準(zhǔn)線為縱軸的方程推導(dǎo) 圖6 以中心為原點(diǎn)的方程推導(dǎo)

·以中心為原點(diǎn)

·坐標(biāo)軸的平移

·小結(jié)

圖7呈現(xiàn)了上述四種方法在不同時(shí)期的分布情況．從圖中可見(jiàn)，19世紀(jì)教科書(shū)傾向于以準(zhǔn)線為縱軸建立坐標(biāo)系，到了20世紀(jì)，教科書(shū)更傾向于以原點(diǎn)為中心建立坐標(biāo)系．

圖7 基于第二定義的雙曲線方程推導(dǎo)方法在不同時(shí)期的分布

4.3 基于原始定義的推導(dǎo)

·旦德林雙球模型

有2種教科書(shū)采用了旦德林雙球模型．Fehr認(rèn)為，將立體幾何和圓錐曲線結(jié)合起來(lái)，有助于鞏固立體幾何知識(shí)[20]．如圖8，一對(duì)對(duì)頂圓錐中各有一球與圓錐內(nèi)表面相切，現(xiàn)用一不平行于母線且不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)的平面去截圓錐，且平面與兩球分別相切于點(diǎn)F和F′，則截線為雙曲線．直線PT分別與兩球面相切于點(diǎn)R和T，則有PF=PR，PF′=PT，PF′-PF=PT-PR=RT，RT為R,T所在圓面之間的母線長(zhǎng)，是個(gè)定值．因此，雙曲線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差為常值[21]．根據(jù)這一性質(zhì)，用解析方法可推導(dǎo)出雙曲線的方程．

圖8 旦德林雙球模型 圖9 阿波羅尼奧斯的方法

·阿波羅尼奧斯的方法

·三角法

5 結(jié)語(yǔ)

以上我們看到，美英早期解析幾何給出了雙曲線的四種定義，從第一定義、第二定義和原始定義出發(fā)，又采用了豐富多彩的推導(dǎo)方程的方法，涉及代數(shù)、幾何、三角等多領(lǐng)域的知識(shí)．在近一個(gè)半世紀(jì)里，隨著時(shí)間的推移，推導(dǎo)方程的方法趨于單一，洛必達(dá)法、平方差法、余弦定理法等逐漸被人們所淡忘．

在學(xué)生具備立體幾何知識(shí)基礎(chǔ)的情況下，教師為了揭示圓錐曲線之源，可以在教學(xué)中采用旦德林雙球模型(為降低難度，可制作該模型的教具)，推導(dǎo)出雙曲線的焦半徑性質(zhì)，再將雙曲線定義為滿足該性質(zhì)的動(dòng)點(diǎn)軌跡．這樣就將原始定義和第一定義統(tǒng)一起來(lái)，構(gòu)建出知識(shí)之諧．旦德林雙球模型的使用有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)，從而實(shí)現(xiàn)能力之助．為了推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，教師可以采用“洛必達(dá)法”“平方差法”或“余弦定理法”，以彰顯方法之美．當(dāng)然，在以后的復(fù)習(xí)課中，還可以采用更多的方法．教師在課堂上呈現(xiàn)雙曲線的定義和方程的歷史、不同時(shí)空數(shù)學(xué)家在雙曲線定義和方程上的貢獻(xiàn)，在展示數(shù)學(xué)文化之魅的同時(shí)，也可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的理性精神，并樹(shù)立動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀，從而達(dá)成德育之效．