基于重現時間間隔分析的極端收益預測及交易策略研究

吳 婧, 蔣志強, 周煒星,

(1.華東理工大學理學院，上海 200237；2.華東理工大學商學院，上海 200237)

1 引言

隨著經濟全球化和金融工具的不斷創新，金融市場取得了突飛猛進的發展，與此同時其不穩定性也顯著增加，風險暴露日益明顯。1997年后，陸續爆發的亞洲金融危機、次貸危機和歐債危機等金融危機，不僅給投資者造成巨大的損失，也嚴重地破壞了各國金融體系，甚至損害了實體經濟。中國股市在2015年和2016年也經歷了大起大落，并出現千股漲停、千股跌停和千股停牌等歷史奇觀，以及熔斷機制引發的交易停牌等恐慌現象，這給我國金融監管當局帶來了巨大的挑戰。因此，如何有效地預測并防范潛在的風險，尤其是資產價格極端下跌所引發的金融風險，是社會各界都非常關注的熱點問題[1]。

目前，許多研究基于早期預警模型(Early Warning Models)來預測金融風險，旨在確定引發金融危機的主要指標，用各種不同的方法或技術將這些指標轉化為未來出現危機的風險概率，從而得到早期預警信號?，F有研究表明，市凈率[2]、全球流動性[3]和通貨膨脹率[4]等不同的指標都有早期預警金融極端事件的能力。學者們運用LPPLS模型[5-6]、支持向量機[7-8]、神經網絡[9]、信號法[10]和邏輯回歸[11-12]等方法，在極端金融風險的預測中都取得了較好的效果。然而，這些方法卻存在指標值樣本較少、條件過于苛刻和過度學習等缺陷。

近年來，金融物理學基于重現時間間隔分析(Recurrence Interval Analysis)提出了更為簡便的金融風險評估方法。重現時間間隔分析法只需要分析數據的內在規律，而不用考慮數據種類和任何相關性指標，比采用總收益或部分收益估計分布的傳統方法更加準確[13]。Jiang等[14]采用重現時間間隔分析法建立了一種早期預警模型，通過預測中國股市大波動率重現的風險概率，證明該模型具有一定的預測有效性；最近，又使用道瓊斯工業指數對極端收益率進行短期預測[15]，在樣本外檢驗中證明了其良好的預測能力。與已有研究相比，該模型只需要計算一個相應的分布參數，在實際應用中更加簡便，但是目前還沒有對中國股市的極端收益率進行樣本外檢驗，也沒有將這個模型的應用進一步拓展。

基于以上研究，本文擬采用重現時間間隔分析法對極端收益率進行預測，通過預測極端正收益和極端負收益的重現概率，分別構造看漲與看跌的交易策略，并對交易策略的結果進行統計性分析。本文選取了中國上證指數(SHCI)、法國CAC40指數、英國富時指數(FTSE)、香港恒生指數(HSI)和日本日經指數(N225)在內的5個股市的指數作為研究對象，進行較為全面的實證分析，因篇幅限制而論文列出了上證指數的模型測試結果?？紤]到極端收益率多出現在重大的金融危機階段，因此本文依據中國股市2001年、2008年和2015年所經歷的金融危機，為上證指數確定了三個用于樣本外預測的區間，具有重要的實踐意義。交易策略的最終檢驗結果表明，該模型具有良好的預測能力，且對于具有買空賣空交易的證券市場的現實意義更加重大。

2 模型與方法

2.1 確定極端收益

在金融危機的實證研究中，很難確切地定義“危機”一詞。各個領域對極端事件定義的方法有很多，在極值理論常見的POT(Peaks Over Threshold)模型[4,16-17]中，極端值一般定義為樣本標準差的m倍，參數m是一個預先設定的值。本文采用相對閾值來確定極端值，設定最大或最小的某個百分比值為閾值rt，超過閾值rt的值被認為是極端值，該事件稱為極端事件，即為概率分布中的小概率事件。這種定義方法不僅考慮了不同樣本的差異性，避免了難以用同一標準進行比較的問題，而且計算非常簡便。

2.2 確定風險概率

在只考慮極端值出現時間的情況下，我們使用風險概率W(Δt|t)來預測極端收益，即測量在t時間前出現極端收益后等待Δt時間會再次出現極端收益的概率。Sornette和Knopoff[18]以及Bogachev[19]等已經由極端事件的重現時間間隔分布，從理論上得到了風險概率W(Δt|t)的表達式：

