實施素養導向：德國基礎教育數學課程大綱的分析與啟示

劉勝峰

摘要：課程標準（大綱）是具體學科對國家教育理念、知識觀、學習觀、教學評價、課程文化的綜合體現，是基于學科教育實踐過程的經驗積累和新認識的具體設計。對于基礎教育階段的數學課程標準（大綱）而言，它要服從于國家教育培養目標的總體要求，其內容要反映社會的需要、數學學科的特點，要符合學生的認知規律。基于國際視野，分析德國基礎教育數學課程大綱，比較中德兩國的數學課程基本理念、內容以及目標，可以為我國數學課程的改革和發展帶來啟示。

關鍵詞：數學課程標準;大綱;分析;啟示

課程標準（大綱）是具體學科對國家教育理念、知識觀、學習觀、教學評價、課程文化的綜合體現，是基于學科教育實踐過程的經驗積累和新認識的具體設計。對于基礎教育階段的數學課程標準（大綱）而言，它要服從于國家教育培養目標的總體要求，其內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。

德國是聯邦制國家，教育的治理權分散在各個州。各州都自己編制數學課程大綱，以其作為教材編寫者、研究人員和一線教師開展數學教育的指導性文件，確保數學教育取得成效。本文以2016～2017學年開始使用的德國首都柏林和勃蘭登堡州的《柏林1～10年級數學課程大綱》為例，比較中德兩國的數學課程基本理念、內容以及目標，以之為我國數學課程的改革和發展帶來啟示。

一、德國數學課程大綱的基本理念

《柏林1～10年級數學課程大綱》將1～10年級的學習內容劃分成A～H共8個階段，其中1～2年級需要達到B，3～4年級需要達到C，5～6年級需要達到 D ，而7～10年級跨度較大，每上升一個年級都需要達到一個新的階段。我國《義務教育數學課程標準（2011年版）》則是將共計九年的學習內容劃分成三個學段。

（一）課程結構劃分注重階段與整體相結合

從課程結構而言，除了課程類型和課時比例安排存在差異外，兩個國家的數學課程標準（大綱）都表現出整體性、綜合性、均衡性等特點，都涉及了階段性和整體性之間的關系，淡化了傳統意義上的小學與初中的區分，突出學生的生理和心理的階段性特征、相應年齡與年級之間的對應與劃分。

（二）課程價值觀注重數學能力的培養

受“以全面的教育為使命”理念的影響，《柏林1～10年級數學課程大綱》以及其他州制定的小學數學課程，都把“除了傳授具體的數學知識以及工作方式以外，還要傳授有關思維過程和決策制定的一般性觀點”視為數學課程的核心任務。他們認為，“學生獲得的關于數學方法的知識最有價值，這是由人類知識增長的無限性與個體獲得知識的有限性之間的矛盾決定的”，數學課程應與現代公民的日常生活緊密聯系，以“能力”作為課程質量產出的主要評價對象，學生在掌握數學能力后能夠在未來的工作與生活中獲得發展與成功。這樣的數學課程價值觀與我國有著較大的區別，我國的數學課程價值觀則認為，“數學課程除了具體知識和技能的教學，更重要的是數學思維方式與數學精神的培育”。

《柏林1～10年級數學課程大綱》以“學生學習過程的表現”區分出不同的數學能力水平，不僅對學生在學習數學的過程中應該掌握哪些能力做出了詳細的要求，還對學生小學畢業時應獲得的數學能力做出了規定。它建構了完整且層次分明的數學能力模型，模型里的六種數學能力及其水平都是環環相扣、螺旋上升的，具有很強的可操作性。六種數學能力具體為：數學論證能力、解決問題的能力、數學建模能力、數學描述能力及關聯能力。

數學能力模型對于德國數學課程大綱的重要性，就尤如我國《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的十個核心概念。兩者都是反映課程內容的核心思想、是體現課程內容的主線、是把課程內容與課程目標有機關聯起來的脈絡，更加突出課程內容的本質。他們既是數學課程內容的核心和聚焦點，也是數學課堂教學的目標點，更是數學教師落實數學教育根本任務的著力點。

