橫看成嶺側(cè)成峰 遠(yuǎn)近高低各不同
——一道2019年南通市中考試題解法賞析

(江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心 226300)

數(shù)學(xué)解題方法中有一種常見方法稱為構(gòu)造法，是指當(dāng)解決某些數(shù)學(xué)問題使用通常方法按照定向思維難以解決時，根據(jù)條件和結(jié)論的特征，從新的角度用新的觀點去觀察、分析、理解對象，牢牢抓住條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，運用問題的數(shù)據(jù)、外形、坐標(biāo)等特征，以題中的已知條件為原材料，以已知數(shù)學(xué)關(guān)系式或定理為工具，在題中構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，從而使原問題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象中清晰地呈現(xiàn)出來，進(jìn)而借助該數(shù)學(xué)對象方便快捷地解決問題.這種方法的解題過程中思維的創(chuàng)造性活動的特點是“構(gòu)造”，即為了解決某個數(shù)學(xué)問題，我們通過聯(lián)想和化歸，人為地構(gòu)造基本圖形、方程、函數(shù)模型等以幫助解決原來的問題.本文以一道2019年南通市中考題為例，介紹有關(guān)構(gòu)造思想的應(yīng)用，以饗讀者.

1 回首但看年來事——原題再現(xiàn)

試題(2019年南通市中考試題)如圖1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4．點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，點A與點C關(guān)于EF所在的直線對稱，P是邊DC上的一動點．

圖1

(1)連結(jié)AF，CE，求證四邊形AFCE是菱形；

(3)連結(jié)BP交EF于點M，當(dāng)∠EMP=45°時，求CP的長．

2 青山嫵媚景不同——試題分析

本題(1)(2)兩問是常見問題，考查學(xué)生有關(guān)直線型基礎(chǔ)知識，命題難度屬于要求中的容易題范疇，此處不作贅述．第(3)問屬于命題難度要求中的難題范疇，命題從學(xué)生最熟悉的45°角出發(fā)，給學(xué)生足夠的思路和方法選擇余地，意在讓學(xué)生依據(jù)最熟悉的條件展開合理的聯(lián)想，探求解題的思路，最大限度地考查學(xué)生綜合運用聯(lián)想、推理、優(yōu)選等方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，以實現(xiàn)思維上的“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.筆者參加了本題的閱卷工作，發(fā)現(xiàn)第(3)題的解答方法較多，正如唐朝一位叫樂休的禪師曾經(jīng)作過的一首詩：“幾見春來幾見冬，又值歲慶轉(zhuǎn)運中.回首但看年來事，青山嫵媚景不同.”

3 微微風(fēng)簇浪，散作滿河星——解法欣賞

3.1 水底日為天上日——構(gòu)造全等三角形

圖2

圖3

點評看到45°角，聯(lián)想等腰直角三角形，但圖形中沒有現(xiàn)成的等腰直角三角形.于是，嘗試構(gòu)造等腰直角三角形，再依托兩條相等的直角邊添加水平線和鉛垂線，構(gòu)造“K字型”全等三角形，化歸思想蘊含其中.傳說宋代大臣寇準(zhǔn)和楊大連合作過這樣一幅對聯(lián)：“水底日為天上日，眼前人為面前人.”“水底日為天上日”是平面鏡成像現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)上這不就是“全等形”的意境嗎！

3.2 眼前人為面前人——構(gòu)造相似三角形

圖4

點評由一個45°角，再添加一個45°角，聯(lián)想構(gòu)造一對“母子型相似三角形”.從數(shù)學(xué)視角看，寇準(zhǔn)和楊大連的對聯(lián)下聯(lián)“眼前人為面前人”是凸透鏡成像，在數(shù)學(xué)上具有“相似形”的意境.

3.3 寄言榮枯者，反復(fù)殊未已——構(gòu)造兩對相似三角形

圖5

圖6

點評方法4首先通過PC∥AB發(fā)現(xiàn) △ABQ∽△CPQ，同時又發(fā)現(xiàn)在△ABQ中，∠AQB，∠BAQ和AB邊都確定，即“角角邊”確定，所以△ABQ一定可解，從而作高BH，再構(gòu)建△ABH∽△ACB，實現(xiàn)問題的解決.方法5構(gòu)建△PNC∽△CBA，△ABQ∽△CQP，實現(xiàn)問題解決.方法4和方法5都是通過兩次相似尋找解決問題的途徑，正如白居易《讀史五首》所言：“寄言榮枯者，反復(fù)殊未已.”

3.4 玉人何處教吹簫——構(gòu)造方程、函數(shù)

圖7

圖8

點評方法6通過構(gòu)造方程、方法7通過建立直角坐標(biāo)系，得到直線方程，構(gòu)造方程組，實現(xiàn)問題解決.唐朝杜牧《寄揚州韓綽判官》：“青山隱隱水迢迢，秋盡江南草未凋.二十四橋明月夜，玉人何處教吹簫？”杜牧在明月夜中聞簫聲從二十四橋傳至，卻不知玉人在何處教吹簫而發(fā)問，恰似數(shù)學(xué)中給出方程式而未解.因此，在數(shù)學(xué)上寓為“解方程”.

3.5 會當(dāng)凌絕頂， 一覽眾山小——構(gòu)造兩角和的正切

圖9 圖10

點評這里巧妙作圖，構(gòu)造出兩角和的正切公式，毫無突兀之感.在數(shù)學(xué)解題中，只有掌握了正確的數(shù)學(xué)思想、解題策略、思維方法，全面、客觀、正確地觀察問題并認(rèn)識問題且達(dá)到一定高度，才能透過數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)象看到本質(zhì)，而不會被事物的假象迷惑.登山，就是要沖上頂峰，只有當(dāng)你站在頂峰時才會真切地感受到“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的意境之美．聯(lián)想到解數(shù)學(xué)題也是如此，只有當(dāng)你達(dá)到運用“數(shù)學(xué)思想方法”“數(shù)學(xué)解題策略”達(dá)到登峰造極的境界時，你才能真正領(lǐng)悟到什么叫“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”.

最高的詩是數(shù)學(xué)，最高的數(shù)學(xué)和最高的詩一樣，充滿了想像，充滿了智慧，也充滿了靈感與激情，更充滿了創(chuàng)新與挑戰(zhàn).數(shù)學(xué)教學(xué)的魅力不僅在于一個個天衣無縫、無法推翻的性質(zhì)、公式、定理、推理,還在于數(shù)學(xué)與文學(xué)、哲學(xué)、美學(xué)的完美融合.“昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路”——讓學(xué)生經(jīng)歷過才能體會到解決數(shù)學(xué)難題的艱辛.“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”——難題成功解決后才能品嘗到什么是解數(shù)學(xué)題的喜悅.我們要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中涌動詩的靈性，洋溢詩的浪漫，彌漫詩的芳香，勃發(fā)詩的激情，流淌詩的旋律，演繹詩的精彩.與詩共舞,讓數(shù)學(xué)課堂飄溢人文詩香,是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、提升學(xué)生品性和修養(yǎng)的有效途徑.讓我們的數(shù)學(xué)課堂與經(jīng)典同行、與圣賢為友、與詩歌共舞,教師要成為這樣的“點燈人”，正如清代查慎行的《舟夜書所見》描述的那樣，“月黑見漁燈，孤光一點螢.微微風(fēng)簇浪，散作滿河星.”