(1)

其中，p(τ)是重現時間間隔的概率分布，只要我們得到p(τ)的分布形式，W(Δt|t)的公式就能立即由公式(1)得到。

內在過程的記憶性是決定重現時間間隔分布形式的關鍵因素，無記憶性過程的重現時間間隔分布一定呈指數型，例如泊松過程在Δt給定的情況下，可以得到連續型風險概率分布[19-21]。然而，金融過程總是呈現出非泊松特性，例如收益率具有多標度行為特征[22]，波動率具有長程相關性和多重分形特性[22-23]。非泊松特性的主要結果是重現時間間隔不再服從指數分布形式，這使得重現時間間隔的分布形式在實證分析中產生了一定的分歧。在已發表的文章中，所使用的分布函數有拉伸指數分布、具有指數截斷的冪律分布、q指數分布和Weibull分布等。這里，我們選擇文獻中使用較多的三種函數來擬合重現時間間隔的分布，這三種分布的公式列舉如下:

拉伸指數分布：

psE(τ)=aexp[-(bτ)μ]

(2)

q指數分布：

(3)

Weibull分布：

(4)

通過把以上的三個概率分布公式(2-4)代入公式(1)，我們分別得到以下的風險概率公式：

WsE(Δt|t)

(5)

(6)

(7)

其中，Γl(s,x)和Γμ(s,x)分別是低階和高階不完全Gamma函數。對于固定的Δt，這三種風險概率都隨t的增大呈現下降的趨勢，符合金融收益和波動率中極端值的聚集現象。

為了使用風險概率W(Δt|t)來預測極端值，我們也需要設定一個風險閾值wt做為下一個極端事件的早期預警指標，即當風險概率W(Δt|t)大于風險閾值wt時，在Δt時間后產生極端收益的預警信號。這個風險閾值wt并不是隨便給定的值，而是基于投資者的風險偏好，通過平衡未警告率和錯誤警告率的優化得到。

2.3 分析預測信號

通過重現時間間隔分析得到極端收益預測模型后，本節采用一種信號分析法來分析模型的預測有效性。風險概率W(Δt|t)被轉化為一個二元極端值預測，如果W(Δt|t)的值超過風險閾值wt，就令W(Δt|t)的值為1，否則為0。為了比較極端值的預測情況和實際情況，我們會觀察到以下四種情形：(1)正確預測到極端收益出現；(2)正確預測到極端收益未出現；(3)極端收益出現而未發生預警；(4)未出現極端收益而錯誤預警。

以上四種情況出現的次數分別記為n11、n00、n01和n10，通過計算每一種結果出現的次數，能得到各項預測指標值。其中，本文只計算正確預測率D和錯誤預測率A，其定義分別為:

(8)

根據Gresnigt等的模型[24]，我們采用KSS(Hanssen-Kuiper Skill Score)方法來評價極端值預測的有效性。KSS值定義為上述D與A的差值，該值結合了第(3)種和第(4)種情形中所出現的未預測到事件的比率和錯誤預測的比率，減少這兩種錯誤率都能增加KSS值。

如果投資者在I型錯誤和II型錯誤之間有相對偏好，那么我們的信號評估方法能幫助投資者找到平衡，并且無論他們是否使用該預測信號，都具有一定的用處。根據Alessi和Detken[3]的文章，當給定一個風險概率閾值來進行極端值預測時，可以定義一個損失函數：

L(θ)=θ(1-D)+(1-θ)A

(9)

其中，1-D表示未預測到事件的比率(I型錯誤)，A表示錯誤預測的比率(II型錯誤)，參數θ表示投資者避免I型錯誤或II型錯誤的偏好程度[25]。

我們進一步定義極端值的預測有效值為：

U(θ)=min(θ,1-θ)-L(θ)

(10)

其中，min(θ,1-θ)表示忽略預測信號時投資者面臨的損失。U(θ)測量了使用極端值預測模型比不使用模型時產生的更好的效果，如果U(θ)>0說明預測是有用的，意味著預測后的損失比不預測的損失要小。這里，預測有效值的定義沒有考慮數據不平衡的潛在影響[26-27]，即非極端事件的數量遠遠超過極端事件數量的影響。