二、德國數學課程大綱中的內容劃分

課程內容的選擇是根據特定的教育價值觀及相應的課程目標來選擇的，“選擇什么樣的課程內容才最有價值”是教育中必須正視的根本性問題。

（一）課程內容的設計注重學生的個性化發展

關于數學課程內容的設計，《柏林1～10年級數學課程大綱》認為，“對數學能力的掌握往往與現有的知識理論有關，并且始終受到數學內容的約束。”“數學學習能力的發展貫穿在德國數學教育從一年級直到十年級的每部分課程內容中，數學學習過程中能力標準在課程具體內容之間和難易程度分配中起著重要作用。反過來，數學學習過程中能力標準的劃分取決于數學內容的主題、復雜程度和要求范圍，并且可以在每個階段和每種思想上以各種形式證明他們。”

因此，《柏林1～10年級數學課程大綱》先從“學習過程中能力標準”全面闡述課程的總目標，再把“學習過程能力標準”與“知識內容劃分”進行融合對應，安排了“數字與運算”“量與測量”“空間與圖形”“方程與函數”“數據與概率”五個部分的內容。

更重要的是，《柏林1～10年級數學課程大綱》對課程內容的劃分不僅按年級，還按學校類型，不同學校同一年級的課程內容水平要求也不一樣。比如，表1就是一至十年級課程內容水平的要求。

表格中的課程內容學習水平從A級到H級代表著“該級別特別需要掌握的內容”，依次順序是從簡單到復雜，每個字段表示的是各個級別的學習積累，先前級別的內容通常是后續階段相關學習內容的先決條件。三四年級的課程內容對于入學階段或早期階段的學習要求是必不可少的，五年級則是基于德國各州文化教育部聯席會議頒布的《中小學教育標準》中的要求，學生在從小學過渡到綜合中學、實科中學或文理學校時，要達到上述表格中六年級的標準。綜合性中學或是文理中學的同年級學生的數學課程內容不一樣，這真正體現了“不同的人在數學上獲得不同的發展”的理念。

（二）課程內容的實施注重層層深入

課程內容是實現課程標準（大綱）培養目標的載體。學生通過數學學習活動，能夠達到什么樣的水平，與學習內容中相關的數學能力鍛煉相關，與各個知識領域的需求相關。能力的獲取是長久進行的過程，學習水平的發展必須始終在與過程相關的數學能力范圍內，其中課程內容起著重要的作用。受建構主義知識觀的影響，《柏林1～10年級數學課程大綱》非常強調數學知識結構的核心是對知識的態度和獲得知識的能力，因此要充分協調各個年級的課程內容關系，使得數學課程內容能夠循序漸進、層層深入。比如，其對“數字與運算”水平的要求劃分如表2（以1～6年級為例）。

數學學習的內容要依存于學生的需求，是整體對自然、人類和社會的統合的解釋，不是簡單地劃分為一個個獨立的部分。《柏林1～10年級數學課程大綱》把宏觀的數學能力作為劃分課程內容維度的依據，再通過對課程內容水平劃分反映與之對應的具體能力水平。可見，德國的教育不僅關注學生的知識掌握，還關注學生知識掌握的過程和能力達到的水平。此外，德國的數學教育不僅教給學生基本事實與概念（硬件知識和知識的硬件），還注重教“軟知識”，讓學生獲得“方法的知識”和“個人經歷體驗的知識”。

三、德國數學課程大綱的年級目標

數學課程目標對教育目的和教學目標的達成起著承上啟下的作用，前者是教育方針的總的培養目標的體現，后者是單元、章節和課堂教學所要達成的目標。《柏林1～10年級數學課程大綱》第二部分介紹了“數字與運算”“量與測量”“空間與圖形”“方程與函數”“數據與概率”五部分的知識內容，在第三部分以年級為單位規定了各個內容所對應的具體目標要求，并聯系和證實第一部分所提出的總體目標。

