一類帶有階段結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型的穩(wěn)定性分析

徐娟

一類帶有階段結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型的穩(wěn)定性分析

徐娟

（揚州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部，江蘇 揚州 225000）

構(gòu)造一類具有階段結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型，討論了該模型無病平衡點和地方病平衡點的存在性，分析了2類平衡點的局部和全局的穩(wěn)定性態(tài)．利用Matlab軟件進行數(shù)值模擬，驗證了理論研究的結(jié)論．建議對晚期患者采取隔離以減小閾值，控制疾病的流行和發(fā)展．

傳染病；動力學(xué)模型；穩(wěn)定性

在生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域，用動力學(xué)的方法研究傳染病模型是當(dāng)今學(xué)術(shù)的熱點問題[1-2]．傳染病的發(fā)病機制較為復(fù)雜，疾病的特征和傳播途徑亦有所不同，為了更好地描述疾病的流行規(guī)律，研究者常常把具有常數(shù)輸入率[3-5]、垂直傳染率[6]、指數(shù)出生和死亡[7-8]、一般的種群增長方程[9]、媒體影響[10-14]和接種疫苗[15-17]等因素引入模型，使得模型更加符合疾病流行的特點，這類文獻大都有了較明確的結(jié)論．另外，一些傳染病的發(fā)生和傳播具有階段性特征，如白喉和梅毒等疾病只在成年群體中發(fā)生[18-20]，手足口病和水痘等病毒只在幼年群體間傳播[21-22]，而乙型肝炎這類疾病在不同時期會表現(xiàn)出不同程度的傳染性[23-24]．文獻[25]假設(shè)易感者感染病毒后以一定比例成為輕癥患者和重癥患者，未經(jīng)有效治療的部分輕癥患者會發(fā)展成為重癥患者，治愈后的患者將再次成為易感者，且該傳染病不會致命，建立了模型

1 模型的建立

具體的模型為

同時系統(tǒng)（2）有極限系統(tǒng)

2　模型的定性分析

2.1　基本再生數(shù)

2.2　平衡點的存在性

2.3　平衡點的局部穩(wěn)定性

2.4　平衡點的全局穩(wěn)定性

2.5　施加控制

3 數(shù)值模擬

圖1 時的數(shù)值模擬

圖2 時的數(shù)值模擬

4　結(jié)語

[1] 木村資生．群體遺傳學(xué)的數(shù)學(xué)理論[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1962

[2] 孫蘭蓀，孟新柱，焦建軍．生物動力學(xué)[M]．北京：科學(xué)出版社，2009

[3] 楊亞莉，李健全．一類病毒自身發(fā)生變異的傳染病模型的全局分析[J]．生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2008，23（2）：101-106

[4] 王娟，楊金根，李文生．具有治療的急慢性傳染病模型的穩(wěn)定性與分支[J]．信陽師范學(xué)院學(xué)報，2008，21（4）：491-493

[5] 楊亞莉，李健全，張吉廣．一類帶有接種的傳染病模型的全局分析[J]．西北大學(xué)學(xué)報，2009，39（5）：729-731

[6] 鄒琴，高淑京．一類具有垂直傳染的SIS傳染病模型的全局分析[J]．贛南師范學(xué)院學(xué)報，2009（3）：14-16

[8] 申素慧，原三領(lǐng)．一類總?cè)藬?shù)變化的SEIR和SEIS組合的傳染病模型[J]．上海理工大學(xué)學(xué)報，2009，31（3）：223-228

[9] 李益群，任謹(jǐn)慎，李健全．一類帶有一般出生率的SIS傳染病模型的全局分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)實踐與認識，2009，39（23）：176-181

[10] 郭樹敏，李學(xué)志．考慮心理因素和飽和治療的H7N9禽流感動力學(xué)模型分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)實踐與認識，2018，48（6）：170-175

[11] 張培鈺，劉茂省．隨機噪音和媒體報道影響的傳染病模型分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)實踐與認識，2018，48（6）：186-194

[12] 常玉婷，劉茂省．帶有媒體影響上限的傳染病模型研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認識，2016，46（11）：218-224

[13] 邢偉，高晉芳．一類受媒體報道影響的SEIS傳染病模型的定性分析[J]．西北大學(xué)學(xué)報，2018，48（5）：639-643

[14] 劉俊利，劉璐菊．具有媒體報道的傳染病模型穩(wěn)定性[J]．河南科技大學(xué)學(xué)報，2016，37（2）：88-91

[15] 李一鳴，劉紅．一類具有兩次接種的時滯SVIR傳染病模型[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認識，2020，50（2）：307-312

[16] 劉娜，方潔．一類帶有脈沖疫苗接種的分?jǐn)?shù)階SIS傳染病模型的穩(wěn)定性分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認識，2019，49（3）：254-259

[17] 王來全，魏成花．一類對易感人群實施脈沖接種的傳染病模型的穩(wěn)定性[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認識，2018，48（2）：125-131

[18] JIA J W，LI Q Y．Qualitative analysis of an SIR epidemic model with stage structure[J]．Applied Mathematics& Computation，2007，193（1）：106-115

[19] WU C F，WENG P X．Stability analysis of a SIS model with stage structured and distributed maturation delay[J]．Nonlinear Analysis：Theory Methods & Application，2009，71（12）：892-901

[20] TENG Z D，NIE L F，XU J B．Dynamical behaviors of a discrete SIS epidemic model with standard incidence and stage structure[J]．Advances in Difference Equations，2013（1）：1-23

[21] LIU L，LI X，ZHUANG K．Bifurcation analysis on a delayed SIS epidemic model with stage structure[J]．Electronic Journal of Differential Equations，2007（77）：249-266

[22] XIAO Y N， CHEN L S．An SIS epidemic model with stage structure and a delay[J]．Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2002，18（4）：607-618

[23] 原存德，胡寶安．具有階段結(jié)構(gòu)的SI傳染病模型[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2002，25（2）：192-203

[24] 辛京奇，王文娟．一類具有階段結(jié)構(gòu)和接種的SIR傳染病模型[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認識，2009，39（12）：103-108

[25] 王偉，李健全，楊亞莉，等．一類帶有階段結(jié)構(gòu)的傳染病模型的定性分析[J]．空軍工程大學(xué)學(xué)報，2008，9（1）：86-88

Stability analysis of a dynamic model with stage structure

XU Juan

（Department of Basic Science，Yangzhou Vocational and Technical College，Yangzhou 225000，China）

A dynamic model with stage structure is constructed，the existence of disease-free equilibrium point and endemic equilibrium point of the model is discussed，the local and global stability state of the two kinds of equilibrium points is analyzed．The conclusion of theoretical study is verified by numerical simulation with Matlab software．It is suggested that the isolation measures should be adopted to reduce the threshold value for patients with advanced stage and control the epidemic and development of the disease．

infectious disease；dynamic model；stability

O175.13∶Q-332

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.04.003

1007-9831（2020）04-0011-05

2019-12-19

徐娟（1982-），女，江蘇揚州人，講師，碩士，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究．E-mail：76027094@qq.com