給定了風險概率W(Δt|t)，我們需要選擇一個讓有效值U(θ)最大化的風險閾值wt[27-29]。Christensen和Li[30]也通過最小化信噪比(D/A值)來優化閾值，這種對預測有效性的優化顯然降低了I型錯誤和II型錯誤之間的邊際替代率。然而，這種邊際替代率在信噪比的優化中降低地并不明顯，有時會導致對投資者的I型錯誤和II型錯誤不可接受。

2.4 估計分布參數

(11)

其中，Γ(x)表示Gamma函數。Podobnik[31]和Bogachev與Bunde等[13]指出，平均重現時間間隔和極端值的百分比之間存在一一對應關系：

(12)

其中，Q是用來定義極端值的分位數。需要注意的是，以上公式用于正極端值的計算，對于負極端值，我們可以取其相反數轉為正數。Chicheportiche和Chakraborti[21]認為，無論潛在的過程是否存在相關性，平均重現時間間隔都是可用的。從期望的定義來看，平均重現時間間隔也可以表示為：

對于拉伸指數分布，我們有

(13)

通過聯立方程(11)和(13)，可以由μ和τQ分別表示出參數a和b：

(14)

這使得待估計的參數從三個減為一個，有效地提高了策略的計算效率。

對于q指數分布，我們得到τQ的均值為1/[λ(3-2q)]，為了保證均值存在，q的值一定小于3/2。顯然，參數λ可以由q和τQ表示如下：

(15)

對于Weibull分布，時間間隔τQ的期望可表示為βΓ(1+1/α)，類似地，參數β可以由α和τQ表示：

(16)

顯然地，如果我們用三個分布函數來擬合重現時間間隔，都分別只需要估計一個參數即可。這里，我們采用極大似然估計法(MLE)來估計分布參數。對數化的似然函數分別如下所示：

(17)

lnLqE

(18)

lnLw

(19)

其中，n表示重現時間間隔的次數。

2.5 交易策略

基于前文對極端正收益和極端負收益的重現進行預測之后，本文分別提出相應的看漲交易策略或看跌交易策略，以便進一步評估該預測模型的有效性。這種方法的基本思想是：當極端正收益大于樣本內的正收益閾值時，發出買入信號，交易者看多，若極端正收益在Δt時間后再次出現的風險概率小于風險閾值，發出賣出信號，將買入的倉位平倉，此時記為看漲策略；當極端負收益小于樣本內的負收益閾值時，發出賣出信號，交易者做空，若極端負收益在Δt時間后重現的風險概率小于風險閾值，發出買入信號，將賣出的倉位歸還，并記為看跌策略?？礉q策略和看跌策略的交易過程如圖1所示。

圖1 看漲策略(a)和看跌策略(b)的交易示意圖

為了檢驗盈利的顯著性，本文采用常見的t檢驗法。我們將買入至賣出階段稱為持有階段，賣出至買入階段稱為空倉階段，其對應的時間長度和日均收益率分別記為nh、ns和μh、μs，并且用Δμ表示買賣區間的日均收益率之差。當檢驗交易規則下的日均收益率(μh或μs)與整個樣本期的日均收益率μ是否有顯著性差異時，t檢驗的原假設為μh=μ或μs=μ，t檢驗統計量分別為：

(20)

(21)

其中，n為觀測值的總數，σ2為整個樣本內日均收益的方差。如果持有(空倉)階段的日均收益率為正(負)值且與日均收益率μ有顯著性差異，則說明交易策略有良好的盈利能力。

若檢驗持有階段的日均收益率μh與空倉階段的日均收益率μs是否有顯著性差異，則t檢驗的原假設為μh=μs，t檢驗統計量：

(22)

若μh顯著大于μs，則表明交易策略是有效的。

3 實證分析

3.1 數據與描述

本文選取上證指數為研究對象，考慮到中國股市1996年底開始有漲跌幅限制，因此以1997年1月2日至2016年12月31日間的日收盤價作為研究數據。在進行樣本外檢驗時，依據中國股市2001年、2008年和2015年所經歷的金融危機，確定了三個樣本外區間，分別為2000-2002年、2006-2009年和2014-2016年，其對應區間在圖2(a)中均用陰影部分表示。本文在計算指數收益率時采用對數差分法，計算方法如下：

r(t)=lnI(t)-lnI(t-1)

(23)