（一）核心目標注重數學能力的發展

《柏林1～10年級數學課程大綱》提出，學生學習數學應達到的核心目標是“學生數學能力的發展”。該發展主要由三個部分組成：一是學生借助數學的幫助，認識與了解自然科學及社會文化現象并對其進行探索與分析，最后用數學的視角對他們進行判斷和評價;二是學生自己能夠認識數學術語，包括數學符號、圖像、表達及公式，并對他們有系統的認識，能用他們來描述與解答數學問題;三是學生能夠將數學問題與日常生活中所遇到的問題相結合，提出具有獨創性的想法，同時自主闡明和解釋問題的能力也得到增長，能夠通過對問題的闡釋與辨析提高數學啟發能力。

（二）階段目標注重生活化與數學化

《柏林1～10年級數學課程大綱》中1～6年級的課程階段目標是：數學需要生活化的研究、發現與行動，需要根據學生的年齡特點來探討數學角度的潛能與限制。通過數學課，學生根據以往的數學經驗，能夠探索各種關系，探究結構，掌握術語，找到合適的表達方式并合理選擇。這為進行結構化思考以及為日常生活和職業領域所需的數學技能奠定了堅實和長久的基礎，并為數學學科的進一步、可持續性的學習建立了聯系。此外，在德國的小學數學課上，學生應掌握數學教育的基本技能，這也為中學課程的進一步學習甚至是以后一生中數學研究的要求創造了先決條件。

（三）整體目標注重知識與能力的掌握

《柏林1～10年級數學課程大綱》中對五個部分的內容的整體目標概括為：數字與運算包括數字的表示與排列，對數量關系的描述，對計算方法的運用及對運算概念的培養;量與測量包括尺寸與單位的概念，對尺寸的測量計算與在實際情況中的運用;空間與圖形包括對幾何對象特性和其之間聯系的描述，對幾何對象本身的描述和幾何圖形的使用;方程與函數包括項與方程式的表示，求解方程與方程組以及配方和函數的使用;數據與概率包括數據的收集，表示與評估，計數策略的應用和計算概率。

《柏林1～10年級數學課程大綱》中“數字與運算”內容的學習目標具體如表3和表4。

（四）具體年級學習目標注重學生的年齡心理特點

《柏林1～10年級數學課程大綱》對于具體年級學習目標的規定照顧到了各個年級學生的年齡心理特點。比如，其認為一二年級的學習目標是使學生獲得感性知識和初步了解事物的能力，逐步學會讀、寫、算等最基本的知識和能力，養成能夠坐下來讀書的習慣，初步學會獨立思考和分析比較。從其對各部分內容學習目標要求的行為動詞或是中心短語的表述，包括相關術語的運用中，都可以看出德國課程大綱對各年級目標的要求是層層深入的、是步步提高的，這也體現出了逐漸深化的過程。這是符合人的認識規律的。

四、德國數學課程大綱的啟示

德國的小學數學教育既有東方傳統的重視知識體系架構、重視基礎知識學習、重視教師作用的特點，同時，也有西方教育重視學生自主探究、強調合作學習、培養創新能力、尊重個性發展的特點。在理念、創新和實踐等方面都很有特點，值得研究、借鑒。

（一）要培養學生獨立思考和分析創造的能力

德國各州都編制有學科大綱，類似于我國的學科課程標準。以《柏林1～10年級數學大綱》為例，《柏林1～10年級數學大綱》“旨在對學生小學畢業時應獲得的一般數學技能和與數學內容相關的數學技能做出規定。”一般技能主要包括：解決問題的能力、關聯能力、數學論證能力、數學建模能力及數學描述能力。相應的數學內容領域有：算數和運算，空間和形狀，模式和結構，大小和計量，數據、頻率和概率。其以一二年級為第一教育單元，三四年級為第二教育單元。兩個單元的教育目的是使學生獲得感性知識和初步了解事物的能力，逐步學會讀、寫、算等最基本的知識，養成能夠坐下來讀書的習慣，初步培養獨立思考和分析創造的能力。