如圖所示，圖2(a)展示了上證指數的對數價格及其收益率。從圖2(a)可以看出，指數在1997年以后總體呈上升趨勢，在陰影部分均包含明顯的趨勢上升和趨勢下跌的階段，而其他部分以震蕩為主。從收益率圖看出，股指的對數收益率在局部時間段內會出現較大的波動幅度，而在其他時間段的波動幅度都相對較小，說明它具有波動集聚性。

圖2 應用重現時間間隔分析法對上證指數的實證分析結果。(a)上證指數的對數價格和收益率圖。(b-d)極端負收益的重現時間間隔在閾值分位數95%的概率分布圖像：(b) A區間；(c) B區間；(d) C區間

3.2 重現時間間隔分析

為了測試極端收益預測模型的有效性，我們使用每個危機階段之前的數據做為樣本內數據來估計分布參數，再對樣本外數據進行預測。在每個樣本內區間，先使用閾值分位數確定極端值的閾值rt，再由rt得到相應的極端值。本文選取95%、97.5%和99%作為三個閾值分位數，對于每組極端值，計算其相鄰極端值之間的間隔時間，即重現時間間隔。除此以外，還分別計算大于正收益閾值(rt>0)和小于負收益閾值(rt<0)的極端收益，因為收益的種類和特定的交易策略可能有潛在的聯系，例如股市中只持有長線的投資者可能對極端負收益更敏感，反之亦然。

如表1所示，本文對上證指數在不同樣本區間和不同閾值下的重現時間間隔進行了描述性統計分析。發現所有樣本內數據的均值均明顯比中位數大，偏度大于0且峰度大于3，說明重現時間間隔的分布具有尖峰胖尾特征，這與重現時間間隔服從拉伸指數分布或q指數分布的結論是一致的[32]。由公式(12)得出，三種閾值分位數Q下的平均重現時間間隔理論上應分別為20、40和100，但是實際情況下，由于第一個極端值出現之前總有時間未被計入重現時間間隔，所以均值往往更小。在進行自相關性檢驗時，當滯后階數為1時，重現時間間隔的自相關系數都為正，而且部分結果在10%水平下顯著；當滯后階數為5時，自相關系數在數據較多的情況下也基本為正。這說明極端收益的重現時間間隔存在一定的正相關性，并不是獨立和隨機的，這符合重現時間間隔由DFA方法得出的長記憶性特征[17,33-34]。雖然相關系數并不大，但是這個結果是可以理解的，因為上證指數的樣本數據相對較少，而且極端收益的重現時間間隔總是太長或者太短，所以自相關系數不會很大。

在每個樣本內區間，分別用拉伸指數分布、q指數分布和Weibull分布來擬合重現時間間隔。當極端負收益的閾值分位數為95%時，三個樣本內區間的重現時間間隔概率分布圖像如圖2(b-d)所示。為了更直觀地進行比較，在圖中用實線表示出三種分布下的最佳擬合分布，結果表明A區間內由拉伸指數分布擬合地最好，而當B區間和C區間內的樣本數據增多時，q指數分布擬合的效果最好，這也反映在表2中對應的q指數分布具有最大的極大似然值上，與中國股市波動率的重現時間間隔分布是一致的[14]。因為其它條件下的概率分布曲線與圖2(b-d)中的概率分布曲線相類似，所以本文未全部展示。

表1 重現時間間隔的描述性統計量

注：acf(1)和acf(5)分別表示滯后階數為1和5時的自相關系數；其中，*、**和***分別表示10%、5%和1%的顯著性水平。

如表2所示，本文計算了重現時間間隔在三種擬合分布以及不同閾值和不同收益下的估計參數，并采用極大似然法估計擬合的有效性，最大的極大似然值對應擬合效果最好的分布。除了A區間的樣本內數據在極端負收益下都由拉伸指數分布擬合地最好以外，在其它樣本區間，當閾值分位數Q逐漸增大時，重現時間間隔最好的擬合分布形式逐漸由q指數分布變成拉伸指數分布，這種分布的變化現象也存在于中國股市分鐘波動率的重現時間間隔中[14]。當樣本數據從A區間至C區間增多時，發現最好的擬合分布形式更多地變為q指數分布，這與Ludescher等[30]在極端損失的重現時間間隔研究中發現q指數分布擬合最好的結論是一致的。

除此之外，在表2的每個樣本內區間，發現特定收益下的待估計參數和分位數閾值之間存在一定的單調趨勢。例如，拉伸指數分布的參數μ和Weibull分布的參數α隨著閾值分位數的增加而減少，q指數分布的參數q隨著閾值分位數的增加而增加。由于上證指數的樣本數據相對較少，這種趨勢在有上百年歷史的道瓊斯工業指數的研究中更加明顯[14]。該結果不僅否定了重現時間間隔存在標度行為，而且有效地證明了重現時間間隔分布和閾值分位數的相關性。與此同時，在同種收益的相同閾值分位數下，也發現不同區間的估計參數比較接近，說明重現時間隔分布只取決于分位數。

表2 重現時間間隔擬合拉伸指數分布、q指數分布和Weibull分布的估計參數和最大對數似然值

注：加粗表示三種分布下最大的對數似然值，表明對應的分布擬合程度最好。

為了將擬合的風險概率與實際風險概率進行比較，本文依據公式(1)計算實際風險函數Wemp，方法如下：

(24)

其中，分母#(τ>t)表示極端值的重現時間間隔大于t的數量，分子#(t<τ≤t+Δt)表示重現時間間隔在(t,t+Δt]范圍內的數量。

如圖3(a)所示，取Δt=1，作出閾值分位數95%下的極端負收益在1997-2013年間的重現時間間隔關于時間t的風險概率W(Δt|t)的圖像。從風險概率圖像可以看出，雖然三種分布對應的擬合曲線沒有完全重合，但是它們和實際風險概率一樣，都關于時間t呈現出下降趨勢。這種趨勢也出現在能源期貨[33]、股指期貨[34]和股票收益率[35]等之中，意味著下一個極端收益出現的概率隨著時間t增長而降低。風險概率的這種特征體現了極端收益的聚集性和觸發過程中潛在的相關性，可以由投資者的羊群行為和金融體系的內在不穩定性解釋[24]。由于統計性較弱，實際風險概率呈現出較大的波動，但是對于給定的時間t值，由解析公式得到的風險概率仍然接近于實際風險概率，表明風險概率的解析公式能用于估計實際風險概率。因為其它條件下的風險概率圖像與圖3(a)中的風險概率圖像相類似，所以本文未全部展示。

3.3 預測極端收益

為了預測金融市場在一段時間內是否會再次出現極端收益，本文基于風險概率和優化的風險閾值進行樣本外預測。首先，根據樣本內數據估計重現時間間隔的分布參數，從而得到風險概率W(Δt|t)的公式，再以風險概率做為早期預警指標，通過有效值U(θ)的最大化來確定優化的風險閾值wt。當風險概率W(Δt|t)大于風險閾值wt時，認為Δt時間后會再次發生極端事件，反之認為不會發生。

圖3Δt=1時，極端負收益的重現時間間隔在C區間及閾值分位數95%下的預測圖像。(a) 風險概率圖像；(b) ROC曲線；(c) 預警示意圖。

為了確定優化的風險閾值wt，需要在[0,1]內取遍盡可能多的w值，計算出對應的錯誤預測率A和正確預測率D，再通過最大的效用值U(θ)找到樣本外預測所需的風險閾值wt。通過作D關于A的圖像，得到預測評估中常用的受試者工作特征曲線(Receiver Operating Characteristic，ROC)，ROC曲線可以用于評價二分類算法的性能。其中，對角線(y=x)表示隨機猜測的結果，若ROC曲線在對角線的左上方，說明預測的準確性比隨機分類更高，而且最靠近左上角的點對應錯誤最少的閾值。

如圖3(b)所示，作出上證指數在第三次金融危機及閾值分位數95%下的樣本內和樣本外區間對極端負收益預測的ROC曲線。從圖3(b)可看出，三種分布下的ROC曲線在樣本內區間和樣本外區間分別都近似落在同一曲線上，說明模型的預測結果與重現時間間隔擬合的分布形式無關。其次，所有的ROC曲線都在對角線的上方，表明樣本內和樣本外的預測效果都比未采取預測時的情況更好。除此之外，樣本外的ROC曲線比樣本內的ROC曲線更高，表明樣本外的預測效果比樣本內的檢驗效果更好。