（二）要培養學生的數學思維能力

德國和我國的課程標準（大綱）也有相同的部分，如都把數學思維能力的培養作為數學教育的主要目標之一，要求學生在學習數學或解決數學問題的過程中，能運用“直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解”等思維過程;都提出學習過程不僅需要接受知識，而且要善于發現問題和提出問題，學生要學會數學思考，發展提出、分析和解決數學問題的能力;都要求學生能采取正確的數學策略和方法解決在數學或其他情境中出現的問題，能夠就數學問題相互交流，學會質疑。這些要求包含數學交流、知識運用和數學創新，等等。

（三）要重視“學習過程標準”規劃

通過中德兩國數學課程標準（大綱）的比較，解析德國的小學數學課程大綱以及大綱所提出的教學建議，吸取其課程大綱在內容選擇、編排、呈現等方面的可取之處，可以為我國的數學教育及課程標準的編寫提供案例參照，拓展課程標準的編寫思路，優化課程標準的結構體系，進而為教師和學生提供最適合的支持，為數學課程改革提供決策參考。

中德兩國的數學課程標準（大綱）最大的區別在于，德國的教學大綱不僅以“數學內容”來作為劃分標準，還以“學習過程”來作為劃分標準，其詳細建構出了數學能力水平體系。以“學習過程”劃分的數學能力水平，可以很容易地厘清學生在學習數學的過程中應該掌握哪些能力及其水平層次，是可評價、可測量的。德國的一線數學教師執行課程大綱時，有明確的“學習過程”能力水平層次目標作為依據，就可以將教學重點放在積極的、建設性的、獨立的學習過程之上，知道應該提供更多自主學習的機會，從現實情況出發，借助之前的經驗，采用多種多樣的上課方式，豐富針對性的練習形式，盡可能地幫助學生獲得數學能力。

“學習過程標準”規劃了實現這些目標的方法和能力，也幫助學生了解在數學基本概念及其運算后，要注重培養解決現實問題的能力。隨著年齡的增長，學生會逐漸關心自己是否學會了對事實進行數學處理的能力，對事實建立類似的問題模型的能力，在數學方面進行辯論和交流的能力和跨學科發展的能力。此外，當他們對自己的數學能力充滿信心之后，就會產生更多的觀察數學現象和問題的興趣，更會堅持不懈地專注于數學任務的完成和數學問題的解決。

（四）要構建層次分明的數學能力模型

對數學教育而言，完整且層次分明的數學能力模型能夠引導數學教學的發展及評價數學教學的質量。該模型不僅能讓教師明確數學能力的培養目標及應達到的水平，而且能幫助教師判斷學生的數學能力水平現狀，以便進行有針對性的教學或輔導。德國的實踐表明，構建這樣一個模型是有積極意義的。

數學知識的掌握和數學能力的發展都是數學教學目標的重要組成部分，但是二者的關系不是相互等同而是基礎與目的的關系。數學知識的掌握是基礎，數學能力的培養是目的。在這方面，我國的小學數學教育仍然缺少學生學習過程的指導框架，這也正是我們目前不斷探索的“數學素養體系”的原因之一。我們需要可測量的、層次分明的、具體的數學教育質量標準，再將其作為日常數學課程與教學的指導和支持，作為提高學生數學素養的關鍵;我們需要整合數學知識的掌握與數學能力的發展，使之作為轉變培養方式的根本途徑，真正地實現以素養為導向的數學課堂教學目標。

參考文獻：

[1]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]柏林-勃蘭登堡州學校與媒體機構.柏林1～10年級數學課程大綱[S].柏林，2017.

（責任編輯：楊強）