為了更直觀地描述風險預警信號的預測效果，本文以上證指數2014-2016年間極端負收益的預測為例，作出閾值分位數95%下的預警區間。如圖3(c)所示，陰影部分表示預測指數會持續下跌的階段，投資者應在該區間做空頭寸。若采用此模型，在2015年和2016年的股災中，該預警信號能有效地避開下跌階段。

由于三種擬合分布所得的ROC曲線非常接近，所以后文只在q指數分布下估計極端收益預測模型的表現。其中，計算其四個重要的預測度量指標，分別為錯誤預測率A、正確預測率D、有效值U和KSS值。

如表3所示，預測的有效值U均為正值，這意味著當對未預測到事件發生和錯誤預測的偏好相同時，與不采用預測結果相比，我們的模型提供了統計性的收益。在有效值U為正的情況下，所有的KSS值也都大于0，而隨機猜測時的KSS值為0，說明正確預測率大于錯誤預測率。其次，在C區間發現樣本外區間的有效值U和KSS值均大于樣本內的結果，說明此時樣本外的預測效果比樣本內更好，表明該預測模型有良好的預測能力。除此之外，當閾值分位數從95%逐漸增加到99%時，樣本外的錯誤預測率A逐漸減小，表明越高的分位數產生越低的錯誤預測率，而正確預測率D并沒有隨分位數產生明顯的變化趨勢。當閾值分位數增大時，極端負收益在樣本外區間的有效值U和KSS值也更大，表明高分位數下能更加準確地預測極端事件，這與道瓊斯工業指數的預測結果是一致的[14]。本文的模型忽略重現時間間隔序列潛在的相關性結構，符合閾值分位數越大，極端值記憶性越弱和預測效果越好的現象。

3.4 交易策略

樣本外檢驗結果表明，該模型在預測極端收益時具有一定的有效性和準確性。為了進一步評估該模型的預測能力，本節在不考慮交易成本的情況下，計算兩種交易策略在不同閾值分位數下的收益，并對結果進行統計性檢驗。除了上證指數以外，還選取法國(CAC40)、英國(FTSE)、香港(HSI)和日本(N225)的四個股指為研究對象，由于沒有漲跌幅限制，均以1990年至2016年間的日收盤價作為樣本數據。在計算交易策略的過程中，為了有效地降低對歷史數據的過度擬合，仍然采用樣本外測試的方法。設定交易區間為2000年1月3日至2016年12月30日，先使用2000年以前的樣本數據計算初始的分布參數，在交易區間內進行模擬時，每次交易結束后將結束前的樣本外數據增加到樣本內，再重新計算風險閾值和分布參數。

表3 極端收益預測模型的樣本內與樣本外檢驗

注：加粗表示樣本外預測效果好于樣本內效果。

表4為五個股指在看漲交易策略和看跌交易策略下的檢驗結果，第二列對應于閾值分位數Q，第三列和第四列分別為持有天數和空倉天數。每個指數在看漲策略下的持有天數都會隨閾值分位數的增加而逐漸減少，在看跌策略下的空倉時間也會隨閾值分位數增加而減少，這說明閾值分位數越大，得到的早期預警信號越少，故相應持有或空倉階段的時間會越少。

表4 交易策略的檢驗結果

注：收益率μh,μs和Δμ已經乘以因子104，標準差σh和σs已經乘以因子102；加粗表示t檢驗結果顯著，其中*、**和***分別表示10%、5%和1%的顯著性水平；無風險利率為2002-2016年中國1年期國債收益率的平均值2.50%

持有階段的日均收益率μh如第五列所示。從五個指數的結果看出，看漲交易策略下的日均收益率均為正值，并且與整個樣本的日均收益率μ之間的差異都具有顯著性，由于中國股市沒有直接的做空機制，持有階段的收益率表明看漲交易策略具有良好的盈利能力。在看跌策略的交易規則下，15個持有階段的日均收益率中有11個為正值，只有上證指數在閾值分位數95%下的結果具有統計顯著性，其它結果與整個樣本內的日均收益率μ之間的差異均不具有顯著性，說明看漲交易策略獲得收益的能力比看跌交易策略更加穩定，而且當極端負收益再次出現的風險概率小于閾值時，指數可能繼續下跌，只是沒有出現極端值。

第六列列舉了空倉階段的日均收益率μs。由表中數據可知，五個股指在看漲交易策略和看跌交易策略下的日均收益率都為負值，并且15個樣本條件下分別有14個和10個與整個樣本的日均收益率μ的差異具有顯著性，說明兩種策略在賣出區間總是能有效地避開下跌階段，具有良好的預警作用，并且看漲策略的效果更好?？礉q交易策略的μs總是比看跌交易策略的μs更小，說明當極端正收益重現的風險概率小于閾值時，指數有下降的可能性，而當極端負收益出現以后，指數不一定會持續性下跌，可能在極端負收益重現的風險概率小于閾值之前，就已經反彈并超過買入的價格。除此之外，兩種交易策略在空倉階段的最小日均收益率均出現在上證指數及其閾值分位數為95%的情況下，說明上證指數的極端負收益可能比其它股指更具有聚集性，即極端負收益出現后，上證指數持續下跌的可能性更大。

持有階段與空倉階段的日均收益率之差Δμ如第七列所示，可以視為證券市場允許做空時的投資收益?？礉q交易策略下的收益率之差均為正值，并且全部具有統計顯著性，說明這種策略能產生一定的超額收益。在看跌交易策略中，有14個樣本條件下的日均收益率之差為正值，然而只有4個在10%的水平下顯著，表明看跌交易策略具有一定的盈利能力，但是看漲交易策略的盈利性更加顯著。其次，當閾值分位數為95%時，上證指數在看漲策略和看跌策略下均得到最大的日均收益差0.005409和0.013161。從μh、μs和Δμ的顯著性水平看出，對于具有買空賣空的證券市場，本文的交易策略具有預測市場趨勢和賺取超額收益的能力。

持有階段和空倉階段日均收益率的標準差分別如第八列和第九列所示。在看漲交易策略下，持有階段收益率的標準差都小于空倉階段收益率的標準差，說明持有階段的日均收益率更加穩定，極端正收益出現后對走勢的預測也比較準確。在看跌交易策略下，15個樣本條件下有10個表現為空倉階段收益率的標準差更大，說明對極端負收益出現后的預測不太穩定。然而，當超額收益顯著性為正時，持有階段收益率的標準差都大于空倉階段收益率的標準差，說明這時更高的收益會產生更大的波動。

交易策略的夏普比率SR和最大回測率MDR分別如第十列和第十一列所示。兩種策略的夏普比率都接近于10，說明該策略承擔單位風險得到的超額回報率較高，且看漲交易策略的夏普比率總是比看跌交易策略更高，說明看漲策略具有更好的盈利性。兩種策略的最大回測率都在40%左右，說明持有期風險較高，看漲策略的最大回測率也總是大于看跌策略，這符合高風險、高收益的規律。

綜合以上分析，看漲交易策略具有良好的盈利能力和預警能力，當市場沒有做空機制時，恒生指數在閾值分位數99%下獲得最高的日均收益，當市場允許做空時，上證指數在閾值分位數95%下獲得最高的超額收益?？吹灰撞呗砸簿哂辛己玫念A警能力，但是盈利效果不如看漲交易策略，在不同的指數下盈利的穩定性也較差，最高的持有期收益和超額收益均在上證指數的閾值分位數為95%時獲得。

4 結語

本文基于重現時間間隔分析法，以中國上證指數、法國CAC40指數、英國富時指數、香港恒生指數和日本日經指數為研究對象，對極端收益的重現時間間隔進行擬合，計算了不同分布函數下的估計參數和風險概率，比較了模型在樣本內與樣本外的預測效果。通過對極端收益的預測，分別提出對應于極端正收益和極端負收益的交易策略，并討論了兩種策略在不同指數和不同閾值分位數下的統計性檢驗結果。

研究結果表明，基于重現時間間隔分布所計算的風險概率與實際風險概率非常接近，預測模型在樣本內與樣本外均具有良好的預測效果，兩種交易策略在實證中也具有良好的盈利能力和預警能力，而看漲交易策略的盈利性更加顯著和更加穩定，說明投資者更傾向于指數上升。重現時間間隔分析法具有參數少和計算簡便的優點，不僅不依賴于其他解釋變量，而且適用范圍廣泛，對于股票、期貨、基金和外匯等金融市場的預測和風險預警都可使用，同時也豐富了交易策略的方法。本課題在后期研究中考慮時間序列潛在的相關結構，可以進一步提高模型的預測能力和相應的盈利水平。